縱橫理念在幾何解題中的應(yīng)用

魯永明

[摘 要] 本文通過(guò)用垂直理念證明勾股定理和解決典型例題來(lái)闡述垂直在幾何解題中的價(jià)值. 若能提煉出問(wèn)題中的垂直，往往能使問(wèn)題回歸源頭，易于解決. 同時(shí)，其也說(shuō)明了構(gòu)建理念的重要性.

[關(guān)鍵詞] 垂直；縱橫理念；勾股定理

問(wèn)題由來(lái)

筆者有幸拜讀了重慶市萬(wàn)州高級(jí)中學(xué)張進(jìn)老師發(fā)表在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2017年1-2期上的一篇文章——《探索一道競(jìng)賽試題解法的心路歷程》，這是第24屆“希望杯”中的一道填空題，題干如下：

如圖1，在梯形ABED中，∠D=∠E=90°，△ABC是等邊三角形，且點(diǎn)C在DE上，如果AD=7，BE=11，則△ABC的面積為______.

張老師居然探索出13種解法，簡(jiǎn)直匪夷所思，令人嘆為觀止！相信對(duì)于有一定基礎(chǔ)的學(xué)生一定會(huì)腦洞大開、受益匪淺！

縱橫理念

那么，是否還有其他解決途徑呢？筆者想到了垂直（稱為縱橫）. 筆者在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中感悟到了垂直關(guān)系在解決幾何問(wèn)題中的重要地位，于是筆者在幾何學(xué)中漸漸有了一個(gè)重要的理念——縱橫理念，即在解決幾何問(wèn)題的過(guò)程中，盡可能提煉出問(wèn)題中的垂直關(guān)系，并以垂直為線索展開實(shí)踐、探索活動(dòng)，直至問(wèn)題解決.

人類進(jìn)化的標(biāo)志性特征是直立行走，從數(shù)學(xué)的視角來(lái)看，直立行走就是垂直，而垂直只是一種表象，背后蘊(yùn)藏著一股強(qiáng)大的生命能量！勾股定理就是最好的例證之一！把直角看作縱橫，勾股定理就是揭示斜與縱橫之間的一種數(shù)量關(guān)系.

縱橫理念證明勾股定理

已知：如圖2，設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c（c>b≥a），求證：a2+b2=c2.

勾股定理從“形”的角度理解，就是用小正方形①和②去填滿大正方形③. 根據(jù)縱橫理念，以小正方形①和②的位置為基本縱橫，并以此為基準(zhǔn)，將大正方形③的縱橫進(jìn)行再次“縱橫化”，以順應(yīng)基本縱橫. 具體操作如下：

（1）把圖2中的正方形②向左平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，如圖3，直角邊b將正方形②分割成左、右兩個(gè)矩形，左矩形的長(zhǎng)為b，寬為a，右矩形的長(zhǎng)為b，寬為（b-a）. 直角三角形的斜邊c把左矩形分成兩個(gè)全等的直角三角形，即△和

回到本文開頭的那道競(jìng)賽題，依然可用縱橫理念來(lái)演繹不同的解法.

分析 從圖1中可以提煉出兩個(gè)縱橫：“U”字形縱橫，即AD⊥DE，BE⊥DE構(gòu)成了本題的基本縱橫；而等邊三角形的特殊性在于，它是由兩個(gè)全等的含30°角的直角三角形構(gòu)成的，所以，很容易想到高——垂直，這就是等邊三角形ABC的縱橫. 類似勾股定理的證明方法，對(duì)這個(gè)三角形再次進(jìn)行“縱橫化”，以順應(yīng)本題的基礎(chǔ)縱橫，使兩個(gè)縱橫互通有無(wú).

回顧反思

“不忘初心，方得始終. ”縱橫是不是數(shù)學(xué)世界里的源頭？是不是數(shù)學(xué)世界里的初心？這也許是個(gè)大課題，但人類探索“源頭”的步伐從未停止. 《周髀算經(jīng)》中記載了“周公問(wèn)算”，即商高曰“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩”；《幾何原本》從五個(gè)公設(shè)出發(fā)，建立了一個(gè)完整的歐氏幾何體系；笛卡兒在垂直的基礎(chǔ)上創(chuàng)建了直角坐標(biāo)系……

“理念是行動(dòng)的先導(dǎo). ”讓解題成為孩子建立理念和踐行理念的平臺(tái)，成為孩子們漸修的一種途徑，并在這個(gè)過(guò)程中不斷發(fā)展和完善自己的理念體系，提升認(rèn)識(shí)事物的境界.

探究新知需要實(shí)踐、操作、猜想、證明，建立理念的過(guò)程同樣需要一個(gè)曲折的積累過(guò)程，積累到一定的量時(shí)，這些理念便會(huì)慢慢清晰，成為孩子人生中的公設(shè). 他們可以從這些理念公設(shè)出發(fā)，書寫自己生命中的《幾何原本》.