兩條水平射線的光滑連接*

石冶郝 伍和用

(1.首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院, 北京 100048; 2.湖南省新邵縣寸石鎮(zhèn)大富學(xué)校 湖南 新邵 422907)

0 引 言

文[2]用五種不同的方法得出函數(shù)e1/x的高階導(dǎo)數(shù)公式：

(*)

0≤φ(x)≤1,?x∈R;

φ(x)=1,x≥1;φ(x)=0,x≤0.

0≤ψ(x)≤1,?x∈R;

ψ(x)=1,x≥b;ψ(x)=0,x≤a.

例如

在R上可導(dǎo)任意多次，而且它的圖象中段隆起，兩側(cè)水平展開(kāi)，將這樣的函數(shù)稱為鐘形函數(shù)或隆起函數(shù)(bump function).

在一些實(shí)際應(yīng)用中，如果需要光滑連接兩條水平射線，這里光滑意指無(wú)窮次求導(dǎo).由泛函分析的知識(shí)，這樣的函數(shù)是存在的(見(jiàn)[3，定理1.1.5])，而且由卷積的形式給出.本文從函數(shù)e1/x出發(fā)，構(gòu)造一個(gè)分段函數(shù)屬于C∞(R)，實(shí)現(xiàn)兩條水平射線的光滑連接.

1 主要結(jié)論

定理設(shè)a

這里c1，c2為常數(shù)，exp(x)=ex，則F(x)∈C∞(R).

證明設(shè)函數(shù)

現(xiàn)在只須證明函數(shù)H(x)∈C∞(R).顯然函數(shù)H(x)在x≠0，x≠-1處可以無(wú)窮次求導(dǎo)，只須考察它在x=0，x=-1處的可導(dǎo)性.

接下來(lái)我們證明函數(shù)H(x)的高階導(dǎo)數(shù)H(n)(x)滿足

h′(x)=h(x)e1/x[(x+1)-2+(x+1)-1x-2]，

繼續(xù)求導(dǎo)，由乘積函數(shù)的高階求導(dǎo)法則與引言中的(*)式，計(jì)算得h(r)(x)為形如

的函數(shù)之和，其中c(x)是1/x的多項(xiàng)式，在x=-1連續(xù)，i,j,k為正整數(shù).

當(dāng)-1

因此H(n)(x)為形如

的函數(shù)之和，其中c1(x)是1/x的多項(xiàng)式，在x=-1連續(xù)，c2(x)是1/(x+1)的多項(xiàng)式，在x=0連續(xù)，i1,j1,k1,k2為正整數(shù).而對(duì)任意的正整數(shù)k，根據(jù)洛比達(dá)法則，有

于是,

函數(shù)H(x)的圖象如下：

2 說(shuō) 明

同理函數(shù)H(x)在x=0處的泰勒級(jí)數(shù)

在實(shí)軸上收斂，且和函數(shù)恒等于零，它不等于H(x).因此研究某個(gè)函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)時(shí)，必須討論這個(gè)級(jí)數(shù)的余項(xiàng).