從近五年高考談高師數(shù)學(xué)分析教學(xué)策略

潘永會（遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，貴州遵義563000）

?

從近五年高考談高師數(shù)學(xué)分析教學(xué)策略

潘永會
（遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，貴州遵義563000）

摘要：如何在數(shù)學(xué)分析的教學(xué)中有機(jī)地融入中學(xué)數(shù)學(xué)的具體內(nèi)容是高師數(shù)學(xué)分析教師長期研究的問題。作者對2010～2014年全國高考課標(biāo)卷理科數(shù)學(xué)一元微積分試題的解答方法進(jìn)行了分析，列出了高中數(shù)學(xué)函數(shù)的教學(xué)內(nèi)容，對高師數(shù)學(xué)分析的教學(xué)提出了若干建議。

關(guān)鍵詞：高考；微積分；數(shù)學(xué)分析；教學(xué)

培養(yǎng)學(xué)生駕馭中學(xué)教材的能力，是高等師范院校（簡稱高師，以下同）各專業(yè)課程的教學(xué)目的之一。如何在高師數(shù)學(xué)分析的教學(xué)中有機(jī)地融入中學(xué)數(shù)學(xué)的具體內(nèi)容是數(shù)學(xué)分析教師長期研究的問題。在基礎(chǔ)教育課程改革的背景下，近年來不少教師分析了高師數(shù)學(xué)分析教學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合的重要性，但這些文獻(xiàn)都是從理念、意識、思想和教學(xué)手段等方面進(jìn)行理論論述，很少涉及在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中有機(jī)地融入高中數(shù)學(xué)的具體內(nèi)容，尤其是結(jié)合高考試題研究數(shù)學(xué)分析教學(xué)的文獻(xiàn)還未見發(fā)表。高考試題對高中數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的指導(dǎo)作用，研究高考試題，有利于拓寬高師教師的視野，提高對重點內(nèi)容的把握。比如，近五年來在全國及各?。▍^(qū)、市）試卷中出現(xiàn)的一元微積分內(nèi)容，就為高師數(shù)學(xué)分析聯(lián)系高中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的教學(xué)提供了具體素材。鑒于教育部從2015年起增加了使用全國統(tǒng)一命題試卷的省份，因此作者選擇了近五年全國課標(biāo)卷理科微積分試題作為研究對象，分析了一元微積分試題的解題方法，列出了高中數(shù)學(xué)函數(shù)的教學(xué)內(nèi)容（見圖1），并對高師數(shù)學(xué)分析教學(xué)提出若干建議。

1近五年高考全國課標(biāo)卷理科數(shù)學(xué)一元微積分試題解題方法分析

在近五年的高考全國課標(biāo)卷理科數(shù)學(xué)試卷中，考核一元微積分（函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分）的試題約有27分，占整套試題的18%，鑒于篇幅所限，以下敘述只給出試題題號，具體內(nèi)容從略。

1.1理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的基本性質(zhì)

此類試題以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)（約15分），主要考查學(xué)生理解函數(shù)概念、掌握函數(shù)基本性質(zhì)的情況，試題分為以下四類。

圖1人民教育出版社A版教科書高中函數(shù)內(nèi)容

1.1.1判斷函數(shù)的大致圖形

2010年第4題和2014年一卷第6題都需要根據(jù)已知條件建立對應(yīng)關(guān)系，從而判斷函數(shù)的大致圖形；2012年的第10題需要根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，利用單調(diào)性判斷大致圖形。從試題的解答方法來看，重點考查學(xué)生理解函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系、單調(diào)性概念與圖形特征的情況。

1.1.2根據(jù)分段函數(shù)確定參數(shù)的取值范圍

2010年第11題和2013年一卷第11題都以含對數(shù)函數(shù)的分段函數(shù)為條件，解答需根據(jù)函數(shù)值確定參數(shù)。分段函數(shù)是在不同范圍有不同對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，這類試題利用對數(shù)函數(shù)的絕對值，結(jié)合分段函數(shù)考查學(xué)生理解函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系和利用對應(yīng)值求參數(shù)的能力。

1.1.3根據(jù)函數(shù)的零點確定參數(shù)

2014年一卷第11題的解答需根據(jù)函數(shù)的零點確定參數(shù)；2011年第12題求兩個函數(shù)圖形的交點的橫坐標(biāo)之和。函數(shù)的零點是函數(shù)等于零的方程的根，兩個函數(shù)交點的橫坐標(biāo)是兩個函數(shù)相等的方程的根。這類試題主要考查學(xué)生理解“方程的根與函數(shù)的零點”的概念和掌握函數(shù)零點存在性定理的情況。

1.1.4理解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)增減性

2011年第2題要求根據(jù)已知函數(shù)判別其奇偶性和單調(diào)性；2014年一卷第3題需根據(jù)函數(shù)奇偶性確定乘積的奇偶性；2013年一卷第16題需根據(jù)函數(shù)圖形的對稱性確定最大值；2014年二卷第15題需根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和定點的取值確定復(fù)合函數(shù)的定義域。這類試題主要考查學(xué)生對奇、偶函數(shù)的性質(zhì)與相應(yīng)圖形對稱性的掌握情況。

