在明暗交織的“問(wèn)題—互動(dòng)”教學(xué)中培育學(xué)生的核心素養(yǎng)
——以高中“不等關(guān)系”教學(xué)設(shè)計(jì)為例

劉權(quán)華

(南京市教育科學(xué)研究所 210002)

深化課改對(duì)我們提出了許多新要求，“為發(fā)展核心素養(yǎng)而教”就是其中的一個(gè)關(guān)鍵詞.人民教育出版社章建躍先生曾撰文說(shuō)，當(dāng)下實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人的最關(guān)鍵問(wèn)題是扎實(shí)開(kāi)展數(shù)學(xué)教育實(shí)踐研究，搞出一批“核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)案例”使抽象的高大的“核心素養(yǎng)”獲得具體的事例，實(shí)現(xiàn)“從思維的抽象發(fā)展到思維的具體，在思維中再現(xiàn)事物的整體性和具體性”，這樣才能達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的深刻認(rèn)識(shí).也就是說(shuō)，更加迫切的、對(duì)實(shí)踐的指導(dǎo)意義更強(qiáng)的是案例.在數(shù)學(xué)教學(xué)中著意創(chuàng)設(shè)一些與數(shù)學(xué)有密切關(guān)聯(lián)的真實(shí)的熟悉的問(wèn)題情境，從數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，特別是如何發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，獲得數(shù)學(xué)對(duì)象的角度進(jìn)行實(shí)踐，是必要的，也是可能的，通過(guò)“問(wèn)題—互動(dòng)”的方式，可以促進(jìn)數(shù)學(xué)教與學(xué)方式的轉(zhuǎn)變，有利用于培養(yǎng)學(xué)生的模型思想和理性思維，這是新課改的要求，也是數(shù)學(xué)教學(xué)本原的回歸.[1]

“不等關(guān)系”是蘇教版高中數(shù)學(xué)必修5第三章第一節(jié)的教學(xué)內(nèi)容，是“不等式”這章的起始課，教材只給出了可以表示不等關(guān)系的3個(gè)問(wèn)題，5道課后練習(xí)題，尤其是初中也有“不等關(guān)系”這一節(jié)內(nèi)容.如何進(jìn)行設(shè)計(jì)，才能上出“味道”，達(dá)到培育學(xué)生核心素養(yǎng)的目的？

1　教學(xué)設(shè)想

(1)課標(biāo)理解：通過(guò)具體問(wèn)題情境，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的數(shù)量關(guān)系，了解不等式(組)的實(shí)際背景.讓學(xué)生感受不等式的意義，是重要的教學(xué)目標(biāo).雖然不等關(guān)系大量存在于現(xiàn)實(shí)生活中，但要從中概括出不等式的概念，深化理解不等式的意義，達(dá)到學(xué)生的心理認(rèn)可，可能并不是一蹴而就的.

(2)教材分析：本節(jié)是章節(jié)起始課，對(duì)后繼的一元二次不等式、二元一次不等式(組)表示的二平面區(qū)域、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題以及基本不等式的證明等學(xué)習(xí)內(nèi)容具有基礎(chǔ)性的奠基作用，不可等閑帶過(guò).其重點(diǎn)是通過(guò)具體情境，建立不等式模型，對(duì)許多學(xué)生來(lái)說(shuō)，這往往也是學(xué)習(xí)的難點(diǎn).而要解決這個(gè)難點(diǎn)，必須要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題中包含的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行認(rèn)真、細(xì)致的分析，找出其中的不等關(guān)系，并由此建立不等式.教材中給出的三個(gè)問(wèn)題，其數(shù)學(xué)模型為一元一次不等式，一元二次不等式，和線性規(guī)劃問(wèn)題.按照考綱要求，本節(jié)對(duì)問(wèn)題的研究，只要求建立數(shù)學(xué)模型，而不要求解不等式.

(3)學(xué)情分析：初中有過(guò)同樣的章節(jié)，對(duì)“沒(méi)有內(nèi)容”的章首課，學(xué)生往往不屑一顧.

