初中函數(shù)與方程的關(guān)系探究

◎達(dá)慧芳

(甘肅省隴南市成縣城關(guān)中學(xué)，甘肅　隴南　742500)

在初中數(shù)學(xué)當(dāng)中，函數(shù)思想應(yīng)用在解題當(dāng)中的思路主要有兩種，一種是借用初等函數(shù)的特性，解出有關(guān)求值、求解不等式和解方程以及參數(shù)取值等問題.還有一種是研究數(shù)學(xué)問題時，通過函數(shù)關(guān)系的建立和構(gòu)造出中間函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化成有關(guān)函數(shù)特性的討論，起到化簡的效果.很多方程問題都可以借用函數(shù)來解決，同時很多函數(shù)問題也能借用方程的辦法來解決，初中數(shù)學(xué)中函數(shù)和方程是基礎(chǔ)思想.

一、函數(shù)和方程相關(guān)概念的闡述

函數(shù)是給定一個非空的數(shù)集A，對A施加對應(yīng)法則f，記作f(A)，得到另一數(shù)集B，也就是B=f(A)，這個關(guān)系式簡稱函數(shù).函數(shù)思想指的是利用運(yùn)動和變化觀點為視角，研究整理出數(shù)學(xué)中的等量關(guān)系來建立一種函數(shù)關(guān)系，起到轉(zhuǎn)化問題的效果.

方程是表示兩個數(shù)學(xué)式(如，兩個數(shù)、函數(shù)、量、運(yùn)算)之間相等關(guān)系的一種等式，并且具有多種形式.方程思想主要以數(shù)量為主，運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型和方程組，再求解方程組將問題成功轉(zhuǎn)化.

初中數(shù)學(xué)中這兩種思想雖有不同但是密切相關(guān)，比如，求a×3+bx+c=0的根就是求y=a×3+bx+c當(dāng)函數(shù)值為0時自變量x的對應(yīng)值，函數(shù)和方程之間這種緊密地聯(lián)系在初中數(shù)學(xué)中相互轉(zhuǎn)化，并為彼此之間的轉(zhuǎn)化提供了物質(zhì)條件.

二、函數(shù)思想在實際中的應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)中代數(shù)可以看成是帶有變量的函數(shù)式，求代數(shù)值其實就是求指定的函數(shù)值，那么方程就是求已知函數(shù)在滿足一定條件下的變數(shù)，尤其是函數(shù)值為0時自變量的值，函數(shù)的誤差估計就是不等式的體現(xiàn).這樣看來，方程和不等式都屬于函數(shù)的范圍，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一思想，一元二次方程和一元二次不等式都是研究分析二次函數(shù)和二次三項式的特殊形式.

例如，已知實數(shù)x，y滿足(3x+y)5+x5+4x+y=0，求4x+y的值.很快會發(fā)現(xiàn)可以變形為一個不等式，再轉(zhuǎn)換成構(gòu)造函數(shù)，用函數(shù)的單調(diào)性，把函數(shù)值相等的問題轉(zhuǎn)化為自變量相等，讓學(xué)生自行轉(zhuǎn)化和完成.不等式是初中數(shù)學(xué)一個相對較難的點，如果能夠構(gòu)造成函數(shù)，讓復(fù)雜的問題變得簡單，不失為一個解決問題的好辦法.

三、函數(shù)思想的使用分析

初中數(shù)學(xué)當(dāng)中的數(shù)量關(guān)系有時候表現(xiàn)得并不是很直接，借用函數(shù)思想讓數(shù)量之間轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系模式，就能找到比較有效的解決辦法，構(gòu)建出具體的函數(shù)模型來探究初中數(shù)學(xué)中遇到的問題，能讓初中數(shù)學(xué)變得容易很多，這種思想也能幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)，提高學(xué)習(xí)能力.

例如，某省人均耕地從1958年的2.82畝已經(jīng)減到了2001年的0.99畝，這種情況若得不到有效的解決就會導(dǎo)致人均耕地不斷下降，最后直到無地可耕，為了給預(yù)防做好準(zhǔn)備，需要估算出這種情況最晚發(fā)生在哪一年.可以設(shè)x年后此省可耕地為y畝，則x和y就能建立一個函數(shù)關(guān)系式，從而求出答案.這個例子就是函數(shù)思想的表達(dá)，通過建立時間和耕地面積之間的函數(shù)關(guān)系讓求解變得簡單，如果直接進(jìn)行計算就會讓問題變得復(fù)雜并且極易產(chǎn)生錯誤.利用函數(shù)思想解決初中數(shù)學(xué)中的問題其實并不難，只需要構(gòu)建出函數(shù)關(guān)系式，難點在于具體運(yùn)用，教師要綜合函數(shù)的性質(zhì)和圖形以及實際情況，充分而生動地給學(xué)生講解函數(shù)思想，并且加強(qiáng)學(xué)生的日常練習(xí).

四、方程思想的使用分析

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，對于一些概念性的問題可以用方程思想來解決.例如，設(shè)中型汽車有x輛，而小型汽車有y輛.列方程為x+y=50和6x+4y=230.

運(yùn)用尋找基本等量關(guān)系和特殊等量關(guān)系就能解決初中數(shù)學(xué)的簡單一元一次方程和二元一次方程以及分式方程等問題，讓學(xué)生找到規(guī)律去解題，擺脫題海戰(zhàn)術(shù)的思想負(fù)擔(dān)，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展學(xué)習(xí)思路，提高學(xué)習(xí)效率，學(xué)會用數(shù)學(xué)解決實際問題.方程思想就是運(yùn)用方程的觀點，拿已知量和未知量列出不等式或者等式，再進(jìn)行方程求解，這一思想是方程思想的關(guān)鍵所在.

五、數(shù)學(xué)思想的合作討論以及拓展思維

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，研究討論是必不可少的學(xué)習(xí)方法，研究討論的具體方式不但可以提高學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的理解和掌握，還能在研究討論中有效地培養(yǎng)出學(xué)生的數(shù)學(xué)思維模式.在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中教師可以將學(xué)生進(jìn)行分組討論，積極引導(dǎo)學(xué)生之間進(jìn)行有效的討論和交流，給學(xué)生提供研究討論的時間和空間.比如，在學(xué)習(xí)函數(shù)方程的時候，教師可以讓學(xué)生分組進(jìn)行討論，對函數(shù)方程中的各種特質(zhì)都進(jìn)行歸納和分類.合作討論是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要方法，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，并且提供自主和輕松的學(xué)習(xí)環(huán)境，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，順便也培養(yǎng)了學(xué)生的團(tuán)結(jié)互助精神，明白了團(tuán)隊的重要性.

函數(shù)和方程是初中數(shù)學(xué)的重要部分，對整個數(shù)學(xué)學(xué)科都有著非常重要的作用，所以要充分強(qiáng)調(diào)函數(shù)和方程的重要性，提高學(xué)生對于數(shù)學(xué)的理解和興趣，對于提高學(xué)生的綜合素質(zhì)也非常有幫助.