日本中小學立體幾何內容設置理念之個案評介

張曉雪　　　　　　　　　　　　　代　欽

(內蒙古師范大學數學科學學院　010022)　(內蒙古師范大學科學技術史研究院　010022)

1　前言

立體幾何內容是幾何課程中的重要組成部分,它對學生數學思維的發(fā)展具有重要作用，在各國數學教科書中設置立體幾何內容的順序和程度不同.日本的小學、初中和高中均設置立體幾何內容，同一個立體圖形概念在小學、初中和高中由直觀指出、操作實驗到嚴格定義的螺旋方式上升，凸顯其顯著特點，這與我國中小學立體幾何內容的設置有很大不同.

本文是對日本“數學學習指導要領”(相當于我國的數學課程標準)下的小學、初中和高中的立體幾何內容設置的理念和特點進行闡述.立體幾何在數學教學中扮演著不可或缺的角色，是培養(yǎng)學生空間想象力和邏輯思維能力的重要部分.此外，由于受地域差異或文化等影響，世界各國中小學的數學教科書中立體幾何內容設置不盡相同，因此，研究其他國家立體幾何內容設置對我國數學教科書的編寫以及立體幾何的教學具有一定的啟示作用.

作為同受儒家文化影響的我國鄰邦日本，各方面飛速發(fā)展，在世界各國備受矚目.在近年來的TIMSS和PISA測試中，日本學生的成績大多名列前茅，引人注目，這體現了他們數學教育的整體水平.日本現行的學制是“六三三制”，即小學六年，初中三年，高中三年.小學第一學年到第五學年每學年兩冊數學教科書，第六學年一冊，共十一冊；初中三年每學年一冊，共三冊；高中共五冊，分別為《數學A》、《數學B》、《數學Ⅰ》、《數學Ⅱ》、《數學Ⅲ》，每冊書的具體上課學期要根據“數學學習指導要領”相關規(guī)定和學校的實際情況來確定.

本文在介紹相關背景的基礎上，結合日本東京書籍株式會社2015年發(fā)行的小學算數教科書、啟林館出版的2016年開始使用的初中數學教科書和2017年開始使用的高中數學教科書，以其中的立體幾何內容為研究對象，從內容設置理念和個案分析兩個方面來進行論述.

2　日本小學、中學立體幾何內容設置

“數學學習指導要領”是日本編寫中小學數學教科書的根據，小學、初中和高中數學學科總體目標“圖形”教學要求分別概括為：(小學)通過數學活動，掌握數量和圖形的基礎的、基本的知識和技能，有條理地解決實際問題，培養(yǎng)表現能力的同時，使學生切實感受數學活動的快樂和用數學解決問題的益處，培養(yǎng)將數學運用于學習、生活的態(tài)度*曹一鳴.十三國數學課程標準評介(小學、初中卷)[M].北京：北京師范大學出版社，2012：180.；(初中)通過數學活動，加深對數量和圖形的基本概念和原理、法則的理解，習得數學的表現和處理方法，提高數學性的思考表達能力的同時，切實感受數學活動的樂趣和數學的優(yōu)越性，培養(yǎng)靈活運用數學思維、判斷的態(tài)度*曹一鳴.十三國數學課程標準評介(小學、初中卷)[M].北京：北京師范大學出版社，2012：202.；(高中)要加深對空間中直線與平面的位置關系以及它們所形成的夾角的理解.另外，要理解與多面體相關的基本性質，并在考察事物過程中靈活應用*曹一鳴,代欽,王光明.十三國數學課程標準評介(高中卷)[M].北京：北京師范大學出版社，2013：145..根據該目標和結合學生的身心發(fā)展以及獲得知識的認知規(guī)律，日本數學教育工作者們編寫了小學、初中和高中三套數學教科書中的立體幾何內容.

