從“圓”題談起

陜西省西安市高新區(qū)高新第三中學(xué) 呂二動

陜西省西安市西北大學(xué)附屬中學(xué) 郭 濤

題目如圖1,圓C與y軸相切于點(diǎn)T(0,2),與x軸正半軸相交于兩點(diǎn)M,N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)),且|MN|=3.

(I)求圓C的方程;

(II)過點(diǎn)M任作一條直線與圓O:x2+y2=4相交于A,B兩點(diǎn),連接AN,BN,求證：∠ANM=∠BNM.

圖1

解(I)設(shè)圓C的半徑為a(a＞0),則由題意得圓心坐標(biāo)為(a,2),因為|MN|=3,所以故圓C的方程為

(II)證明：把y=0代入方程

解得x=1或x=4,即點(diǎn)M(1,0),N(4,0).

(i)當(dāng)直線AB與x軸不垂直時,設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1),由

得

因為點(diǎn)M在圓O內(nèi),所以上述方程有兩實根,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),從而

因為

即kAN+kBN=0,故∠ANM=∠BNM.

(ii)當(dāng)直線AB⊥x軸時,∠ANM=∠BNM成立.

綜上,∠ANM=∠BNM成立.

一、命題研究與拓展

筆者對此題進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn)M(1,0),N(4,0)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為r2,便有下面結(jié)論：

結(jié)論1過圓C:x2+y2=r2內(nèi)一點(diǎn)M(x0,0)作一條直線與圓C相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)連接AN,BN,則∠ANM=∠BNM.

此結(jié)論的證明仿照前面題目.

筆者繼續(xù)對此題進(jìn)行研究,猜想此結(jié)論能否推廣到橢圓、雙曲線、拋物線呢?答案是肯定的.

結(jié)論2已知橢圓C:1(a＞b＞0).過橢圓內(nèi)一點(diǎn)M(x0,0)的直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)連接AN,BN,則有∠ANM=∠BNM.

證明設(shè)直線l的方程為：x=my+x0,A(x1,y1),B(x2,y2),由

消去x得：

所以

因為

即kAN+kBN=0,故∠ANM=∠BNM.

注當(dāng)點(diǎn)M為右(左)焦點(diǎn)時,點(diǎn)N對應(yīng)的點(diǎn)正好為右(左)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn).

結(jié)論3已知雙曲線C:=1(a＞0,b＞0).過x軸上一點(diǎn)M(x0,0)(x0/=0)的直線與雙曲線C相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)連接AN,BN,則有∠ANM=∠BNM.

證明設(shè)直線l的方程為：x=my+x0,A(x1,y1),B(x2,y2),由

消去x得：

所以

因為

即kAN+kBN=0,故∠ANM=∠BNM.

注當(dāng)點(diǎn)M為右(左)焦點(diǎn)時,點(diǎn)N對應(yīng)的點(diǎn)正好為右(左)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn).

結(jié)論4已知拋物線C:y2=2px(p＞0).過x軸上一點(diǎn)M(x0,0)(x0/=0)的直線與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)N(-x0,0),連接AN,BN,則有∠ANM=∠BNM.

證明設(shè)直線l的方程為：x=my+x0,A(x1,y1),B(x2,y2),由

消去x得：y2-2mpy-2px0=0,所以

因為

即kAN+kBN=0,故∠ANM=∠BNM.

注當(dāng)點(diǎn)M為焦點(diǎn)時,點(diǎn)N對應(yīng)的點(diǎn)正好為準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn).

二、命題變式與拓展

變式(2015年高考全國卷I)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C:與直線y=kx+a(a＞0)交與M,N兩點(diǎn).(I)當(dāng)k=0時,分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程;(II)y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)k變動時,總有∠OPM=∠OPN?說明理由.

解(I)由題設(shè)可得或在處的到數(shù)值為處的切線方程為在處的導(dǎo)數(shù)值為處的切線方程為故所求切線方程為

(II)存在符合題意的點(diǎn).證明如下：

設(shè)P(0,b)為符合題意得點(diǎn),M(x1,y1),N(x2,y2),直線PM,PN的斜率分別為k1,k2.將y=kx+a代入C得方程整理得x2-4kx-4a=0.所以x1+x2=4k,x1x2=-4a,所以

當(dāng)b=-a時,有k1+k2=0,則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ),故∠OPM=∠OPN,所以P(0,-a)符合題意.

