培養(yǎng)直覺思維，學(xué)會(huì)“跟著感覺走”

曹彩華

[摘 要] 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，教師強(qiáng)調(diào)的“感覺”實(shí)質(zhì)上是一種直覺思維，而直覺思維一定程度上能反映學(xué)生的創(chuàng)造力. 現(xiàn)如今，社會(huì)的快速發(fā)展對(duì)我們的創(chuàng)新思維能力要求較高，因此教育工作者要通過教學(xué)活動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.

[關(guān)鍵詞] 初中教學(xué)；直覺思維；人教版

數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)的是邏輯思維，要求學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行理性思考. 但是，在聽取了一節(jié)習(xí)題公開課過后，筆者發(fā)現(xiàn)，在解題過程中，學(xué)生既需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維，又需要一定的直覺思維，即不經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯思維就能理解問題、給出問題答案的能力，這樣能極大地簡化選擇題、填空題的解答過程，同時(shí)能為證明題、計(jì)算題等題型提供思路. 下面筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)例進(jìn)行闡述.

巧用對(duì)稱性

在現(xiàn)實(shí)世界中，很多事物的美都體現(xiàn)在其本身的對(duì)稱性上. 數(shù)學(xué)是生活的抽象，數(shù)學(xué)中的菱形、圓、拋物線等都是高度對(duì)稱的圖形. 在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，學(xué)生常常會(huì)遇到看似不規(guī)則的、不對(duì)稱的圖形，但通過分割、補(bǔ)全、折疊等方式能使圖形出現(xiàn)對(duì)稱的部分，便于尋找其中的幾何關(guān)系或數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而應(yīng)用各種定理或性質(zhì)解決問題. 下面進(jìn)行舉例說明.

案例1 如圖1，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，且AC=AB+BD，試證明∠B=2∠C.

師：同學(xué)們，拿到這道題，大家認(rèn)為哪一個(gè)條件是關(guān)鍵？

生1：AD是∠BAC的平分線.

師：既然題目中有一個(gè)角的平分線是已知條件，那大家會(huì)怎么使用呢？

生2：可以構(gòu)造全等三角形.

師：具體怎么做呢？

生3：以AD為對(duì)稱軸折疊三角形ABC，因?yàn)椤螧AD與∠DAC相等，所以邊AB在折疊后會(huì)落在邊AC上，我們假設(shè)折疊后的點(diǎn)B落在點(diǎn)E處（如圖2），依據(jù)折疊的性質(zhì)可得△BAD≌△EAD. 再結(jié)合“AC=AB+BD”這一條件可以證明∠B=∠C+∠EDC=2∠C.

評(píng)析 在這道題的證明過程中，學(xué)生利用角的軸對(duì)稱性進(jìn)行直觀體會(huì). 當(dāng)然，在解題過程中，學(xué)生要適當(dāng)繪制輔助線，便于思考. 圖形的對(duì)稱雖然不是一個(gè)直接考點(diǎn)，但在很多幾何題型中都會(huì)用到，具有較強(qiáng)的實(shí)用性，因此教師要引導(dǎo)學(xué)生深入感受這一思想方法，做到靈活運(yùn)用.

學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合

代數(shù)問題具有較強(qiáng)的抽象性，學(xué)生思考起來比較困難. 在處理一些代數(shù)問題時(shí)，學(xué)生可以借鑒幾何圖形，利用幾何圖形的性質(zhì)來描述其中的數(shù)量關(guān)系，使思維過程更直觀，這樣的思維方法更符合中學(xué)生的認(rèn)知.

案例2 已知正數(shù)m，n滿足m+n=2，試求+的最小值.

師：這道題是求最小值，最值問題的常規(guī)思路有哪些？

生1：函數(shù).

師：那同學(xué)們覺得這道題構(gòu)造成關(guān)于m或關(guān)于n的函數(shù)之后，該怎么求最小值呢？

生2：這個(gè)函數(shù)好復(fù)雜啊.

師：同學(xué)們?cè)儆^察一下“+”這個(gè)條件，什么樣的情況下會(huì)出現(xiàn)這樣的根式？

生3：想不起來了.

師：我再提醒一下，“”可以看成“”，“”可以看成“.

生4：直角三角形求斜邊長度！

師：很好！那這道題我們不從代數(shù)的角度去思考，我們借助直角三角形，將這道題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形斜邊之和. 那大家覺得該怎樣設(shè)置這兩個(gè)三角形呢？

生5：可以在長度為2的線段上設(shè)置動(dòng)點(diǎn)，分別表示m與n.

師：來，把你構(gòu)想的圖形畫到黑板上.

（生5于是在黑板上畫出了圖3，即AE=EF=2，BF=1，∠AEF=∠BFE=90°）

師：很好，這道題基本可以解決了. 哪位同學(xué)來說說答案是多少？

生6：根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，即A，C，B三點(diǎn)共線時(shí)值最小，可得最小值為.

評(píng)析在利用數(shù)形結(jié)合方法解決代數(shù)問題時(shí)，關(guān)鍵是明確幾何化的方法以及繪制怎樣的幾何圖形. 因此，這種方法的難點(diǎn)就是學(xué)生要對(duì)幾何問題以及代數(shù)問題有深刻的認(rèn)識(shí)，能快速反應(yīng)，將兩者進(jìn)行聯(lián)系與轉(zhuǎn)化. 在學(xué)習(xí)與使用這種直觀方法的過程中，學(xué)生會(huì)漸漸明白同一個(gè)知識(shí)內(nèi)容會(huì)有不同的表現(xiàn)形式，知識(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)不能固化，更不能僵化，要做到靈活變通，追本溯源，掌握核心.