(4)教學(xué)目標(biāo)：通過(guò)具體問(wèn)題情境，感悟不等式是研究實(shí)際問(wèn)題的重要數(shù)學(xué)模型；了解不等式(組)的實(shí)際背景，會(huì)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列出不等式，并解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題；經(jīng)歷由實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，體會(huì)其基本方法，培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

如何通過(guò)他們熟悉的生活環(huán)境創(chuàng)生出不一樣的問(wèn)題，并通過(guò)巧妙的構(gòu)思，鮮活的實(shí)例，合作互動(dòng)的形式來(lái)吸引他們，我嘗試以教材為基礎(chǔ)，通過(guò)明暗兩條線交織，并以問(wèn)題—互動(dòng)的形式來(lái)實(shí)施教學(xué).

2　教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1　創(chuàng)設(shè)情境，感受不等

話題引入秉承“承恩施善，德貫全程，敢當(dāng)大任，回歸社會(huì)”的江蘇地鐵自2005年南京首條地鐵——南京地鐵1號(hào)線開(kāi)通運(yùn)營(yíng)以來(lái)，為同學(xué)們的出行提供了很多便利和人文關(guān)懷，截止2017年2月，南京已有7條線路，地鐵建設(shè)創(chuàng)造了全國(guó)地鐵建設(shè)的多個(gè)記錄：

(1)地鐵建設(shè)速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)世界平均建設(shè)速度；

(2)票價(jià)低于國(guó)內(nèi)其它城市；

(3)參與建設(shè)的工人人數(shù)控制在1200人以內(nèi)……

在這里，建設(shè)速度的快慢、票價(jià)的高低、人數(shù)的多少……都反映了我們生活中的一種常見(jiàn)現(xiàn)象——不等關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)真實(shí)問(wèn)題情境，使學(xué)生感受生活中處處有數(shù)學(xué)，突出知識(shí)產(chǎn)生的背景及其與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，嘗試用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述生活中的現(xiàn)象，著意人文底蘊(yùn)、健康生活、責(zé)任擔(dān)當(dāng)及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一的“數(shù)據(jù)分析”意識(shí)的培育.

問(wèn)題1表示不等關(guān)系的有哪些句子？其含義是什么？

問(wèn)題提出后，讓學(xué)生集思廣益，廣泛發(fā)言，教師適時(shí)適切引導(dǎo)、追問(wèn)，及時(shí)互動(dòng)(下同)

設(shè)計(jì)意圖地鐵明線初顯，熟悉的情境趣引“不等”話題(暗線).

問(wèn)題2你能舉出一些實(shí)際生活中蘊(yùn)含不等關(guān)系或不等式的例子嗎？

追問(wèn)：對(duì)于生活中的不等關(guān)系，應(yīng)該如何用數(shù)學(xué)式子來(lái)刻畫(huà)呢？

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生感受不等，揭示學(xué)習(xí)與研究的必要性，引出課題.

2.2　師生互動(dòng)，表示不等

問(wèn)題3如何表示不等關(guān)系呢？

根據(jù)學(xué)生的回答，啟發(fā)出“用不等式來(lái)表示不等關(guān)系”.根據(jù)學(xué)生的回答，追問(wèn)：什么是不等式？有哪些不等符號(hào)？幫助學(xué)生回憶出“用不等號(hào)(<、>、≠、≤、≥)表示的式子，叫不等式”.

進(jìn)一步追問(wèn)：不等號(hào)是哪一年發(fā)明的？誰(shuí)首先使用的？

數(shù)學(xué)史料“不等號(hào)”由英國(guó)數(shù)學(xué)家哈里奧特于1631年開(kāi)始使用，但當(dāng)時(shí)并沒(méi)有被數(shù)學(xué)界所接受，直到100年以后，才逐漸成為標(biāo)準(zhǔn)的符號(hào).

設(shè)計(jì)意圖介紹數(shù)學(xué)故事，不失時(shí)機(jī)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)史教育.

問(wèn)題4你能舉出數(shù)學(xué)上不等關(guān)系的實(shí)例嗎？

提示引導(dǎo)：并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)

(1)三角形兩邊之和大于第三邊(a+b>c，a+c>b，b+c>a)；

(2)完全平方數(shù)不小于零，(a2≥0)等.

