細(xì)說輕繩上的那些事

河北 牛紅標(biāo)

輕繩，是高中物理中的一個重要的理想化模型，沒有彈性，不計質(zhì)量及重力，兩端及內(nèi)部張力大小總是處處相等，產(chǎn)生形變量不計，因而彈力的大小不能由形變特點(diǎn)計算。高中有很多涉及輕繩的問題，它的作用表現(xiàn)出很強(qiáng)的適應(yīng)性，好像是“要我怎樣就怎樣”，如果對輕繩作用力的特點(diǎn)不了解，就不能很好地解決相關(guān)的問題。其實(shí)，認(rèn)真總結(jié)分析也不難發(fā)現(xiàn)，輕繩的作用主要是彈力具有瞬間變化特點(diǎn)，體現(xiàn)在以下四個方面，下面分類一一闡述，讓大家對輕繩的作用特點(diǎn)有更清楚的認(rèn)識。

一、有關(guān)輕繩彈力大小的突變問題

用輕繩連接的物體，當(dāng)運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生變化時，輕繩也隨之出現(xiàn)“適應(yīng)性”的變化。

【例1】如圖1所示，將兩個質(zhì)量均為m的小球1和2,用一根輕繩相連，用另一根輕繩懸掛在天花板上而靜止，則在剪斷上面輕繩的瞬間，小球1和2的加速度分別是 ( )

A.a1=0,a2=g

B.a1=g,a2=0

C.a1=g，a2=g

D.a1=2g,a2=0

【解析】處于平衡時兩繩拉力大小分別為2mg和mg，當(dāng)把上面細(xì)繩剪斷瞬間，兩個小球?qū)⑼瑫r下落做自由落體運(yùn)動，加速度均為g，1、2之間的細(xì)繩沒有彈性，其形變量不計，作用力立即減為零。所以選C。

【點(diǎn)評】本題中，剪斷上面細(xì)繩瞬間由于輕繩沒有形變恢復(fù)時間，兩球之間的輕繩拉力立即突變?yōu)?。有同學(xué)認(rèn)為選D，認(rèn)為繩斷裂時兩球間的繩作用力不變，這是錯誤的，假設(shè)選D，下落瞬間加速度不等，下一時刻1的速度將大于2，以后運(yùn)動中兩個小球間的距離將會減小，與事實(shí)不相符，所以這種想法不正確。

【例2】如圖2甲所示，一質(zhì)量為m的小球系于長度分別為L1、L2的兩根細(xì)繩OA、OB上，OB一端固定在天花板上，與豎直方向夾角為θ，OA水平拉直，小球處于平衡狀態(tài)如圖2中甲，現(xiàn)在將OA剪斷，求剪斷瞬間小球的加速度，若將繩OB換為長度為L2的輕質(zhì)彈簧，如圖2中乙所示，結(jié)果又如何？

【解析】分析與解答：剪斷前，小球受力如圖3中甲所示，利用平衡條件，則mg與F2的合力與F1大小相等，方向相反，可以解得F1=mgtanθ。

若OB繩換成彈簧，F(xiàn)1消失的瞬間，彈簧彈力F2及重力的大小方向均不變，所以其合力大小為F合=F1=mgtanθ，方向水平向右，如圖3中丙,所以其瞬間加速度大小為a=gtanθ,方向水平向右。

【點(diǎn)評】輕繩和彈簧的彈力特點(diǎn)明顯不同，彈簧彈力有明顯形變，形變保持則力仍然保持，而輕繩則不同，形變微小不計，瞬間就可以適應(yīng)變化，需要根據(jù)實(shí)際運(yùn)動效果來計算其作用力大小。

【例3】如圖4所示，物體A和物體B用跨過定滑輪的輕繩連接，A、B的質(zhì)量分別是m和2m，勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧一端固定，另一端與物體A相連，物體A位于水平面上，物體B位于傾角為θ的斜面上，整個系統(tǒng)不計一切摩擦。開始時，物體B在一沿斜面向上的外力F=2mgsinθ的作用下保持靜止且輕繩恰好伸直，然后撤去外力F，直到物體B獲得最大速度，且彈簧未超過彈性限度，則在此過程中以下說法正確的是 ( )

A．撤去外力F的瞬間，物體B的加速度為gsinθ

C．物體A的動能增加量與彈簧的彈性勢能增加量的和等于B的重力勢能減少量

D．繩上彈力逐漸增大

二、有關(guān)輕繩上物體速度的突變問題

當(dāng)物體的速度方向與繩子不在同一條直線上時，物體的速度可分解為沿繩子方向的分速度和垂直于繩子方向的分速度，那么當(dāng)繩子突然繃緊時，由于繩子沒有彈性，沿繩子方向的分速度會突變?yōu)榱?，而垂直于繩子方向的分速度保持不變。

【例4】如圖5所示，有一質(zhì)量為m的小球P與穿過光滑水平板中央小孔O的輕繩相連，用力拉著繩子另一端使P在水平板內(nèi)繞O做半徑為a、角速度為ω1的勻速圓周運(yùn)動。求：(1)若將繩子從這個狀態(tài)迅速放松后又拉住，使P繞O做半徑為b的勻速圓周運(yùn)動，從放松到拉住這段過程經(jīng)過了多長時間。(2)P做半徑為b的圓周運(yùn)動的角速度ω2。

【解析】(1)小球在半徑為a的圓周上線速度：v1=aω1

繩子放松后，小球保持v1的速度沿切線做勻速直線運(yùn)動，從放開到拉緊這段位移為x，俯視圖如圖6。

由幾何關(guān)系得：

又因?yàn)椋簒=v1t

(2)在拉直過程中，P的速度v1可分解為沿繩子方向和垂直于繩子方向的兩個分速度。當(dāng)繩子突然拉直時，由于繩子彈力的作用，使沿繩子方向的分速度突變?yōu)榱?，而垂直于繩子方向的分速度v2保持不變，所以小球P將以速度v2做半徑為b的勻速圓周運(yùn)動。

