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    一個無理分式不等式的三個推廣

    2018-07-16 00:49:48郭要紅陳佳佳
    數(shù)學通報 2018年5期
    關鍵詞:歸納法正數(shù)整數(shù)

    郭要紅 陳佳佳

    (安徽師范大學數(shù)學計算機科學學院 241000)

    1 引言

    《數(shù)學通報》2016年9月問題2325[1]如下:

    設x,y是滿足xy=1的正數(shù),λ≥0,求證:

    從指數(shù)與項數(shù)入手,本文得到了上述不等式的三個推廣.

    定理1設x,y是滿足xy=1的正數(shù),λ≥0,n是正自然數(shù),求證:

    (1)

    (2)

    定理3設x,y>0,xy=1,m≥2,m為整數(shù),λ≥0,有

    (3)

    2 主要結論的證明

    2.1 定理1的證明

    (4)

    于是,f′(x)≥0等價于

    (λx+1)3≥0

    3λ2xn+1(x2n+2-1)+2λ3xn+2(xn+1-1)+

    x2n(x2n+2-1)+3λx2n+1(xn+1-1)≥0

    x3n+2)+3λ2xn+1(1+x+…+x2n+1)+2λ3xn+2·

    (1+x+…+xn)+x2n(1+x+…+x2n+1)+

    3λx2n+1(1+x+…+xn)]≥0

    ?x-1≥0,

    所以,當01時,f′(x)>0,于是,f(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+)上單調遞增,故f(x)在(0,+∞)內于x=1處取得最小值,即

    也即

    (4)式得證,不等式(1)成立.

    2.2 定理2的證明

    (5)

    用數(shù)學歸納法證明不等式(4).

    當n=1時,不等式顯然成立;

    當n=2時,由定理1或問題2325供題者的解答[2]知,不等式(5)成立.

    不等式(5)成立,欲證不等式(2)得證.

    2.3 定理3的證明

    欲證不等式(3),只須證

    ?(x+y+2)m≥22m-1(x+y)

    (6)

    用數(shù)學歸納法容易證明不等式(6),所以不等式(3)成立,證畢.

    3 討論與進一步研究的問題

    3.1 討論

    在定理1中,取n=1,則不等式(1)變?yōu)閱栴}2325,定理1是問題2325的推廣.

    在定理2中,取n=2,不等式(2)變?yōu)閱栴}2325,定理2為問題2325的推廣,由定理2的證明過程可以看出,欲證定理2,定理1是關鍵,定理2的證明過程也是定理1的發(fā)現(xiàn)過程.文[3]在文末提出了一個問題,文[4]解決了該問題得到了文中的定理1如下:

    設a,b,c是滿足abc=1的正數(shù),λ≥0,則有

    在本文定理2中,取n=3,立得上述不等式,所以定理2是文[4]定理1的推廣.

    在定理3中,取m=2,不等式(3)變?yōu)閱栴}2325,定理3為問題2325的推廣.

    3.2 進一步研究的問題

    在將問題2325的指數(shù)從開平方推廣至開任意m(m≥2,m為整數(shù))次方,得到定理3后,考慮將定理3再推廣至n元,我們傾向于再推廣結論是成立的,但久思不得證法,作為進一步研究的問題,特提出如下猜想.

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