1.1.5掌握三角函數(shù)的周期與恒等變換

2011年第11題需利用三角橫等變換先把函數(shù)化簡，再根據(jù)最小正周期確定參數(shù)，最后求出單調(diào)區(qū)間；2013年15題需經(jīng)過三角恒等變換化簡函數(shù)后，根據(jù)最大值點，利用誘導(dǎo)公式求函數(shù)值；2012年第9題需利用正弦函數(shù)的圖形特點，根據(jù)單調(diào)遞減區(qū)間確定參數(shù)的取值范圍。這類試題主要考查學(xué)生對誘導(dǎo)公式、恒等變換化簡函數(shù)的掌握情況以及求最小正周期的方法。

1.2理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，掌握導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

近五年的高考試題是以綜合題（12分）的形式考查學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義、掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用情況。

1.2.1理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，掌握初等函數(shù)的求導(dǎo)法則

2010年第3題要求根據(jù)分式函數(shù)求曲線過定點的切線方程；2011年第21題（Ⅰ）、2013年一卷21題（Ⅰ）和2014年一卷第21題（Ⅰ），都要求根據(jù)過曲線已知點的切線方程求曲線方程的參數(shù)；2013年二卷21題（Ⅰ）和2014年二卷第12題要求根據(jù)函數(shù)極值點滿足的條件求參數(shù)。這類試題都需先求其導(dǎo)函數(shù)，再確定函數(shù)在某定點的導(dǎo)數(shù)，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)的參數(shù)，試題含蓋了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等初等函數(shù)以及由它們復(fù)合構(gòu)成的分式函數(shù)。因此，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，掌握初等函數(shù)的求導(dǎo)法則是解此類試題的要點。

1.2.2利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性解不等式，確定參數(shù)的取值范圍

2010年第21題（Ⅰ）、2012年第21題（Ⅰ）、2013年二卷第21題（Ⅰ）和2014年二卷第21題（Ⅰ）都需要利用導(dǎo)數(shù)討論初等函數(shù)的單調(diào)性，確定單調(diào)區(qū)間；2010年第21題（Ⅱ）、2012年第21題（Ⅱ）、2013年兩套試卷的第21題（Ⅱ）和2014年兩套試卷的第21題（Ⅱ）都需要利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間，再通過單調(diào)增、減性研究不等式，從而確定待定參數(shù)的取值范圍。

1.3理解定積分的幾何意義，掌握簡單定積分的計算方法

2010第13題考查定積分的計算方法，2011年第9題考查用定積分計算平面圖形的面積。

2對高師數(shù)學(xué)分析教學(xué)的幾點建議

顯然，上述高考內(nèi)容也是高師數(shù)學(xué)分析一元微積分的基礎(chǔ)內(nèi)容。“高師數(shù)學(xué)教育專業(yè)課程改革要與中小學(xué)課程改革同步[7]”，應(yīng)當(dāng)“將數(shù)學(xué)應(yīng)用的重點擺在服務(wù)于基礎(chǔ)教育、引導(dǎo)學(xué)生以高觀點理解中學(xué)數(shù)學(xué)的相應(yīng)內(nèi)容、指導(dǎo)基礎(chǔ)教育課程改革的實施等方面[8]”。因此，作者認(rèn)為可從以下方面入手，將高考內(nèi)容有機(jī)地融入高師數(shù)學(xué)分析的教學(xué)。

2.1指導(dǎo)學(xué)生對比分析高中數(shù)學(xué)的相關(guān)內(nèi)容

指導(dǎo)學(xué)生對比分析數(shù)學(xué)分析與高中數(shù)學(xué)在認(rèn)識原理、解決問題的思想和方法之間的聯(lián)系和差異。如：高中函數(shù)的概念與數(shù)學(xué)分析中函數(shù)定義之間的聯(lián)系；函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義、物理意義，函數(shù)極值點的幾何意義等，這樣就可以讓學(xué)生進(jìn)一步理解高中階段學(xué)習(xí)微積分初步的意義、目標(biāo)和要求，把握高中階段微積分初步和數(shù)學(xué)分析課程中相關(guān)概念呈現(xiàn)方式不同以及本質(zhì)的一致性，為今后從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)打下基礎(chǔ)。

2.2加強(qiáng)高考重點內(nèi)容的教學(xué)，提高教學(xué)的針對性

從上述高考試題分析可知：利用函數(shù)的對應(yīng)規(guī)則判斷函數(shù)的大致圖形、利用分段函數(shù)加深對函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的認(rèn)識、根據(jù)函數(shù)的零點確定待定參數(shù)、掌握函數(shù)的奇偶性與圖形特點、利用三角恒等變換化簡函數(shù)后求最小正周期、理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義、掌握初等函數(shù)的求導(dǎo)法則、用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)單調(diào)性解不等式從而確定參數(shù)的取值范圍、理解定積分的幾何意義和掌握定積分的計算方法等是高考的重點內(nèi)容。高考的這些重點內(nèi)容都是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)內(nèi)容，往往不被教師重視，高師學(xué)生對這部分內(nèi)容也認(rèn)識膚淺，這就導(dǎo)致學(xué)生在從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)時不能以高觀點駕馭教材。指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識這些內(nèi)容的重要性，既能結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，又能利用高考試題提高學(xué)生駕馭中學(xué)教材的能力。