在《算數*1945年前日本將小學數學叫做“算術”，之后改為“算數”.1》(上下冊)到《算數5》(上下冊)和《算數6》中，有六冊教科書中設置了立體幾何內容，分別是《算數2》(下冊)、《算數3》(下冊)、《算數4》(下冊)、《算數5》(上下冊)、和《算數6》.在初中《數學1》、《數學2》、《數學3》三冊中的《數學1》中設置了立體幾何內容，在高中《數學Ⅰ》、《數學Ⅱ》、《數學Ⅲ》、《數學A》、《數學B》五冊書中，除《數學Ⅱ》以外均設置了立體幾何內容，下面列出小學、初中和高中數學教科書中立體幾何內容的設置.

表1　小學立體幾何內容設置

表2　初中立體幾何內容設置

表3　高中立體幾何內容設置

續(xù)表

從上表可見，日本從小學到高中是以螺旋形式來設置立體幾何內容.日本在面臨嚴峻社會問題的形勢下，進行教育改革，對教科書進行改編，其中在對數學教科書中幾何內容進行刪減的情況下，仍保留了立體幾何在小學到高中一定的課時量，可見日本對立體幾何在數學教育中重視的程度之大.

小學立體幾何主要是讓學生通過數學活動，了解生活中簡單的立體圖形，這有助于小學生空間感覺和想象力的培養(yǎng)、表現自我以及更好地從生活角度理解數學，掌握數學.此外，在知識層面上可以讓學生對立體圖形有一個直觀的、經驗的認識，在學生的認知范圍、接受能力之內進行立體幾何的教學，也為中學立體幾何的學習做好鋪墊；初中的立體幾何是讓學生通過數學活動，從經驗的積累中產生對立體幾何圖形的理解以及簡單證明，是培養(yǎng)學生的思考力、判斷力和表現力的一種實驗幾何；而高中的立體幾何則是讓學生通過數學活動，仔細地考察事物，培養(yǎng)其嚴謹的個性和創(chuàng)造性基礎，是要經過邏輯推理、嚴格的理論證明得到的一種理論幾何.

在以螺旋形式上升的立體幾何內容中，雖然有重復的部分，但這些內容銜接著小學和初中，初中和高中，內容由淺入深，使它們之間的過渡更加自然，使進入新階段的學生少一些陌生感和跳躍感，更加容易接受新的立體幾何知識.并且包含解決問題的方法、傳達的數學思想也對應著學生認知發(fā)展的規(guī)律，這有助于學生對新舊知識進行加工與重組，促進學生對立體幾何的認識從具體化過渡到抽象化.

3　個案分析

個案1球

小學教科書中，在學習圓的知識之后對球的概念進行了簡要介紹，給出“從哪個方向看都是圓的圖形是球”直觀描述的定義.如圖1，并指出球從哪里進行切分，得到的切口都是圓，當球被切成一半的時候，這個切面圓是最大的，并且這個圓的圓心、半徑、直徑就是球的球心、半徑、直徑.

圖1

圖2

對于球的表面積S=4πr2則是直接給出的,但在思考題中提出如下問題：先給出一個半徑為5 cm的半球，用毛線纏在半球的外側，然后將2倍長度的毛線平置于平面上，形成半徑為10 cm的圓，如圖4，用球的表面積公式進行說明.這里采用實驗幾何的方法.

圖3

圖4

圖5

圖6

這里十分清晰地交待了從小學球概念在視覺認知下的直觀描述定義、初中球概念在經驗認知下的實驗性定義到高中球概念在理性認知下的嚴格定義，既考慮到學生的認知規(guī)律，又反映了數學學習的遞進過程.

個案2直線與平面的垂直關系

“直線與平面垂直”這部分內容先后在小學、中學教科書中共出現了四次，具體過程如下：

第一次“直線與平面垂直”出現在小學《算數4》(下冊)，不過只是從長方體中進行了簡要介紹，說明長方體的一棱與底面是垂直的，如圖7，邊BF與底面EFGH垂直.

第二次出現在初中《數學1》中，如圖8，教科書在給出直線與平面的位置關系后給出直線與平面垂直：直線l與平面P交于點A，當直線l垂直于過點A平面P上的所有直線時，直線l與平面P垂直.這時，直線l就是平面P的垂線.直線l與平面P垂直的確定條件是：平面P上過交點A的兩條直線分別與直線l垂直.

