設(shè)點(diǎn)法設(shè)線法探討一道解析幾何題的解法

湖北省陽(yáng)新縣高級(jí)中學(xué)(435200)鄒生書

山西省長(zhǎng)治市沁縣中學(xué)(046400)王 河

解析幾何就是用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題,在高中階段就是用方程思想來(lái)處理直線與圓錐曲線及其位置關(guān)系等問(wèn)題.在高考中圓錐曲線必考一道大題,主要考查直線方程及圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率等幾何性質(zhì),考查定值定點(diǎn)、最值和取值范圍等問(wèn)題,重點(diǎn)考查運(yùn)算求解能力.圓錐曲線大題往往是題設(shè)條件多、關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜的動(dòng)態(tài)問(wèn)題,大多考生對(duì)這類問(wèn)題常常不知從何下手,不知道是該設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)還是設(shè)直線方程?怎么設(shè)?設(shè)多少個(gè)未知數(shù)?怎么列方程?怎么求解等?對(duì)考生的運(yùn)算求解能力是一個(gè)很大的挑戰(zhàn).解答這類問(wèn)題需要考生既能沖鋒限陣斬將奪關(guān),又能統(tǒng)領(lǐng)三軍,運(yùn)籌帷幄之中,決勝千里之外.下面以一道圓錐曲線問(wèn)題的解法為例,說(shuō)明如何用設(shè)點(diǎn)法和設(shè)線法解決直線與圓錐曲線的有關(guān)問(wèn)題,與讀者交流.

題目如圖1,已知橢圓O:點(diǎn)B,C分別是橢圓O的上下頂點(diǎn),點(diǎn)P是直線l:y=-2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與y軸交點(diǎn)除外),直線PC交橢圓于另一點(diǎn)M.

(1)已知直線BM,BP的斜率分別為k1,k2,求證：k1k2為定值;

思路一通過(guò)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)切入求解.

圖1

解法1(1)設(shè)點(diǎn)P(x0,-2),M(x,y),則將其代入橢圓方程整理得

因?yàn)橹本€PC與橢圓相交點(diǎn)C,M,則點(diǎn)C,M的縱坐標(biāo)是這個(gè)方程的兩個(gè)根,而點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為-1,由根與系數(shù)關(guān)系兩根之積求得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為代入x=-x0(y+1)得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為于是

因點(diǎn)M與點(diǎn)B不重合,故x0/=0,則所以的取值范圍是(9,+∞).

解法2(1)設(shè)點(diǎn)P(x0,-2),因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上,由橢圓參數(shù)方程設(shè)M(2cosθ,sinθ),則

點(diǎn)評(píng)上述兩種方法通過(guò)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P,M的坐標(biāo)切入求解,其中解法2用橢圓的參數(shù)方程設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo),然后根據(jù)P,C,M三點(diǎn)共線用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算列方程求解.解法1是將點(diǎn)P作為主動(dòng)點(diǎn),用點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x0表示從動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)以及斜率k1,k2,解法2是將點(diǎn)M作為主動(dòng)點(diǎn),用參數(shù)角θ表示點(diǎn)P的橫坐標(biāo)及斜率k1,k2.第2問(wèn)都采用分離常數(shù)法求取值范圍.

思路二通過(guò)設(shè)直線的方程切入求解.

解法3(1)因?yàn)橹本€PM過(guò)點(diǎn)C(0,-1),故可設(shè)直線PM的方程為y=kx-1,將其代入橢圓方程整理得(4k2+1)x2-8kx=0,此方程的兩個(gè)根分別是直線PC與橢圓交點(diǎn)C,M的橫坐標(biāo),而點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為0,則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為代入y=kx-1得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為則直線BM的斜率

解法4(1)因?yàn)橹本€PM過(guò)點(diǎn)C(0,-1),故可設(shè)直線PM的方程為y=kx-1.因?yàn)锽C為橢圓直徑,由文[1]知在y=kx-1中令y=-2得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為則直線BP的斜率所以

(2)同法3略.

點(diǎn)評(píng)解法3和解法4均以直線PM的點(diǎn)斜式方程切入求解,用直線PM的斜率k表示點(diǎn)P,M的坐標(biāo)及斜率k1,k2,其中解法4運(yùn)用橢圓直徑斜率的性質(zhì)求解,在證明k1k2為定值時(shí)可以起到簡(jiǎn)化運(yùn)算縮小解題長(zhǎng)度的作用.

解法5(1)因?yàn)橹本€BP過(guò)點(diǎn)B(0,1)且斜率為k1,故直線BP的方程為y=k1x+1,令y=-2得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為因?yàn)锽C為橢圓直徑,由文[1]知所以

解法6(1)因?yàn)橹本€BM過(guò)點(diǎn)B(0,1)且斜率為k2,故直線BM的方程為y=k2x+1.因?yàn)锽C是橢圓直徑,由文[1]知所以直線PC的方程為令y=-2得xP=4k2.又直線PB的方程為y=k1x+1,令y=-2得于是有

(2)將直線BM的方程y=k2x+1代入橢圓方程整理得

因?yàn)橹本€BM不平行于x軸,所以k2/=0,故的取值范圍是(9,+∞).

