消費返款中的數(shù)學(xué)問題

毛克寧

(廣東理工學(xué)院經(jīng)濟管理學(xué)院　526100)

1　引言

據(jù)報道和筆者了解，近些年一些商家進行了消費返款銷售，所謂消費返款，就是在買者購買商品之后由返款方(如第三方電子商務(wù)平臺)逐步向買者返還購物款．有一種返款方式是遞減式返款，它涉及到了返款金額、返款儲蓄以及返款的價值變動等數(shù)學(xué)問題．一些消費者盲目購買返款商品的重要原因是信息不完全和不對稱[1]．他們僅僅想到了商家所宣傳的全額返款的“實惠”，卻沒有考慮到返款方是否守約，也不清楚返款所涉及到的一些數(shù)學(xué)問題．本文不論及返款銷售和返款的運作中是否存在欺詐，僅就遞減式返款所涉及的幾個數(shù)學(xué)問題進行分析．

2　遞減式返款及其返款金額

所謂遞減式返款，就是在買者購買商品之后由返款方按照一個比例r(0

(1-r)-r(1-r)-…-r(1-r)n-1

=(1-r)n，

即當(dāng)n≥2時，(1-r)-r(1-r)-…-r(1-r)n-1=(1-r)n

(1)

返款方從返款開始，第1天的返還額為ar

第2天的返還額為(a-ar)r=ar(1-r)

第3天的返還額為[a-ar-(a-ar)r]r=

……

第n(≥2)天的返還額為“a減去從第1天到第n-1天的返還額”乘以r．那么根據(jù)第1、2、3天的返還額，假設(shè)第k(≥2)天的返還額為ar(1-r)k-1，于是第k+1天的返還額為

[a-ar-ar(1-r)-ar(1-r)2-…-ar(1-r)k-1]r

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理知，當(dāng)n≥2時，第n天(一天)的返還額為ar(1-r)n-1，由于第1天的返還額為ar，進而得出當(dāng)n≥1時，第n天(一天)的返還額仍為

ar(1-r)n-1

(2)

于是第1天到第n天的返還額之和為

ar+ar(1-r)+ar(1-r)2+…+ar(1-r)n-1

=ar[1+(1-r)+(1-r)2+…+(1-r)n-1]

=a[1-(1-r)n],

即返款方從第1天到第n(≥1)天的返還額之和為

An=a[1-(1-r)n]

(3)

若t為整數(shù)，則n等于t；否則n等于對t取整后再加1.

3　返款儲蓄

因此當(dāng)n≥1時，

+…+ar(1-r)n-2·(1+ξ)+ar(1-r)n-1

=ar{[1+(n-1)ξ]+(1-r)[1+(n-2)ξ]+…+(1-r)n-2(1+ξ)+(1-r)n-1}.

令Sn=[1+(n-1)ξ]+(1-r)[1+(n-2)ξ]+(1-r)2[1+(n-3)ξ]+…+(1-r)n-2(1+ξ)+(1-r)n-1.

(1-r)Sn=(1-r)[1+(n-1)ξ]+(1-r)2[1+(n-2)ξ]+…+(1-r)n-1(1+ξ)+(1-r)n.

(1-r)Sn-Sn=ξ[(1-r)+(1-r)2+…+(1-r)n-1]+(1-r)n-(n-1)ξ-1

當(dāng)n>Na時，令n=Na+m,m為正整數(shù),

{1+[(Na-2)+m]ξ}+…+ar(1-r)Na-2·

[1+(1+m)ξ]+ar(1-r)Na-1·(1+mξ)

=ar{[1+(Na-1+m)ξ]+(1-r)[1+(Na-2+m)ξ]+…+(1-r)Na-2[1+(1+m)ξ]+

(1-r)Na-1(1+mξ)}.

令SNa+m=[1+(Na-1+m)ξ]+(1-r)[1+(Na-2+m)ξ]+…+(1-r)Na-2[1+(1+m)ξ]+(1-r)Na-1(1+mξ),

下面用類似于前面求Sn的方法求SNa+m.