設(shè)計(jì)意圖把學(xué)生的思維從日常生活中拉到數(shù)學(xué)內(nèi)部.

教師及時(shí)補(bǔ)充實(shí)例，PPT顯示如下內(nèi)容：

南京地鐵4號(hào)線運(yùn)營(yíng)后，南京地鐵軌道線網(wǎng)將突破260公里；

南京地鐵3號(hào)線的票價(jià)介于1.9至8元之間；

根據(jù)規(guī)定，乘客攜帶的物品重量不得超過(guò)15千克，體積不得大于0.15立方米.

問(wèn)題5能用不等式表示上述問(wèn)題中的不等關(guān)系嗎？

追問(wèn)：如何將文字語(yǔ)言的不等式轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言的不等式呢？

啟發(fā)引導(dǎo)師生共同完成下表：

不等關(guān)系詞突破介于……之間不超過(guò),不大于不等式S>2601.9≤p≤8{G≤15,v≤0.15

設(shè)計(jì)意圖啟發(fā)引導(dǎo)找到不等關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，再將找到的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式；再顯明線，仍用地鐵為背景.

2.3　建立模型，應(yīng)用不等

問(wèn)：對(duì)于較復(fù)雜的問(wèn)題，我們?nèi)绾斡貌坏仁絹?lái)建立數(shù)學(xué)模型呢？

例1某位同學(xué)為自己制定的月交通費(fèi)支出總額為120元，若他乘坐地鐵一次需要2元，乘坐出租車(chē)一次需要15元，問(wèn)他每月需乘地鐵多少次才不會(huì)超支？(假設(shè)該生每月從家到學(xué)校往返共40次)

解設(shè)該同學(xué)每月乘地鐵x次，則他乘坐出租車(chē)(40-x)次.

故2x+15(40-x)≤120，(x∈N)

則有13x≥480.

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生初步感受“一元一次不等式”模型，例題由教材第一個(gè)問(wèn)題以“地鐵”為背景改編而來(lái).再次體現(xiàn)著意設(shè)計(jì)的“地鐵”這條明線，更著意健康生活和數(shù)學(xué)抽象和模型化等素養(yǎng)的培育，沒(méi)有求解出不等式，體現(xiàn)課標(biāo)要求，下同.

問(wèn)題6你能總結(jié)出解決不等關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題的一般步驟嗎？

師生互動(dòng)，共同得出：

設(shè)計(jì)意圖示以思維之道：用數(shù)學(xué)的眼光觀察客觀世界，用數(shù)學(xué)的思維分析實(shí)際問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)實(shí)際問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的方式和知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.使學(xué)生體會(huì)到不等式是研究實(shí)際問(wèn)題的重要數(shù)學(xué)模型,同時(shí)經(jīng)歷由實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，體會(huì)其基本方法，著意數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的滲透和培育.

例2地鐵站設(shè)有多臺(tái)自動(dòng)販賣(mài)機(jī)出售飲料，若某種飲料以每瓶2元的價(jià)格銷(xiāo)售時(shí)，月銷(xiāo)售總量為10萬(wàn)瓶.經(jīng)過(guò)大數(shù)據(jù)調(diào)查，若價(jià)格每提高0.2元，銷(xiāo)售量就減少5000瓶.問(wèn)每瓶?jī)r(jià)格的定價(jià)為多少元時(shí)，才能使該飲料月銷(xiāo)售額超過(guò)22.4萬(wàn)元？

解設(shè)該飲料的定價(jià)提高x元，根據(jù)題意得到

(2+x)(10-(5x)/2)>22.4,

化簡(jiǎn)得5x2—10x+4.8<0.

設(shè)計(jì)意圖用數(shù)學(xué)的思想分析問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的知識(shí)得到模型，題中的數(shù)學(xué)模型是一元二次不等式，進(jìn)一步經(jīng)歷由實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，深化建模思想.此題源于對(duì)教材中第二個(gè)問(wèn)題的改編.