2.3選取滲透高等數(shù)學(xué)思想的典型高考試題作為教學(xué)內(nèi)容

近年來，在高考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)了很多融入高等數(shù)學(xué)思想的試題，隨著課改的深入，這類試題在高考試卷中的比例有明顯提高的趨勢。在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中將高考試題特別是將蘊(yùn)含抽象數(shù)學(xué)語言、極限、無窮、微分、積分等高等數(shù)學(xué)內(nèi)容的高考試題作為教學(xué)內(nèi)容，指導(dǎo)學(xué)生在高觀點下認(rèn)識和解決初等數(shù)學(xué)問題，不僅有利于提高學(xué)生解決問題的能力，也有利于提高學(xué)生對中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的認(rèn)識，還可以加強(qiáng)學(xué)生對定量數(shù)學(xué)與變量數(shù)學(xué)關(guān)系的理解。

2.4指導(dǎo)學(xué)生用高觀點解答高考難點試題，提高學(xué)生的解題能力

從上述高考試題的解法分析來看，結(jié)合圖形認(rèn)識函數(shù)的本質(zhì)、根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求待定參數(shù)、分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程以掌握其求導(dǎo)法則、利用函數(shù)單調(diào)性解不等式并求待定參數(shù)、利用積分求平面圖形的面積等內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點，而這些內(nèi)容都是體現(xiàn)高等數(shù)學(xué)思想的初等數(shù)學(xué)問題。如果在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中，教師能夠讓學(xué)生對這些問題有足夠的認(rèn)識，讓學(xué)生認(rèn)識到這些問題設(shè)置的目的和意義，指導(dǎo)學(xué)生在今后的教學(xué)中突破難點，將有利于提高學(xué)生的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)能力。

3結(jié)束語

上述建議僅僅是根據(jù)對近五年高考全國理科課標(biāo)卷數(shù)學(xué)試題的解答分析所得，由于篇幅所限，不能對其他各?。▍^(qū)、市）的試題作一一分析，所以見解難免膚淺,也未能將其他版本的高中數(shù)學(xué)教科書脈絡(luò)列出。建議高師數(shù)學(xué)分析教師結(jié)合教學(xué)需要，查閱相關(guān)資料，充實自己的教學(xué)內(nèi)容，也希望有不同見解的教師提出寶貴意見。

參考文獻(xiàn):

[1]胡洪萍,馬巧云.新課標(biāo)體系下高師數(shù)學(xué)分析教學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)銜接的探索[J].教育探索,2008,(9):63-64.

[2]何天榮.新課程理念在高師《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)中的實施[J].科技信息,2010,(33):593.

[3]黃永輝,蓋功琪,宋士波.新課標(biāo)下高師數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)改革[J].哈爾濱學(xué)院學(xué)報,2012,33(10):116-118.

[4]盛興平,王海坤.新課標(biāo)下高師數(shù)學(xué)分析教學(xué)實踐與研究[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2013,29(1):11-14.

[5]劉劍.淺談數(shù)學(xué)分析對中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用[J].課程教育研究,2012,(27):9-11.

[6]邱勇.數(shù)學(xué)分析對中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用[J].時代教育,2013, (7):147.

[7]楊慧娟.數(shù)學(xué)教育價值的重新審視[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2010,19 (4):96-97.

[8]趙興杰.論西部地方高師數(shù)學(xué)專業(yè)課教學(xué)的師范性與學(xué)術(shù)性[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2010,19(4):85-87.

[9]郭玉峰,劉佳.師范院校學(xué)生“導(dǎo)數(shù)”內(nèi)容知識和教學(xué)內(nèi)容知識理解情況的調(diào)研[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2014,23(1):57-62.

（責(zé)任編輯：朱彬）

On the Teaching Strategies of Math Analysis in Normal Colleges from the Past Five College Entrance Exams

PAN Yong-hui
(School of mathematics and computer sciences, Zunyi Normal College, Zunyi 563002,China)

Abstract:How to integrate the specific contents of the middle school mathematics into the teaching of mathematical analysis is supposed to be a problem worthy to be looked at by math teachers. The author of this paper makes an analysis of the solutions to calculus questions from Math Paper in the national college entrance exams from 2010 to 2014, lists the teaching contents of function in senior high school, and puts forwards several suggestions as to how to teach math analysis in normal colleges.

Key words:college entrance exam; calculus; math analysis; math

作者簡介：潘永會，女，貴州遵義縣人，遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院副教授，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究。

基金項目：貴州省教育科學(xué)院基礎(chǔ)教育科研課題（2012B280）；遵義師范學(xué)院教研課題（13-39）

收稿日期：2015-06-12

中圖分類號：G642.0

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1009-3583（2015）-0083-03