性質(zhì)1已知橢圓C:=1(a＞b＞0),橢圓與直線y=kx+m(m/=0,m/=b)交于M,N兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P(0,n)為y軸上一點(diǎn),當(dāng)k變動時,總有∠OPM=∠OPN,則mn=b2.

證明聯(lián)立方程

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則

因為當(dāng)k變動時,總有∠OPM=∠OPN,所以kPM+kPN=0,又因為

所以mn=b2.

一個自然的問題是：性質(zhì)1的逆命題是否也成立呢?

性質(zhì)2已知橢圓C:=1(a＞b＞0),橢圓與直線y=kx+m(m/=0,m/=b)交于M,N兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P(0,n)為y軸上一點(diǎn),且mn=b2,則當(dāng)k變動時,總有∠OPM=∠OPN.

證明聯(lián)立方程

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則

因為mn=b2,所以

所以當(dāng)k變動時,總有∠OPM=∠OPN.

性質(zhì)3已知雙曲線C:=1(a＞0,b＞0),雙曲線與直線y=kx+m(m/=0)交于M,N兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P(0,n)為y軸上一點(diǎn),當(dāng)k變動時,總有∠OPM=∠OPN,則mn=-b2.

證明聯(lián)立方程

因為當(dāng)k變動時,總有∠OPM=∠OPN,所以kPM+kPN=0,又因為

所以mn=-b2.

性質(zhì)4已知雙曲線C:=1(a＞0,b＞0),雙曲線與直線y=kx+m(m/=0)交于M,N兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P(0,n)為y軸上一點(diǎn),且mn=-b2,則當(dāng)k變動時,總有∠OPM=∠OPN.

證明聯(lián)立方程

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則

因為mn=-b2,所以

所以當(dāng)k變動時,總有∠OPM=∠OPN.

性質(zhì)5已知拋物線C:x2=2py(p＞0),拋物線與直線y=kx+m(m/=0)交于M,N兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P(0,n)為y軸上一點(diǎn),當(dāng)k變動時,總有∠OPM=∠OPN,則m+n=0.

證明聯(lián)立方程

得x2-2pkx-2pm=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則

因為當(dāng)k變動時,總有∠OPM=∠OPN,所以kPM+kPN=0,又因為

所以m+n=0.

性質(zhì)6已知拋物線C:x2=2py(p＞0),拋物線與直線y=kx+m(m/=0)交于M,N兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P(0,n)為y軸上一點(diǎn),且m+n=0,則當(dāng)k變動時,總有∠OPM=∠OPN.

證明聯(lián)立方程

得

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則

因為m+n=0,所以

又因為kPM+kPN=0,所以當(dāng)k變動時,總有∠OPM=∠OPN.

當(dāng)然性質(zhì)6中拋物線開口向下時結(jié)論仍然成立.

與此問題相類似的問題：

問題1已知橢圓C:=1(a＞b＞0),點(diǎn)P(0,m),Q(0,n)且mn=b2,設(shè)M,N是橢圓上關(guān)于y軸對稱的不同兩點(diǎn),直線PM與QN相交于點(diǎn)T,求證：點(diǎn)T在橢圓C上.

問題2已知雙曲線C:=1(a＞b＞0),點(diǎn)P(0,m),Q(0,n)且mn=-b2,設(shè)M,N是雙曲線上關(guān)于y軸對稱的不同兩點(diǎn),直線PM與QN相交于點(diǎn)T,求證：點(diǎn)T在雙曲線C上.

問題3已知拋物線C:y2=2px(p＞0),點(diǎn)P(m,0),Q(n,0)且m+n=0,設(shè)M,N是拋物線上關(guān)于x軸對稱的不同兩點(diǎn),直線PM與QN相交于點(diǎn)T,求證：點(diǎn)T在拋物線C上.

數(shù)學(xué)教育家喬治.波利亞有句名言：“掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題.”數(shù)學(xué)解題貴在自然、本質(zhì),意在簡單、深刻.奇思妙解雖讓人拍案叫絕,但通性通法更加平易近人,揭露本質(zhì)內(nèi)涵,使我們知其然且知其所以然.高考真題也是如此,要經(jīng)過多思善想,這樣才會有驚喜和收獲,在學(xué)習(xí)中要學(xué)會用抽象、類比、和變式去研究數(shù)學(xué)問題,更重要的是可以提升數(shù)學(xué)品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng),既需要大膽的猜想和細(xì)心的求證,還需要堅定的意志和靈通的變通,所以說,只有多思、多想、多變,才會有創(chuàng)新,發(fā)現(xiàn)和收獲.