點(diǎn)評(píng)解法5(解法6)以直線BP(BM)的點(diǎn)斜式方程切入求解,用其斜率k1(k2)表示點(diǎn)P,M的坐標(biāo)及另兩條直線的斜率,這兩種解法充分運(yùn)用題目所設(shè)斜率k1,k2,不再另外設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)或設(shè)直線PM的方程,雖然解法與法3法4整體上大同小異,但解法直接.

筆者在文[1]中介紹了橢圓直徑三角形斜率的一個(gè)性質(zhì)與應(yīng)用,性質(zhì)如下：

性質(zhì)已知AB是橢圓或圓C:0)的任一直徑,點(diǎn)P是曲線C上異于A,B的任意一點(diǎn),若直線PA,PB都不平行于坐標(biāo)軸,則

當(dāng)橢圓試題中涉及直徑三角形斜率的有關(guān)問(wèn)題時(shí),宜用直線點(diǎn)斜式方程的設(shè)線法,若能運(yùn)用上述性質(zhì)處理則解法更加快速高效.

高考鏈接2009年高考福建卷理科第19題第2問(wèn)題,2011年高考江蘇卷理科第18題第3問(wèn),2012年高考湖北卷理科第21題第2問(wèn)等,可用設(shè)線法結(jié)合性質(zhì)求解,考題如下,解法見(jiàn)文[1]這里從略.

1(2009年高考福建卷理科第19題)已知A,B分別為曲線C:=1(y≥0,a＞0)與x軸的左右兩個(gè)交點(diǎn),直線l過(guò)點(diǎn)B,且與x軸垂直,S為l上異于點(diǎn)B的一點(diǎn),連結(jié)AS交曲線C于點(diǎn)T.

(1)若曲線C為半圓,點(diǎn)T為圓弧AB的三等分點(diǎn),試求出點(diǎn)S的坐標(biāo);

(2)點(diǎn)M是以SB為直徑的圓與線段TB的交點(diǎn),試問(wèn)：是否存在a,使得O,M,S三點(diǎn)共線?若存在,求出a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

2(2011年高考江蘇卷理科第18題)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,M,N分別是橢圓=1的頂點(diǎn),過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P,A兩點(diǎn),其中點(diǎn)P在第一象限,過(guò)P作x軸的垂線,垂足為C.連接AC并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B,設(shè)直線PA的斜率為k.

圖2

(1)當(dāng)直線PA平分線段MN時(shí),求k的值;

(2)當(dāng)k=2時(shí),求點(diǎn)P到直線AB的距離d;

(3)對(duì)任意的k＞0,求證：PA⊥PB.

3(2012年高考湖北卷理科第21題)已知A是單位圓x2+y2=1上的任意一點(diǎn),l是過(guò)A點(diǎn)與x軸垂直的直線,D是直線l與x軸的交點(diǎn),點(diǎn)M在直線l上,且滿足|DM|=m|DA|(m＞0且m/=1),當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程,判斷曲線C為何種圓錐曲線,并求焦點(diǎn)坐標(biāo);

(2)過(guò)原點(diǎn)且斜率為k的直線交曲線C于兩點(diǎn)P,Q,其中P在第一象限,它在y軸上的射影為點(diǎn)N,直線QN交曲線C于另一點(diǎn)H.是否存在m,使得對(duì)任意的k＞0,都有PQ⊥PH?若存在,求m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析幾何就是用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題,設(shè)點(diǎn)法和設(shè)線法是解決動(dòng)直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本方法.當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求解可避免對(duì)直線斜率存在性的討論,中點(diǎn)弦問(wèn)題的點(diǎn)差法是設(shè)點(diǎn)法的經(jīng)典解法.直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立組成方程組,用方程思想和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系求解是解決這類問(wèn)題的通性通法.在解題過(guò)程中要有目標(biāo)意識(shí),在用設(shè)點(diǎn)法或設(shè)線法求解時(shí),要注意“主”與“輔”的關(guān)系,要始終圍繞目標(biāo)和解題計(jì)劃展開(kāi)求解,抓住問(wèn)題的主要矛盾,抓住矛盾的主要方面,抓住牛鼻子牛就怪怪地跟著你走了.在設(shè)點(diǎn)或設(shè)線法中,若能用某個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)或某直線方程中的某一個(gè)或幾個(gè)變量去表示其余的點(diǎn)的坐標(biāo)或直線的方程,這樣抓住“牛鼻子”就使得定值證明、最值求解和取值范圍問(wèn)題迎刃而解了.