數(shù)學(xué)理解重在“導(dǎo)”

崔志榮

(江蘇省東臺(tái)市安豐中學(xué) 224221)

1　提出問題

在高三復(fù)習(xí)中，經(jīng)常遇到這樣一道經(jīng)典題：

題1若函數(shù)f(x)=lg(kx2-2x+1)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生的答案與“定義域?yàn)镽”的答案一樣.通過課堂提問得知，他們知道討論二次項(xiàng)系數(shù)，但對(duì)k>0這種情況，他們認(rèn)為應(yīng)該是Δ<0，如果Δ≥0，那么真數(shù)kx2-2x+1的最小值非正，無意義.他們實(shí)在很難想得通，為什么應(yīng)該是Δ≥0？

誠然，題1確實(shí)有一定的理解難度，在高一函數(shù)學(xué)習(xí)中，很多教師就已經(jīng)講過這類題，通常是用換元法理解該問題，令t=kx2-2x+1，則f(x)=lgt，借助對(duì)數(shù)函數(shù)圖像說明，若要使函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽，則需變量t取到每一個(gè)正數(shù)(缺一不可).對(duì)于k>0這種情況，同樣借助二次函數(shù)圖像說明，若Δ<0，則t=kx2-2x+1的最小值tmin為正，函數(shù)f(x)有最小值lgtmin，只有Δ≥0時(shí)，才能保證t取到每一個(gè)正數(shù)，使得函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽.我們發(fā)現(xiàn)，即使講得再慢、再仔細(xì)，總還有學(xué)生糾結(jié)Δ的正負(fù)問題，當(dāng)然，相應(yīng)的變式演練，他們的正確率沒有問題，步驟不多，容易記住，而且還有“定義域?yàn)镽”的題目作鋪墊，總不能兩道題做同樣的答案吧！但實(shí)際情況是，很多學(xué)生并沒有真正理解，以致到了高三，原形畢露.

既如此，那我們應(yīng)該怎樣評(píng)講這道題？才能使學(xué)生悟透其本質(zhì)內(nèi)涵，讓他們經(jīng)久不忘其方法呢？

2　數(shù)學(xué)理解的幾個(gè)層次

針對(duì)上述問題，筆者先談?wù)剬W(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)方法理解的幾個(gè)層次，并由此思考促進(jìn)學(xué)生理解的教學(xué)策略.

(1)費(fèi)解.對(duì)教師所講的知識(shí)方法，學(xué)生很難理解接受.他們無法理解概念、定理的內(nèi)涵，甚至不知所云；他們想不通教師所用的方法，總感到自己的方法沒有問題.像上述題1的講解，就有不少學(xué)生存在費(fèi)解現(xiàn)象.

(2)了解.學(xué)生明白教師所要表達(dá)的意思，但不知所以然，更不知其本質(zhì)內(nèi)涵.對(duì)于這些知識(shí)方法，學(xué)生很難運(yùn)用它們解決實(shí)際問題，而且很快會(huì)忘記.

(3)悟解.學(xué)生對(duì)教師所講的知識(shí)方法，達(dá)到一定的理解水平，基本領(lǐng)悟、領(lǐng)會(huì)這些知識(shí)方法.他們能夠運(yùn)用這些知識(shí)方法解決一些簡(jiǎn)單或中等難度的相關(guān)問題，當(dāng)然，還不能靈活運(yùn)用這些知識(shí)方法解決一些有難度的深刻性的問題.

(4)通解.通曉參透教師所講知識(shí)方法，已深刻理解這些知識(shí)方法的本質(zhì)內(nèi)涵.學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)方法，靈活解決相應(yīng)的一些較難問題甚至難題.

以上學(xué)生的四個(gè)理解層次，是筆者教學(xué)經(jīng)驗(yàn)之總結(jié)劃分.我們教師所面臨的問題是，如何提高部分學(xué)生的兩個(gè)低層次理解水平？通過怎樣的教學(xué)手段？不讓學(xué)生費(fèi)解，讓他們盡快吃透知識(shí)方法的本質(zhì)內(nèi)涵，從而達(dá)到悟解甚至通解的較高理解層次.