例3在制造地鐵列車(chē)的過(guò)程中，需要把長(zhǎng)度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種.按照生產(chǎn)要求，600mm鋼管的數(shù)量不能超過(guò)500mm鋼管的3倍，請(qǐng)寫(xiě)出滿足上述不等關(guān)系的不等式.

解設(shè)截成500mm的鋼管x根，截成600mm的鋼管為y根，則有，

設(shè)計(jì)意圖此題源于對(duì)教材中第3個(gè)問(wèn)題的改編.模型是線性規(guī)劃，表明我們還可以用不等式(組)來(lái)刻畫(huà)不等關(guān)系，使學(xué)生進(jìn)一步經(jīng)歷由實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，體會(huì)其思想和基本方法.

2.4　深入延展　提煉不等

例4在b克糖水中有a克糖，若再加上m克糖(m>0)，則糖水變得更甜，試根據(jù)這個(gè)事實(shí)提煉出一個(gè)不等關(guān)系.

追問(wèn)：我們用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)詮釋生活哲理，生活將變得韻味無(wú)窮，在日常生活中，你還能舉出這樣的例子嗎？

啟發(fā)引導(dǎo)出：女同志為什么喜歡穿高跟鞋？芭蕾演員演出為什么要踮起腳尖(一般人下半身與全身長(zhǎng)之比在0.58—0.6之間，穿高跟鞋或踮起腳尖增加了比值，接近0.618)

設(shè)計(jì)意圖題中數(shù)學(xué)模型是分式不等式，是對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、建模意識(shí)和能力的進(jìn)一步培育，理性思維的進(jìn)一步提升.此題源于對(duì)教科書(shū)習(xí)題第5小題的改編，也為學(xué)生感受生活中處處有數(shù)學(xué)，時(shí)時(shí)有不等關(guān)系埋下知識(shí)的伏筆.此處沒(méi)有對(duì)提煉的不等式進(jìn)行證明、變式和甄別(如沒(méi)有對(duì)m的正負(fù),a,b的大小進(jìn)行深度討論、分析)是體現(xiàn)課標(biāo)要求和對(duì)學(xué)情的尊重.

2.5　深入延展　感悟不等

問(wèn)題7今天我們是怎樣開(kāi)展對(duì)“不等關(guān)系”的研究的？

經(jīng)過(guò)師生充分的思考和互動(dòng)之后，總結(jié)如下：我們從引以為傲的南京地鐵談起，從了解地鐵、“乘坐”地鐵，在地鐵站銷(xiāo)售飲料、“制造”地鐵、“喝過(guò)”糖水不等式，這一條明線.另一方面，我們從感受不等開(kāi)始，學(xué)習(xí)了如何表示不等、應(yīng)用不等、提煉不等、感悟不等、回味不等，到最后證明不等的嘗試，這是一條暗線.與此同時(shí)，還學(xué)習(xí)和建立了一元一次不等式，一元一次不等式組，一元二次不等式和分式不等式等數(shù)學(xué)模型……

2.6　總結(jié)提高　回味不等

問(wèn)題8你有哪些收獲、體驗(yàn)和感悟？

充分的互動(dòng)，總結(jié)如下：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們感受到生活中處處有數(shù)學(xué)，時(shí)時(shí)有數(shù)學(xué)，正如數(shù)學(xué)家陳省身所說(shuō)：我們欣賞數(shù)學(xué)，我們需要數(shù)學(xué).不等是絕對(duì)的，相等是相對(duì)的，不等關(guān)系是數(shù)學(xué)中最重要的一種關(guān)系，我們需要不等關(guān)系，我們用好不等關(guān)系，就可以用力最省，花錢(qián)最少，效益最高.

設(shè)計(jì)意圖言歸正傳，適當(dāng)小結(jié)，引用名人名言，進(jìn)行數(shù)學(xué)史教育，強(qiáng)調(diào)等與不等的辯證關(guān)系，滲透辯證法思想.同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力，歸納概括能力，兼顧過(guò)程和方法；情感、態(tài)度和價(jià)值觀方面教學(xué)目標(biāo)；教育最終指向全面發(fā)展的人.

