淺談如何巧妙添加輔助線

馮前進(jìn)

[摘 要]用簡(jiǎn)單已知的圖形去探索較復(fù)雜未知的圖形，是我們學(xué)習(xí)平面幾何最重要也是最基本的方法。在求解大多數(shù)幾何問(wèn)題時(shí)都需要添加輔助線，通常我們遇到的幾何圖形通過(guò)添加輔助線，使其轉(zhuǎn)換為特殊的平行四邊形、三角形、特殊角、特殊位置、特殊關(guān)系等來(lái)解決問(wèn)題。本文主要?dú)w納了三角形、梯形、圓等幾何圖形中添加輔助線的常用方法。

[關(guān)鍵詞]輔助線；基本圖形； 平行四邊形 ；三角形

一、添輔助線有二種情況

1.按定義添輔助線

如證明兩直線垂直可延長(zhǎng)使它們相交后證明交角為90°；證線段倍、半關(guān)系，可將倍線段取中點(diǎn)或半線段加倍；證明角的倍、半關(guān)系也可類似添輔助線。

2.按基本圖形添輔助線

每個(gè)幾何定理都有與它相對(duì)應(yīng)的幾何圖形，我們把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時(shí)補(bǔ)完整基本圖形，因此“添線”應(yīng)該叫做“補(bǔ)圖”！這樣可防止亂添線，添輔助線也有規(guī)律可循。舉例如下：

（1）平行線是個(gè)基本圖形。

當(dāng)幾何中出現(xiàn)平行線時(shí)添輔助線的關(guān)鍵是添與二條平行線都相交的等第三條直線。

【例1】：如圖1，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B+∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接EF，求EF的長(zhǎng)。

分析：利用作平行線把梯形底角放在一個(gè)三角形內(nèi)。

（2）等腰三角形是個(gè)簡(jiǎn)單的基本圖形。

當(dāng)幾何問(wèn)題中出現(xiàn)一點(diǎn)發(fā)出的二條相等線段時(shí)往往要補(bǔ)完整等腰三角形。出現(xiàn)角平分線與平行線組合時(shí)可延長(zhǎng)平行線與角的二邊相交得等腰三角形。

【例2】：如圖2，AB=AC，∠BAC=90，AD為∠ABC的平分線，CE⊥BE。求證：BD=2CE。

分析：延長(zhǎng)此垂線與另外一邊相交，得到等腰三角形，隨后全等。

（3）等腰三角形中的重要線段是個(gè)重要的基本圖形。

出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點(diǎn)添底邊上的中線；出現(xiàn)角平分線與垂線組合時(shí)可延長(zhǎng)垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的基本圖形。

【例3】：如圖3，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分別是BD、AC的中點(diǎn)，求證：EF//AD。

分析：連DF并延長(zhǎng)，利用全等即得中位線。

二、基本圖形的輔助線的畫法

1.三角形問(wèn)題添加輔助線方法

方法1：有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點(diǎn)的題目，常常利用三角形的中位線，通過(guò)這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問(wèn)題。

方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對(duì)稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識(shí)解決問(wèn)題。

方法3：結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線段的一些定理。

方法4：結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法，所謂截長(zhǎng)法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。

2.平行四邊形中常用輔助線的添法

平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成常見(jiàn)的三角形、正方形等問(wèn)題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡(jiǎn)解如下：

（1）連對(duì)角線或平移對(duì)角線；

（2）過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線構(gòu)造直角三角形；

（3）連接對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線；

（4）連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線段或延長(zhǎng)這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形；

（5）過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等。

【例11】：如圖11，已知平行四邊ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，，連E、F交AC于G.求AG：AC的值.

解法1： 如圖11—1，延長(zhǎng)FE交CB的延長(zhǎng)線于H.

解法2： 如圖11—2，延長(zhǎng)EF與CD的延長(zhǎng)線交于M，由平行四邊形ABCD可知，即AB∥MC.

3.梯形中常用輔助線的添法

梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識(shí)的綜合，通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線將梯形問(wèn)題化歸為平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn)題來(lái)解決。輔助線的添加成為問(wèn)題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：

（1）在梯形內(nèi)部平移一腰；

（2）梯形外平移一腰；

（3）梯形內(nèi)平移兩腰；

（4）延長(zhǎng)兩腰；

（5）過(guò)梯形上底的兩端點(diǎn)向下底作高；

（6）平移對(duì)角線；

（7）連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn)；

（8）過(guò)一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線；

（9）作中位線。

當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計(jì)算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過(guò)輔助線這座橋梁，將梯形問(wèn)題化歸為平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn)題來(lái)解決，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

【例12】：已知梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，E是腰AB上的一點(diǎn)，連結(jié)CE。

（1）如果，，，求的度數(shù)；

（2）設(shè)和四邊形的面積分別為S1和S2，且2S1=3S2，試求的值。

解法1 如圖12-1，延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)F.

解法2 如圖12-2，作DF∥AB分別交CE、CB于點(diǎn)G、F則，得平行四邊形ABFD同解法1可證得為等邊三角形.

解法3 如圖12-3，作交CD于G，交BC的延長(zhǎng)線于F作，分別交CE、BC于點(diǎn)H、I則，得矩形AEHG.

總而言之，要學(xué)好幾何圖形中輔助線的添加不是靠記憶概念，也不是靠盲目的題海戰(zhàn)術(shù)，要學(xué)會(huì)對(duì)題目類型的歸納，對(duì)知識(shí)點(diǎn)類型的歸納，在對(duì)題型以及知識(shí)點(diǎn)能熟練應(yīng)用的情況下，還要認(rèn)真總結(jié)。三角形、特殊四邊形是幾何的基本圖形，我們不僅要學(xué)好三角形、特殊四邊形中的輔助線添加，更是在生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，這樣才會(huì)讓生活更加豐富多彩。

參考文獻(xiàn)：

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