3　“善導(dǎo)”促理解

很顯然，不合理的教學(xué)引導(dǎo)，影響學(xué)生的理解；常規(guī)生硬的講解，不能促進(jìn)學(xué)生的理解；優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，合理引導(dǎo)學(xué)生思考，有助于促進(jìn)學(xué)生的理解.筆者通過題1的反思認(rèn)為，下文三種引導(dǎo)學(xué)生思考的教學(xué)策略，有助于提升學(xué)生的理解水平.

3.1　導(dǎo)思“歸納”

上文題1，既然總有一些學(xué)生費(fèi)解，那我們教學(xué)就慢一點(diǎn)，先讓學(xué)生研究相關(guān)具體的函數(shù)，從中感悟這些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域，由此再思考題1，學(xué)生往往就能感悟到一般性規(guī)律，甚至不用教師分析就能直接完成題1.根據(jù)題1解題中較難理解的相關(guān)情況，可選擇下列3個(gè)函數(shù)，要求學(xué)生求其定義域和值域.

(1)f(x)=lg(-x2-2x+1)；

(2)f(x)=lg(x2-x+1)；

(3)f(x)=lg(x2-x-2)；

第(1)小題能說明，當(dāng)k<0時(shí)，t=kx2-2x+1有最大正值，從而函數(shù)f(x)有最大值；通過第(2)小題可知，當(dāng)k>0時(shí)，若Δ<0，則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，此時(shí)t=kx2-2x+1有最小正值，從而函數(shù)f(x)有最小值；而第(3)小題則讓學(xué)生感悟到，當(dāng)k>0時(shí)，t=kx2-2x+1與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)定義域不為R，但t=kx2-2x+1能取到一切正數(shù)，此時(shí)f(x)=lgt的值域?yàn)镽.學(xué)生完成這3小題后，再經(jīng)教師的嚴(yán)密解題分析，對(duì)題1的理解應(yīng)該容易多了.

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說過，“善于‘退’，足夠地‘退’，‘退’到原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅”.很多數(shù)學(xué)問題有高度的抽象性和一般性，學(xué)生很難直接理解，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生退，退到最簡(jiǎn)單的特殊情況，讓他們思考領(lǐng)悟這些簡(jiǎn)單問題，由此再思考一般性問題，容易發(fā)現(xiàn)其規(guī)律、理解其本質(zhì).

3.2　導(dǎo)思“因果”

日常教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生“知其然，不知其所以然”的現(xiàn)象不少.很多知識(shí)方法，學(xué)生了解其內(nèi)容，但問其來龍去脈，卻不知所云！時(shí)間一長(zhǎng)，容易忘記，總要教師提醒.如三角函數(shù)的定義，很多學(xué)生都說不出其內(nèi)容，但經(jīng)教師一講，他們似乎也懂.其實(shí)，這是一種機(jī)械記憶學(xué)習(xí)，他們完全不知三角函數(shù)為什么要這樣定義，當(dāng)然也就忘記得快，更就談不上靈活運(yùn)用了.究其原因，是新授課知識(shí)方法的生成教學(xué)存在一點(diǎn)問題，就三角函數(shù)的定義而言，學(xué)生未能深刻理解“新、舊”兩種定義間的因果關(guān)系，缺少“為什么要由直角三角形定義三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下定義三角函數(shù)”的思考.因此，三角函數(shù)定義的教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生思考“舊”定義的局限性、如何重“新”定義而突破這一局限、“新”定義能不能與“舊”定義相背等等，真正厘清這些關(guān)系后，學(xué)生得到的“新”定義才有生命力，記憶時(shí)間才長(zhǎng)久，才能靈活運(yùn)用.針對(duì)以上分析，筆者設(shè)計(jì)了以下問題串，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的“新”定義.