3　教學(xué)反思

讓學(xué)生身臨問(wèn)題情境，盡量感悟提出、解決問(wèn)題的真實(shí)過(guò)程，這是提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑.以問(wèn)題引領(lǐng)來(lái)激活學(xué)生思維是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有力的抓手.有了問(wèn)題，學(xué)生的思維才有了方向與載體、才有交流展示的機(jī)會(huì)、課堂才能被激活.基于以上認(rèn)識(shí)，本課采用了問(wèn)題—互動(dòng)的教學(xué)模式，通過(guò)設(shè)計(jì)了8個(gè)環(huán)環(huán)相扣、層層推進(jìn)的“問(wèn)題串”，保證了課堂的有序和流暢.但“問(wèn)題—互動(dòng)”引領(lǐng)必須要遵循兩個(gè)原則：一是要連續(xù)性原則，即設(shè)計(jì)的問(wèn)題要圍繞教學(xué)主題，連續(xù)不斷地層次推進(jìn)，才能保證學(xué)生步步為營(yíng)的持續(xù)提高.否則，必將給人神散形也散之感.二是“最近發(fā)展區(qū)原則”，即設(shè)計(jì)的問(wèn)題要來(lái)自學(xué)生的生活，貼近學(xué)生的認(rèn)知水平和思維水平，必要時(shí)搭好“腳手架”，促進(jìn)不同層次的學(xué)生均有所發(fā)展.三是要互動(dòng)原則，即師生互動(dòng)，生生互動(dòng)，人機(jī)互動(dòng)，全員互動(dòng).這種動(dòng)不是教師牽著學(xué)生鼻子走(所謂“主導(dǎo)”)的動(dòng)，也不是只有發(fā)言同學(xué)和少數(shù)尖子生的“壟斷”的動(dòng)，更不是看上去熱熱鬧鬧(所謂“主體”)實(shí)質(zhì)上是注入式的缺少創(chuàng)新的動(dòng)，而應(yīng)是學(xué)生發(fā)揮主觀能動(dòng)性的自主的動(dòng)，圍繞教師精心設(shè)計(jì)的有思考價(jià)值的問(wèn)題的交流、合作的動(dòng).[2]

“明暗交織”是“問(wèn)題—互動(dòng)”教學(xué)的一種美好形式.皮亞杰認(rèn)為：認(rèn)知發(fā)展可分為內(nèi)化建構(gòu)和外化建構(gòu)，學(xué)生知識(shí)的掌握和能力的發(fā)展應(yīng)該是內(nèi)化建構(gòu)和外化建構(gòu)同時(shí)得以發(fā)展的過(guò)程.本節(jié)課教學(xué)以兩條線展開(kāi)，暗線是不等關(guān)系，從感受不等、表示不等、應(yīng)用不等、提煉不等、感悟不等、回味不等直到作業(yè)布置中的再見(jiàn)不等和證明不等，明線是圍繞南京人引以為豪的地鐵展開(kāi)，從選乘地鐵、到南京地鐵軌道線網(wǎng)、票價(jià)、乘客攜帶的物品重量規(guī)定等的地鐵背景、乘坐地鐵的費(fèi)用支出(例1)、地鐵站自動(dòng)販賣(mài)機(jī)飲料的出售(例2)、直到地鐵列車(chē)的制造(例3).圍繞明線的例題都是來(lái)自教材提供的例題或習(xí)題，數(shù)字沒(méi)變，背景改動(dòng)而已，因?yàn)橹黝}沒(méi)變，加上話題也始終是學(xué)生熟悉的具體的生活情境，故始終給人以整體感、真實(shí)感.或明或暗，明暗交織，使學(xué)生注意力思維活躍、敏捷；數(shù)學(xué)建模及思想方法的體會(huì)和運(yùn)用恰到好處，初步達(dá)成了“為實(shí)現(xiàn)學(xué)生的核心素養(yǎng)而教”，實(shí)現(xiàn)了使課堂教學(xué)超越知識(shí)技能進(jìn)而使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“落地”的初心.[3]