圖7

圖8

第三次出現在高中《數學A》“空間平面與直線”中，如圖9，同樣是在直線與平面的位置關系后給出直線與平面垂直關系：當直線p與平面α交于點O時，若直線p垂直于過點O在平面α上引出的兩條直線l,m，則p垂直于過點O的平面α的任意一條直線n.平面α上任意一條直線都與直線p垂直，則直線p就與平面α垂直，書寫p⊥α.這時，p就是α的垂線.

第四次出現在《數學B》“空間向量”第一節(jié)中，如圖10，平面α上任意一條直線都與直線p垂直，則直線p就與平面α垂直，書寫p⊥α.若p與α上兩條相交直線垂直，p就與α上所有直線都垂直，即p⊥α.

圖9

圖10

總之，第一次“直線與平面垂直”的出現讓學生們直觀地了解直線與平面垂直，為以后的學習打下基礎.第二、三次的編排很相似，均是在直線與平面的位置關系中進行講解，之后也都進行深入，但第三次出現的高中定義限制了條件，即：①直線與平面相交；②直線垂直于過交點的兩條直線.第三次與第四次的定義均出現在高中，值得關注的是，在這兩次定義的敘述中都使用了“任意”這個數學中的學術語，相比于第二次出現的初中定義中使用的“所有”一詞更具抽象性，從而印證了教科書的編寫要適應學生認知發(fā)展的規(guī)律.同時，第四次的引入也為即將講授的空間直角坐標系做準備，能夠使學生更容易、清晰地理解空間直角坐標系中直線和平面、平面和平面的垂直關系.類似這樣的內容設置在日本數學教科書中有很多，在此不贅述.

4　結語

教科書是學生學習知識、掌握技能、培養(yǎng)思維和形成人格的最基本的信息載體和工具，它的優(yōu)劣對學校教育質量的提高是至關重要的.中小學數學教科書中相關知識的有效銜接是優(yōu)秀教科書的標志之一.如果中小學教科書沒有能夠做到這一點，即使是對優(yōu)秀的教師來說，在教學中銜接相關知識也是極為困難的.因此，小學數學教科書編寫者應該熟知初高中數學內容，初中數學教科書編寫者應該熟知小學和高中數學內容，高中數學教科書編寫者也應該熟知小學和初中數學內容，這樣才能保證小學、初中和高中數學教科書內容的有效銜接.從日本中小學數學教科書中立體幾何內容的銜接看，既自然順暢地逐次深入，又在潛移默化中降低了學生學習難度.通過對立體圖形由表及里的認識，使學生對具體事物的認識層層遞進，對具體事物的表征研究，探究其內在本質.這對培養(yǎng)學生的觀察能力、動手操作能力和邏輯推理能力具有重要的促進作用.在初中《數學1》的“各種各樣的立體”后有設置“正多面體”，在最后作為選修的“數學廣場”部分又對“正多面體”進行討論.在高中《數學A》中又系統(tǒng)講解“正多面體”，并給出歐拉的多面體定理，即v-e+f=2,v為頂點數，e為邊數，f為面數.在“卷末廣場”的學習中也安排了正八面體的動手制作課題六項.通過這種編排，使學生對立體幾何知識的掌握更具系統(tǒng)性和完整性，并注重學生的個體差異和個性發(fā)展.

中小學數學知識的有效銜接，是日本教科書的顯著特色之一.另外，日本對教科書的編寫過程穩(wěn)中求進，十分緩慢，大約每十年進行一次改革，內容變化也不大.正如日本著名教育家佐藤學先生所說：“文化變革越是緩慢，才越能得到確實的成果.”*(日)佐藤學.靜悄悄的革命[M].李季湄譯.北京：教育科學出版社，2014：2.上述理念與做法對我國數學教育改革與數學教科書建設具有“他山之石，可以攻玉”之借鑒功效.

致謝：本文參考的日本現行教科書是由日本京都大學柳本哲教授和岐阜縣教育委員會教育總務課下野宗紀先生提供，在此表示衷心的感謝.