空間直角坐標(biāo)系中平面法向量的快速求法

◎卜憲江

(中山市小欖中學(xué)，廣東　中山　528415)

一、傳統(tǒng)方法

利用法向量與平面垂直的判定定理，在平面內(nèi)任取兩個(gè)不共線向量，由于法向量與它們垂直，構(gòu)造一個(gè)三元一次方程組.這是一個(gè)基本方法，容易理解，但運(yùn)算稍繁.

例1已知向量a，b是平面α內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，a=(-2，-1，3)，b=(1，-3，2)，求平面α的一個(gè)法向量n的坐標(biāo).

解設(shè)n=(x，y，z)，則由n⊥a，n⊥b得

不妨設(shè)z=1，所以n=(1，1，1).

二、快速方法

由于在平面內(nèi)的兩個(gè)向量是任取的，因此，可以取一個(gè)向量的坐標(biāo)有一個(gè)0，也就是不共線的兩個(gè)向量的六個(gè)坐標(biāo)中只要有一個(gè)0，就可以快速求得法向量，并且正確率很高，對(duì)于高中生更加方便實(shí)用.

例2已知向量a，b是平面α內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，a=(1，2，0)，b=(3，5，1)，求平面α的一個(gè)法向量n的坐標(biāo).

設(shè)法向量n=(x，y，z)，因?yàn)閚與a垂直，即n·a=0.故先取a的x，y的位置反過(guò)來(lái)為n的x，y.緊接著在x，y中任取一個(gè)為原來(lái)的相反數(shù)，即x=-2，y=1，z坐標(biāo)待定，即n=(-2，1，z)，又因?yàn)閚·b=0，即-2×3+1×5+z=0，所以z=1，即法向量n=(-2，1，1).

這種算法是從原來(lái)的三元一次方程組，變?yōu)橹凰阋粋€(gè)未知數(shù)的方程，大大減少了計(jì)算量，在考試中節(jié)省了時(shí)間.

但是，當(dāng)兩個(gè)不共線的向量在同一個(gè)坐標(biāo)的位置都出現(xiàn)0時(shí)，則不能用這個(gè)方法來(lái)求法向量.

例3已知向量a，b是平面α內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，a=(0，2，-2)，b=(0，3，1)，求平面α的一個(gè)法向量n的坐標(biāo).

若按剛才的方法，設(shè)法向量n=(x，y，z)，因?yàn)閚與a垂直，即n·a=0.此時(shí)y=2，z=2，x坐標(biāo)待定，即n=(x，2，2)，又因?yàn)閚·b=0，即x×0+2×3+1×2=0，此時(shí)得不到答案.

但是，這兩個(gè)向量可以很容易看出，它們是在yOz平面上，那么法向量就是平行于x軸的向量，即n=(1，0，0).

從而只要是帶有0的兩個(gè)向量，求法向量都可以用快速的方法.