一道解析幾何定值問題的探究與拓展

華南師范大學(xué)附屬中學(xué)汕尾學(xué)校(516600)劉光明

無(wú)論是高考真題還是教研考試題都凝聚著智慧,都已深入挖掘某一知識(shí)領(lǐng)域,猶如數(shù)學(xué)花叢中一朵魅力之花,牽動(dòng)著無(wú)數(shù)一線教師和教研工作者的心,備受青睞.最近有幸碰見一道解析幾何定值問題,看似平淡無(wú)奇,精心思量其源遠(yuǎn)流長(zhǎng).經(jīng)過可視化幾何畫板的探究和推理論證得到了一般性的結(jié)論,更甚者其逆命題也具有一般性結(jié)論,在此與讀者共享.

1 .原題呈現(xiàn)與多解探究

試題如圖1,已知橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F2,動(dòng)點(diǎn)P在橢圓C上,△PF1F2的面積的最大值為√橢圓的右頂點(diǎn)與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)重合.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

圖1

(2)設(shè)直線l:y=k(x-4)(k/=0)與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),記橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,設(shè)直線A1M,A2N的交點(diǎn)為G,求證：點(diǎn)G在定直線x=1上.

解析(1)拋物線y2=8x焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),故橢圓右頂點(diǎn)為(2,0),即a=2,又又-b≤yP≤b,故△PF1F2的面積的最大值為cb=因?yàn)閍＞b＞1,所以b=故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(2)方法1設(shè)而不求,解出交點(diǎn)坐標(biāo).

由(1)可知A1(-2,0),A2(2,0),不妨設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),因?yàn)閗/=0,所以M,N與橢圓頂點(diǎn)不重合,于是直線A1M方程為直線A2N方程為由

得

將(?)式代入(??)式化簡(jiǎn)整理可得：

因此點(diǎn)G在定直線x=1上.

方法2巧借三點(diǎn)共線,簡(jiǎn)化運(yùn)算程序.

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),G(x3,y3),由題意x1,x2,x3兩兩不等,因?yàn)锽,M,N三點(diǎn)共線,所以所以又點(diǎn)M,N在橢圓上,于是

整理得：

又A1,M,G三點(diǎn)共線,故

另有A2,N,G三點(diǎn)共線,則

將①與②兩式相除可得

所以

故

將2x1x2-5(x1+x2)+8=0即x1x2=-4代入可得,解得x3=4(舍去)或x3=1,所以點(diǎn)G在定直線x=1上.

點(diǎn)評(píng)直線與圓錐曲線相交問題,自然而然地聯(lián)想到“設(shè)而不求”,通過聯(lián)立方程消元后運(yùn)用韋達(dá)定理處理,正如方法1所呈現(xiàn)出的基本歷程,相比之下方法2巧妙借助一些幾何關(guān)系(共線、垂直、平行、相似比等)可以簡(jiǎn)化一定的運(yùn)算量,卻不能很好求解交線的斜率范圍,故而在解析幾何的教學(xué)中需要關(guān)注幾何直觀素養(yǎng)的滲透.

2 .橢圓中一般性結(jié)論

性質(zhì)1如圖2,已知橢圓E:=1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,過點(diǎn)的直線l與橢圓相交于兩個(gè)不同點(diǎn)M,N,且M,N異于A,B兩點(diǎn),直線AM與直線BN相交于點(diǎn)G,則點(diǎn)G在定直線x=c上.

圖2

利用幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示功能,先定參數(shù)a,b,讓直線l的斜率改變,跟蹤交點(diǎn)G的軌跡,則可觀察到如圖2所示垂直于x軸的直線,通過度量得到該直線方程就是x=c.有了這個(gè)直觀感知,進(jìn)一步推理證明如下：

證明由題意可知A(-a,0),B(a,0),直線l的斜率存在,不妨設(shè)為k,則直線l方程為

假設(shè)N(x1,y1),M(x2,y2),則直線AM方程為

直線BN方程為

由

可解得

由

消去y可得

將(2)式代入(1)式化簡(jiǎn)整理可得

即點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為xG=c,故點(diǎn)G在定直線x=c上,因此性質(zhì)1成立.

點(diǎn)評(píng)若假定性質(zhì)1中的參數(shù)取相應(yīng)定值a2=4,b2=3,則直線過點(diǎn)T(4,0),點(diǎn)G在定直線x=c=1上,故原題是性質(zhì)1的一種特殊情形.

3 .逆向探究

依照?qǐng)A錐曲線的類比探究的思維慣例,借助幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示,經(jīng)過理論的邏輯推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)其逆命題也深藏玄機(jī).=1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)G為直線x=c上的動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)G不在橢圓E上,若直線GA,GB與橢圓E分別相交于點(diǎn)M,N,則直線MN恒過定點(diǎn)

性質(zhì)2如圖3,已知橢圓E:

圖3

證明假設(shè)點(diǎn)G(c,t),M(x1,y1),N(x2,y2),則直線GA方程為

直線GB方程為

由

消去y可得

又xA=-a故

從而

故點(diǎn)

同理可得點(diǎn)

所以直線MN的斜率

因此直線MN的方程為

4 .運(yùn)用類比思想,在雙曲線中拓展

圓錐曲線的魅力就在于其豐富多彩甚至是無(wú)窮盡的性質(zhì),而思考探索的思路大都是采取類比推理進(jìn)行推廣拓展.通過超級(jí)幾何畫板進(jìn)行探索(如圖4所示),得到了雙曲線中的一般結(jié)論,推理論證詳見性質(zhì)3.

性質(zhì)3如圖4,已知點(diǎn)A,B分別為雙曲線E:1(a,b＞0)的左右頂點(diǎn),過點(diǎn)的直線l與雙曲線E相交于兩個(gè)不同點(diǎn)M,N,且M,N異于A,B兩點(diǎn),直線AM與直線BN相交于點(diǎn)G,則點(diǎn)G在定直線x=c上.

圖4

證明由題意可知A(-a,0),B(a,0),假設(shè)N(x1,y1),M(x2,y2),則直線AM方程為直線BN方程為

可解得

消去y可得

將(4)式代入(3)式化簡(jiǎn)整理可得

即點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為xG=c,故點(diǎn)G在定直線x=c上.

性質(zhì)4已知雙曲線E:的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)G為直線x=c上的動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)G不在雙曲線E上,若直線GA,GB與雙曲線E分別相交于點(diǎn)M,N,則直線MN恒過定點(diǎn)

性質(zhì)4的證明,有興趣的讀者可以模仿性質(zhì)2證明過程進(jìn)行,在此故不再贅述.

希爾伯特說(shuō)“數(shù)學(xué)問題的寶藏是無(wú)窮無(wú)盡的,一個(gè)問題一旦解決,無(wú)數(shù)新的問題就會(huì)取而代之.”作為一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者而言,遨游在數(shù)學(xué)的海洋中,總會(huì)情不自禁地思考一個(gè)問題：解決前一問題的方法能否也能用來(lái)解決后續(xù)的一些延展性的問題,猶如波利亞所說(shuō)“解數(shù)學(xué)題就像采蘑菇一樣,當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)蘑菇時(shí),在它的周圍可能有一個(gè)蘑菇圈”.因此,數(shù)學(xué)教學(xué)的路途風(fēng)景無(wú)限好,大膽假設(shè),用心雕琢,細(xì)心求證才能品味出數(shù)學(xué)的迷人之處.