例談中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間聯(lián)系*

廣東省中山市民眾中學(xué)(528441) 陳曉明 楊良畏

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容是高等數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),它們之間聯(lián)系緊密,高等數(shù)學(xué)背景設(shè)計而成一些創(chuàng)新試題,教師要加強初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)銜接內(nèi)容的教學(xué)研究,這樣才能居高臨下.在現(xiàn)行的高考中像這樣具有高等數(shù)學(xué)背景的試題,往往備受命題者青睞.因此要加強初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)銜接內(nèi)容的教學(xué)研究,使中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)達到理想的教學(xué)效果.我們可以通過以下幾個方面的例題,就會發(fā)現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)間存在緊密聯(lián)系.

1 行列式的應(yīng)用

因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容,雖然在中學(xué)數(shù)學(xué)中有很多方法可以解決因式分解問題,但對于某些因式分解問題,如果構(gòu)造與之對應(yīng)的行列式,然后使用行列式的性質(zhì)去解決,就顯得很方便.

例1 對a3+b3+c3?3abc因式分解.

2 微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

如果將整個數(shù)學(xué)比作一棵大樹,那么初等數(shù)學(xué)就是樹的根,名目繁多的數(shù)學(xué)分支就是樹枝,而樹干的主要部分就是微積分.運用微積分的知識我們可以更好的了解中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系,可以更好的將數(shù)學(xué)知識融會貫通,學(xué)好數(shù)學(xué).

例2 已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1時,取的極值且f(1)=?1,試求常數(shù)a,b,c的值.

解f′(x)=3ax2+2bx+c,因為x=±1為函數(shù)極值點,所以x=±1是方程f′(x)=0的根,即3ax2+2bx+c=0.f′(1)=0即3a+2b+c=0,f′(?1)=0即 3a?2b+c=0,又f(1)=?1,所以a+b+c=?1,聯(lián)立解得

3 恒等式的應(yīng)用

恒等式的證明在中學(xué)數(shù)學(xué)中是屢見不鮮的問題,如果用高等數(shù)學(xué)的方法來證明恒等式,有著初等數(shù)學(xué)無可比擬的優(yōu)勢.

4 泰勒定理的應(yīng)用

下面我們來看一道高考題,從高考題中看看中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系.

上面我給出的解法使用了大學(xué)里面的知識,這道題目難度對于中學(xué)生來講是很大的,即使是優(yōu)秀生也是對它毫無辦法.而我們首先想到的是泰勒展開式,微分中值定理相關(guān)知識去解答,這道題目對我們來說并不陌生,因為在許多高?？佳蓄}目中都有這樣的題目的影子.如四川師范大學(xué)考研題以及2008年浙江省大學(xué)生高等數(shù)學(xué)競賽試題第五題.下面我們具體看看四川師范大學(xué)那道題.

例5其中n是任一自然數(shù),求證:方程fn(x)·fn+1(x)=0在實數(shù)域內(nèi)有唯一實根.

這就是某年四川師范大學(xué)研究生考試的那道題,詳細(xì)答案解答見錢吉林的《數(shù)學(xué)分析解題精粹》(第二版).

回到高考那道題,我們用初等數(shù)學(xué)的方法來證明.

證明設(shè)

(1)當(dāng)n=1,2時,命題正確;(2)假設(shè)當(dāng)n=k時,命題正確.若k為偶數(shù)時,所以fk+1(x)在(?∞,+∞)上單調(diào)遞增,又當(dāng)x→+∞時,fk+1(x)→+∞,當(dāng)x→?∞時,所以fk+1(x)=0有且僅有一個實根;若k為奇數(shù)時,fk(x)=fk+1(x),記fk(x)=0的根為x=x0,由于fk(x)在(?∞,+∞)上單調(diào)遞增,所以x∈(?∞,x0)時,fk(x)＜0,x∈(x0,+∞)時,fk(x)＞0;因為所以fk+1(x)=0無實根,由(1)(2)根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法,可知命題正確.

如相似題有,2010年高考數(shù)學(xué)(新課標(biāo)全國卷理科)第21題.

設(shè)函數(shù)f(x)=ex?1?x?ax2,若當(dāng)x≥0時,f(x)≥0,求a的取值范圍.

解(分離參數(shù)法)由條件可知,ex?1?x?ax2≥0,因為x=0時不等式成立,所以只是考慮x≠0時的情況,當(dāng)x≠0時,則在令y2=(x?2)ex+x+2,當(dāng)x=0,y2=0,因為令y3=(x?1)ex+1,當(dāng)所以y3在(0,+∞)上是增函數(shù),y3＞0,推出y2在(0,+∞)上是增函數(shù),由y2＞0又推出y1在(0,+∞)上是增函數(shù),由于

這種分離參數(shù)法是我們中學(xué)解題慣用的手法,可是在這道題中,有最后一道關(guān)卡過不去,那就是求因為這里用到高等數(shù)學(xué)中的洛必達法則,而中學(xué)生不會,他們僅會分離參數(shù),所以到最后不知道怎么辦?當(dāng)然,這道題在標(biāo)準(zhǔn)答案中有詳細(xì)解答,我這里主要是為了說明中學(xué)中一些題目已經(jīng)滲透著高等數(shù)學(xué)的思想,如果學(xué)生用慣常思維去解答一些題目很容易卡殼,但是使用中學(xué)方法需要用到一些技巧,學(xué)生很難想到,所以在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革中,老師應(yīng)具備用高等數(shù)學(xué)的知識去解決一些題目的能力和思想,讓學(xué)生們有所了解,使中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)達到理想的教學(xué)效果.