換元法思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的幾種常見應(yīng)用

◎姜春陽

(滁州二中，安徽　滁州　239000)

換元法又稱輔助元素法、變量代換法.通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來，或者變?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計算和推證簡單化.它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、三角、數(shù)列等問題中有廣泛的應(yīng)用.

一、換元法在求解函數(shù)解析式上的應(yīng)用

二、換元法在求解函數(shù)值域上的應(yīng)用

(一)換元法在求解指數(shù)型函數(shù)值域上的應(yīng)用

(二)換元法在求解對數(shù)型函數(shù)值域上的應(yīng)用

例3已知函數(shù)f(x)=ln2x-2lnx+3，x∈[1，e3]，求函數(shù)f(x)的值域.

解令t=lnx，則t∈[0，3]，

故y=t2-2t+3=(t-1)2+2，t∈[0，3].

當(dāng)t=1時，ymin=2；當(dāng)t=3時，ymax=6.

故函數(shù)f(x)的值域為[2，6].

(三)換元法在求解三角函數(shù)值域上的應(yīng)用

例4已知函數(shù)f(x)=cos2x+2sinx-1，求函數(shù)f(x)的值域.

解f(x)=cos2x+2sinx-1=1-sin2x+2sinx-1=-(sinx-1)2+1.

令t=sinx，則t∈[-1，1]，

所以當(dāng)t=1時，ymax=1；當(dāng)t=-1時，ymin=-3.

(四)換元法在求解無理根式值域上的應(yīng)用

∵θ+α∈(0，π)，∴(sin(θ+α))max=1，

三、換元法在求解函數(shù)單調(diào)性上的應(yīng)用

例6已知函數(shù)y=ln(x2-2x+3)，求此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

解令y=lnu，u=x2-2x+3=(x-1)2+2.

∵y=lnu單調(diào)遞增，而u=(x-1)2+2在(-∞，1]上單調(diào)遞減，

故復(fù)合函數(shù)y=ln(x2-2x+3)在(-∞，1]上單調(diào)遞減.

四、換元法在求解函數(shù)奇偶性上的應(yīng)用

例7已知f(-x-2)=f(x+2)，試判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性.

解令t=x+2，則有f(-t)=f(t)成立，故y=f(x)為偶函數(shù).

練習(xí)：已知f(1-x)=-f(x-1)，試判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性.(奇函數(shù))

五、換元法在求解函數(shù)周期性上的應(yīng)用

例8已知函數(shù)y=f(x)滿足f(x+1)=-f(x)，求函數(shù)的周期.

解令t=x+1，則x=t-1，故等式可變形為f(t)=-f(t-1)，即-f(t)=f(t-1)，

∴-f(x)=f(x-1)，

(1)

f(x+1)=-f(x).

(2)

聯(lián)立(1)(2)可得f(x+1)=f(x-1)，再令t=x-1，則此式可變形為f(t+2)=f(t)，故函數(shù)y=f(x)的周期為T=2.

可見，換元法對于研究函數(shù)的性質(zhì)有著廣泛應(yīng)用，在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)把換元法思想作為一種重要的解題思想傳授給學(xué)生，這樣對于學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)的時候幫助會很大.