將m=n-Na代入上式，得出當(dāng)n>Na時，

因此當(dāng)n≥1時，

ar(1-r)n-2(1+ξ)+ar(1-r)n-1

=ar[1+(n-1)ξ+…+ξn-1]+ar(1-r)[1+(n-2)ξ+…+ξn-2]+…+ar(1-r)n-2(1+ξ)+

ar(1-r)n-1

當(dāng)n>Na時，

+ar(1-r)Na-1(1+mξ)

≤ar[1+(Na-1)ξ]·(1+mξ)+ar(1-r)[1+(Na-2)ξ]·(1+mξ)+…+ar(1-r)Na-2(1+ξ)·(1+mξ)+ar(1-r)Na-1·(1+mξ)

={ar[1+(Na-1)ξ]+ar(1-r)[1+(Na-2)ξ]+…+ar(1-r)Na-2(1+ξ)+ar(1-r)Na-1}·(1+mξ)

對于某一特定天數(shù)N0(≥1)，由(3)式知，返款方在返款N0天時的未還款額為a-a[1-(1-r)N0]=a(1-r)N0，假如返款方在返款開始起的第N0+1天將所剩余款額a(1-r)N0全部返還給買者，這里將返款方從返款開始起第n天按復(fù)利計算的買者賬戶上的返款總儲蓄額記為A′cn,按單利計算的買者返款總儲蓄額記為A′sn,則

類似地仍可得出：當(dāng)n≥1時，A′cn≥A′sn.

4　返款的價值變動

假定返款方在買者購買商品后即開始返款，并直接將返款轉(zhuǎn)入買者的銀行賬戶．將從返款開始起第n天買者的返款儲蓄額記為Bn(不論單利還是復(fù)利)，若這段時間長度為T年，記

因為貨幣的價值可以用物價水平的倒數(shù)度量[4]，所以MT式表示買者購買返款商品之后T年的貨幣價值與購買那一年貨幣價值的比率(這里的物價水平可以用CPI計量)．于是購買之后T年買者賬戶上的返款儲蓄額Bn的價值與購買年等量金額貨幣的價值比率即為MT．下面通過中國近年的年度CPI來考察一定金額在年份變動情況下的價值變動情況．

中國近8年年度CPI統(tǒng)計表

【說明】以上指數(shù)是以1978為固定基期，即以1978年的CPI=100計算的.

(資料來源：國家統(tǒng)計數(shù)據(jù)，2017-2-15．http://data.stats.gov.cn/easyquery.htm?cn=C01)

假如某買者在2012年購買了返款商品，那么到了2015年M3=579.7/615.2≈94%，即買者經(jīng)過這3年時間賬戶上的返款儲蓄額約值購買年等量金額的94%．若這3年時間CPI有大幅增大，則該百分比會大幅減?。肊xcel軟件中的回歸分析功能，可以得出反映年度CPI與相應(yīng)年份之間關(guān)系的估計的回歸方程

yc=499+15.2t

其中t表示年序數(shù)，yc是給定的t值所對應(yīng)的CPI的估計值；并且還可以得出Significance F=1.38E-05，其值小于設(shè)定的顯著性水平值α=0.05．它表明這些年的CPI與相應(yīng)年份之間有顯著的線性關(guān)系[5]．將年序數(shù)t=10代入估計的回歸方程方程，有yc=499+15.2×10=651，這就是2017年年度CPI的估計值．M5=579.7/651≈89%,這說明該買者從2012年購買返款商品到2017年這5年時間賬戶上的返款儲蓄額約值購買年等量金額的89%.

5　結(jié)束語

本文所述消費遞減式返款數(shù)學(xué)原理的經(jīng)濟意義可加以拓展，如某一款項按一定比例的遞減式給付等所產(chǎn)生的給付款額及其儲蓄額等類似問題．可以根據(jù)問題的需要，將文中與返款有關(guān)的“天數(shù)”變?yōu)椤爸軘?shù)”、“月數(shù)”、“年數(shù)”或其他時間段數(shù)，同時將日遞減返款比例r與日利率ξ相應(yīng)地變?yōu)榘粗堋⒃?、年或其他時間段實行的遞減給付比例與利率．由遞減式給付產(chǎn)生的相應(yīng)貨幣價值變動也可作類似的分析.