類比思想

在解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題的過程中，類比是一種直覺思維應(yīng)用形式，這種思想方法需要尋找兩個(gè)對(duì)象的相似點(diǎn)，以此為基礎(chǔ)進(jìn)行處理. 在解決問題時(shí)，學(xué)生如果能通過一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象發(fā)現(xiàn)與之相類似的另一個(gè)對(duì)象，就能使用類比推理的方法進(jìn)行解決.

案例3 已知線段AB上一共存在n個(gè)點(diǎn)（含端點(diǎn)A，B），那么這條線段上共有多少條線段？

師：在解決這個(gè)問題前，同學(xué)們先思考一下線段是由什么決定的.

生1：兩個(gè)端點(diǎn).

師：兩個(gè)端點(diǎn)分前后順序嗎？

生2：線段與端點(diǎn)的前后順序無關(guān).

師：沒錯(cuò). 明確了這兩點(diǎn)之后，我們先試著從一個(gè)端點(diǎn)出發(fā). 哪位同學(xué)回答一下線段AB上任意一點(diǎn)構(gòu)成的線段有多少條？

生3：（n-1）條.

師：那么所有的點(diǎn)構(gòu)成了多少條線段？

生3：n×（n-1）條.

師：其他同學(xué)有不同的意見嗎？

生4：這樣算的話，每兩個(gè)端點(diǎn)因?yàn)榍昂箜樞虿灰粯佣挥?jì)算了兩次，所以答案應(yīng)該是條.

師：很好. 那接下來對(duì)這道題進(jìn)行改編——如果從一個(gè)定點(diǎn)引出n條射線，一共能組成多少個(gè)角（不包含大于180°的角）？

生5：跟線段一樣，角只與兩條邊有關(guān)，且無序，所以一共可以組成個(gè)角.

評(píng)析 類比終究只是基于相似性的處理方法，所得到的結(jié)論不一定是正確的，并且結(jié)論還需要進(jìn)一步驗(yàn)證才能成立. 盡管如此，這種處理方法對(duì)于提升學(xué)生的直覺思維以及創(chuàng)造力來說具有較大的意義. 因此，在實(shí)際的教學(xué)活動(dòng)環(huán)節(jié)，教師需要運(yùn)用這種方法講授新知識(shí)，加強(qiáng)新、舊知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，經(jīng)常啟發(fā)學(xué)生，不斷提升學(xué)生的直覺思維能力.

合理猜想

案例4 如圖4，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AC上，且AE=CD，BQ⊥AD于點(diǎn)Q，BE交AD于點(diǎn)P，則BP-2PQ的值為（ ）

A. 1B. -1C. 0D. 無法確定

師：同學(xué)們，在做選擇題和填空題時(shí)，因?yàn)椴恍枰獣鴮戇^程，因此大家可以根據(jù)已知信息大膽假設(shè)，根據(jù)假設(shè)找條件，去驗(yàn)證自己的假設(shè)是否正確，這樣能給大家節(jié)省不少時(shí)間. 這是一種有效的應(yīng)試技巧. 在這道題中，有“BQ⊥AD”這一條件，要求解的是一個(gè)二倍關(guān)系，同時(shí)選項(xiàng)中有“0”這樣一個(gè)特殊值，大家會(huì)進(jìn)行怎樣的假設(shè)？

生1：∠PBQ=30°，BP=2PQ.

師：順著解題思路確實(shí)很容易有這樣的假設(shè)，看圖也比較符合，那如果這是一道證明題，嚴(yán)格證明的思路是什么呢？

生2：根據(jù)“SAS”可以證明△ABE≌△CAD，于是有∠ABE=∠CAD. 而△ABC是等邊三角形，所以∠BAC=60°. 所以∠BPQ=∠ABP+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°. 又BQ⊥AD，所以∠PBQ=30°. 所以BP=2PQ，即BP-2PQ=0.

評(píng)析 解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，適時(shí)地進(jìn)行猜想與假設(shè)也是一種有效的直覺思維，能簡化學(xué)生的思維過程，提升學(xué)生的創(chuàng)造力. 因此，在日常的課堂教學(xué)以及練習(xí)中，教師要選擇適當(dāng)?shù)木毩?xí)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想與假設(shè)，進(jìn)而提高學(xué)生的直覺思維能力. 比如，在選擇題的解答過程中，可以“由果索因”，以已知選項(xiàng)為突破口，合理地進(jìn)行假設(shè)，省略思維與解題過程.

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，提升學(xué)生的直覺思維能力也是教學(xué)重點(diǎn)，是課程改革的一大關(guān)鍵. 因此，廣大教師需要轉(zhuǎn)變固有的教學(xué)觀念，既要講授好知識(shí)內(nèi)容，又要加強(qiáng)學(xué)生的直覺思維，引導(dǎo)學(xué)生大膽聯(lián)想，勇于質(zhì)疑，科學(xué)驗(yàn)證，繼而培養(yǎng)與提升學(xué)生的直覺思維能力.