問題1指出三角函數(shù)“舊”定義的困境，明確因果關(guān)系，必須要“新”定義三角函數(shù).給出一定時(shí)間，讓學(xué)生思考問題1，并不是要學(xué)生能夠迅速解決問題1，我們的目的就是要讓學(xué)生糾結(jié)，在糾結(jié)中形成烙印.事實(shí)上，學(xué)生不預(yù)習(xí)，很難回答問題1，我們也不需要他們預(yù)習(xí)，預(yù)習(xí)后回答出“新”定義，那是一種記憶性反饋，實(shí)無價(jià)值！

圖1

問題2為重新定義三角函數(shù)，我們得充分認(rèn)識(shí)任意角的形成過程，由此再思考新定義三角函數(shù)的方向.

學(xué)生通過任意角形成過程的回顧，應(yīng)該想到，只能在直角坐標(biāo)系下，重新定義三角函數(shù).并引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)，任意角的始邊總是Ox軸，重新定義的三角函數(shù)，應(yīng)該取決于任意角終邊的位置，終邊相同的角的三角函數(shù)值應(yīng)該相同.不急于引導(dǎo)學(xué)生重新定義三角函數(shù)，讓他們先體會(huì)重新定義三角函數(shù)的方向、預(yù)測(cè)終邊相同角的三角函數(shù)值的關(guān)系，有助于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力.

問題3重新定義三角函數(shù)，能不能與“舊”定義(在直角三角形中的定義)相矛盾？

要讓學(xué)生分析理解“新”、“舊”定義間的關(guān)系，厘清“舊”定義是“新”定義的特殊情況，“舊”定義肯定滿足“新”定義，“新”定義是“舊”定義的拓展.只有讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)矛盾雙方的關(guān)系，我們才能找到化解矛盾的方向，并由此產(chǎn)生的“新”定義，這樣學(xué)生印象才深刻.

問題4根據(jù)以上的分析，要在直角坐標(biāo)系下新定義三角函數(shù)，同時(shí)又不能與“舊”定義相背，那我們應(yīng)該怎樣將“舊”定義拓展成“新”定義呢？

問題4就是要引導(dǎo)學(xué)生將“新”、“舊”定義融合起來，銳角三角函數(shù)在直角三角形中定義，銳角是任意角的特殊情況，于是研究直角坐標(biāo)系下的直角三角形，即可將銳角三角函數(shù)的定義拓展成任意角三角函數(shù)的定義.如圖2，Ox軸為始邊，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至終邊OB的最小角即銳角A.

圖2

通過問題5的引導(dǎo)，學(xué)生自然想到，只要保留銳角A的始邊Ox軸以及終邊OB(將OB變成射線)即可，而不需要邊BC.同時(shí)，直角三角形中的元素a,b,c可轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，“新”定義即坐標(biāo)運(yùn)算.在圖2中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(b,a)，c為OB長(zhǎng)度.如此，稍加處理就能得到課本上任意角的三角函數(shù)的定義.

也許有教師會(huì)說，我們平時(shí)教學(xué)與上述處理差不多，只是沒有這么仔細(xì)而已.確實(shí)，上述教學(xué)處理是常規(guī)處理，課本也是這個(gè)思路，然而實(shí)際教學(xué)中，很多教師是快處理，沒有給足時(shí)間讓學(xué)生思考，學(xué)生似乎也能聽得懂，但忘記得也快.筆者覺得要讓學(xué)生充分思考上述幾個(gè)問題，不能只以學(xué)生聽得懂為目標(biāo)，而應(yīng)以學(xué)生想得通為目標(biāo)，要想通矛盾的“因果”關(guān)系，要想通由特殊到一般的轉(zhuǎn)化思想，要讓學(xué)生心靈產(chǎn)生震撼，他們的理解才深刻、才經(jīng)久不忘！

3.3　導(dǎo)思“本質(zhì)”