【點(diǎn)評】本題的第(2)問是學(xué)生經(jīng)常出錯的地方，錯誤的原因就在于，沒有注意到小球的速率在繩子拉直的瞬間會發(fā)生突變，而錯誤地認(rèn)為小球的速率仍然為v1。

【例5】如圖7，質(zhì)量1 kg的小球用0.8 m長的細(xì)線懸于固定點(diǎn)O?，F(xiàn)將小球沿圓周拉到右上方的B點(diǎn)，此時小球離最低處A點(diǎn)(未畫出)的高度是 1.2 m。松手讓小球無初速下落，試求它運(yùn)動到最低處時對細(xì)線的拉力。

【解析】第一過程：質(zhì)點(diǎn)做平拋運(yùn)動。設(shè)繩即將伸直時，繩與豎直方向的夾角為θ，如圖10所示，則

第二過程：繩繃直過程，繩繃直時剛好水平，如圖11所示。

第三過程：小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動。設(shè)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)O點(diǎn)正下方時，速度為v′

設(shè)此時繩對質(zhì)點(diǎn)的拉力為T，

三、以輕繩關(guān)聯(lián)的系統(tǒng)中繃直過程中系統(tǒng)機(jī)械能的損失

【解析】本題的關(guān)鍵在于“繩子瞬間繃直”時其張力可看成遠(yuǎn)大于外力F，所以可認(rèn)為A、B組成的系統(tǒng)動量守恒。由于輕繩不考慮其形變，故繃直后兩物體沿繩方向速度相等，此過程相當(dāng)于完全非彈性碰撞，系統(tǒng)的動能有損失。

繩繃直的瞬間，可認(rèn)為T?F，因此系統(tǒng)的動量守恒:mAv1=(mA+mB)v2

對于繩繃直后，A、B組成的系統(tǒng)(看成一個整體)的共同運(yùn)動過程，由動能定理得

聯(lián)立解得L=0.25 m。

【點(diǎn)評】類似本題的兩物體通過繩連接，繩子在繃緊瞬間屬于廣義上的完全非彈性碰撞的情況，請注意上述因瞬時做功造成機(jī)械能向其他形式能量轉(zhuǎn)化的特點(diǎn)。處理問題時，務(wù)請注意在瞬間作用中所隱含的重要變化，這樣才能找到正確的解題方向。

【例8】在光滑的水平面上，有一質(zhì)量為m1=20 kg的小車，通過幾乎不可伸長的輕繩與另一個質(zhì)量m2=25 kg的足夠長的拖車連接。質(zhì)量m3=15 kg的物體在拖車的長平板上，與平板間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，開始時，物體和拖車靜止，未拉緊。如圖13所示，小車以v0=3 m/s的速度向前運(yùn)動，求：(1)三者以同一速度前進(jìn)時速度大小。(2)物體在平板車上移動的距離。

【解析】(1)在從繩子開始拉緊到m1、m2、m3以共同速度運(yùn)動，m1、m2、m3組成的系統(tǒng)動量守恒

m1v0=(m1+m2+m3)v，代入數(shù)據(jù)解得v=1 m/s。

(2)在繩子拉緊瞬間，m1、m2組成的系統(tǒng)動量守恒

m1v0=(m1+m2)v1

由功能關(guān)系得

【點(diǎn)評】本題中m1、m2拉直細(xì)繩瞬間，內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，動量守恒，相當(dāng)于發(fā)生了一次完全非彈性碰撞，系統(tǒng)會損失機(jī)械能，之后一起向右運(yùn)動，m3與m2產(chǎn)生相對滑動，再由功能關(guān)系求在平板車上滑動的位移。

四、細(xì)繩關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒

【例9】如圖14所示，三個質(zhì)量均為m的彈性小球用兩根長均為L的輕繩連成一條直線而靜止在光滑水平面上?，F(xiàn)給中間的小球B一個水平初速度v0，方向與繩垂直。小球相互碰撞時無機(jī)械能損失，輕繩不可伸長。求：(1)當(dāng)小球A、C第一次相碰時，小球B的速度；(2)當(dāng)三個小球再次處在同一直線上時，小球B的速度；(3)運(yùn)動過程中小球A的最大動能EkA和此時兩根繩的夾角θ；(4)當(dāng)三個小球處在同一直線上時，繩中的拉力F的大小。

(2)當(dāng)三個小球再次處在同一直線上時，沿繩方向速度為0，只有與繩垂直方向速度，由于動量守恒定律和機(jī)械能守恒得:mv0=mvB+2mvA

(3)根據(jù)機(jī)械能守恒，當(dāng)小球A的動能最大時，小球B的動能應(yīng)為零。設(shè)此時小球A、C的速度大小為u，兩根繩間的夾角為θ(如圖15)，則仍由動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，得

此時兩根繩間夾角為θ=90°。

【點(diǎn)評】本題中小球B獲得的速度與繩子垂直，之后運(yùn)動過程中沿繩方向速度沒有突變，且輕繩不損失和貯存機(jī)械能，所以三個小球的機(jī)械能守恒。又由于整個運(yùn)動過程處于光滑水平面內(nèi)，所以系統(tǒng)的動量也守恒，A、C兩個小球運(yùn)動對稱，沿繩方向速度分量相同，沿垂直方向速度分量大小相等方向相反。根據(jù)系統(tǒng)動量守恒定律及機(jī)械能守恒定律即可得解。