學(xué)生當(dāng)然知道題2是有關(guān)基本不等式方面的問題，但卻沒有思路.根本原因是，他們不理解“用基本不等式解題的實(shí)質(zhì)”.因此，一些陌生的問題，他們?nèi)鄙俳忸}方向的分析，以致無從下手，他們只會(huì)做教師課堂上歸納的一些常規(guī)題型.作為教師，要反復(fù)引導(dǎo)學(xué)生思考基本不等式的本質(zhì)，并要以“本質(zhì)”為解題指導(dǎo)思想，引導(dǎo)學(xué)生分析，久而久之，學(xué)生的理解才深刻、解題思路才清晰，當(dāng)他們?cè)儆龅揭恍┠吧须y度的問題時(shí)，他們才不懼怕，才敢于主動(dòng)思考.筆者以題2為例，設(shè)計(jì)相關(guān)問題，意在讓學(xué)生把握基本不等式的本質(zhì).

問題1為解決題2，我們先來回顧基本不等式及其變形公式，以及運(yùn)用基本不等式的一些注意點(diǎn)，然后請(qǐng)同學(xué)們思考：運(yùn)用基本不等式解題的實(shí)質(zhì)是什么？

問題2同學(xué)們?nèi)菀紫氲接没静坏仁窖芯款}2，當(dāng)然也有其他方法，等會(huì)兒再研究(本文忽略).用基本不等式解題，關(guān)鍵是和與積的轉(zhuǎn)化，觀察題2的代數(shù)結(jié)構(gòu)，我們發(fā)現(xiàn)“和”式較多，很難發(fā)現(xiàn)“積”式.因此，運(yùn)用“積化和”的可能性不大，那么如何實(shí)施“和化積”呢？請(qǐng)同學(xué)們嘗試著將題2中的“和”式化“積”，看看能不能有所發(fā)現(xiàn)？

問題3初步估計(jì)運(yùn)用“和”式化“積”處理題2，那么我們嘗試著“和”化“積”的運(yùn)算中，有沒有發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律？提醒同學(xué)們注意：研究代數(shù)式的指數(shù).

通過問題3，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律：同次式和化積，指數(shù)不變；二次式與常數(shù)項(xiàng)的和化積，轉(zhuǎn)化為一次項(xiàng)；兩個(gè)單項(xiàng)式和化積，指數(shù)取兩個(gè)單項(xiàng)式指數(shù)的平均數(shù).

問題4題2是分式結(jié)構(gòu)，分母是兩個(gè)一次式的和，分子兩個(gè)二次式與常數(shù)項(xiàng)的和，怎樣利用基本不等式實(shí)施“和化積”，達(dá)到求最小值的目的呢？

對(duì)題2，教師直接分析待定系數(shù)法，讓學(xué)生用基本不等式完成，學(xué)生也能聽得懂，但為什么這樣做？他們不會(huì)分析.本文特別關(guān)注前3個(gè)問題的導(dǎo)思，目的是要讓學(xué)生透徹理解基本不等式的本質(zhì)，是要引導(dǎo)學(xué)會(huì)思考，只有學(xué)生養(yǎng)成會(huì)思考的習(xí)慣，他們遇到陌生問題，才會(huì)主動(dòng)研究、才樂于思考.

4　一點(diǎn)反思

現(xiàn)在想來，筆者之前對(duì)“數(shù)學(xué)理解”存在偏見，認(rèn)為學(xué)生聽懂了就是理解了.其實(shí)不然，理解水平有高低，看似簡(jiǎn)單的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，即使教師也會(huì)有不同的認(rèn)識(shí)，有些學(xué)生是了解的表象，他們只能根據(jù)教師所講的題型“依葫蘆畫瓢”，題目稍加變化，往往就束手無策；而有些學(xué)生透徹理解其本質(zhì)，有較強(qiáng)的遷移能力，能夠靈活運(yùn)用.因此，作為教師，要站在學(xué)生的角度看問題，全班幾十名學(xué)生的理解接受能力是不一樣的，特別是中下等生，我們?cè)鯓釉O(shè)計(jì)問題，引導(dǎo)他們思考，促進(jìn)其理解呢？即使是優(yōu)生，我們也要促進(jìn)其深入理解知識(shí)方法的本質(zhì)，進(jìn)一步提升其理解水平，達(dá)到“通解”目的.