解題教學(xué)要揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)

山東省單縣第一中學(xué)(274300) 馬傳豹

一次講評(píng)課觀摩中,授課教師講評(píng)問題較為集中的題1,而后當(dāng)堂訓(xùn)練題2;首先引導(dǎo)學(xué)生回憶恒成立求參問題的常規(guī)方法,略講構(gòu)造函數(shù)與分離參數(shù)法解題,呈現(xiàn)具體解答過程(如解法1、解法2),未作嚴(yán)格的邏輯推理與難點(diǎn)突破的解讀;而后介紹特殊賦值的解法3,并重點(diǎn)講評(píng)分拆函數(shù)處理的解法4.

題1已知函數(shù)f(x)=xlnx,(II)對(duì)任意的恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

題2(2010年新課標(biāo)理科21題)設(shè)函數(shù)f(x)=ex?1?x?ax2(II)若當(dāng)x≥0時(shí),求a的取值范圍.(答案:a的取值范圍為

解法1(構(gòu)造函數(shù))則kx2≤x?1?lnx.設(shè)g(x)=kx2?(x?1?lnx),可得g(x)=kx2?(x?1?lnx)≤ 0,有g(shù)′(x)=2kx?1+其中當(dāng)k≤0時(shí),g′(x)≤0,函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)x趨近零時(shí),g(x)是非常小的負(fù)值;故g(x)＜0;當(dāng)k＞0時(shí),易知g(1)=k＞0不滿足.故k≤0.

解法2(分離參數(shù))則由kx2≤x?1?lnx可得設(shè)其導(dǎo)函數(shù)為且g′(1)=0. 若令h(x)=1?x+2lnx,則由知,在(0,2)上,h′(x)＞0;在(2,+∞)上h′(x)＜0,其中h(2)=2ln2?1＞0,h(4)=2ln4?3＜0,在(2,+∞)上h(x)=1?x+2lnx有唯一零點(diǎn),設(shè)為x0.可知g′(x)的取值情況為,在(0,1)小于零,在(1,2)大于零,則在(0,1)遞減,在(1,x0)上遞增,在(x0,+∞)遞減.因?yàn)間(1)=0,且當(dāng)x趨近正無窮時(shí),g(x)＞0,故g(x)≥0,則k≤0.

解法3(特殊探路)設(shè)h(x)=x?1?lnx(x＞0),如是當(dāng)0＜x＜1時(shí),h′(x)＜0;當(dāng)x＞1時(shí),h′(x)＞0,故h(x)≥h(1)=0.當(dāng)k≤ 0時(shí),kx2≤ 0,故kx2≤x?1?lnx顯然成立.而當(dāng)k＞0時(shí),x=1時(shí)k＞1?1?ln1不滿足kx2≤x?1?lnx故k≤0.

解法4依題意lnx).設(shè)h(x)=x?1?lnx(x＞0),如是當(dāng) 0＜x＜1時(shí),h′(x)＜0;當(dāng)x＞1時(shí),h′(x)＞0,故h(x)≥h(1)=0.所以對(duì)任意x＞0時(shí),從而k≤0.

“一講一練”與“一題多解”的意圖是增加課堂容量、激活學(xué)生思維,并將解法與技巧固化于題型中,以便讓學(xué)生模仿、應(yīng)用于類似的試題.而學(xué)生當(dāng)堂訓(xùn)練題2時(shí),利用構(gòu)造函數(shù)、分離參數(shù)等方法,可以獲得正確的結(jié)論;但解答并不順利.更讓教師本人意外的是,選用解法3和解法4時(shí),獲得與答案不同結(jié)果.

筆者以為只講答案不講思維過程,只解題不講“怎樣解題”的做法,讓題1的思維價(jià)值喪失了.題1的內(nèi)涵教學(xué)價(jià)值很是豐富,單純從解法來看,構(gòu)造函數(shù)求最值、分離參數(shù)是學(xué)生必須掌握,并要求熟練運(yùn)用的兩種解題方法,但是要處理的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)情境是變化多端的;而特值探路與函數(shù)分拆對(duì)學(xué)生的觀察能力和數(shù)據(jù)敏感性要求極高.從題2答題效果,明顯可見學(xué)生沒有領(lǐng)會(huì)賦值的原因是什么,更甚的是解法4似乎只是巧合,學(xué)生更不談不理解數(shù)學(xué)本質(zhì),故出現(xiàn)負(fù)遷移是必然的.

筆者深入分析了各解法的關(guān)鍵,并對(duì)試題的命題背景展開探究,以揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)和剖析數(shù)學(xué)問題.含參不等式問題,本質(zhì)上就是二元的變量恒成立,因此要降維為一元最值問題進(jìn)行研究;所以無論含參討論與分離參數(shù),都是研究函數(shù)的最值問題.

解法1是構(gòu)造含參的新函數(shù),通過新函數(shù)的最值研究;其中的參數(shù)引起導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的不確定,所以須對(duì)其分類討論.本題中的分類是利用的函數(shù)圖像交點(diǎn)來確定具體的分類標(biāo)準(zhǔn);這是此題的難點(diǎn)、區(qū)分點(diǎn),也是此類問題的解題關(guān)鍵點(diǎn),所以講解此法要凸顯基于函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行有序地分類討論.

解法2是將目標(biāo)參數(shù)進(jìn)行分離,將問題轉(zhuǎn)化為研究一個(gè)新的函數(shù);通常有可能要對(duì)自變量進(jìn)行討論,但是此法會(huì)產(chǎn)生導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)不可求.若導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不可求,一是知道等量關(guān)系,需要進(jìn)行整體回代,求取最值;二是利用二次求導(dǎo),論證零點(diǎn)存在并有某種特殊性,使得原函數(shù)恒定單調(diào).題1的解法2就是前者,所以如何研究性新函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)是解題教學(xué)要揭示的數(shù)學(xué)本質(zhì).

解法3的思路是先獲得題設(shè)成立的必要性,進(jìn)而證明是否充分,對(duì)猜想的范圍進(jìn)行增刪;可將問題簡(jiǎn)捷解決.此法是建立在觀察出函數(shù)的特殊取值的基礎(chǔ)之上,進(jìn)行“大膽猜想、小心論證”.即先猜想,而后推理證明;是一種間接求解,從而避免大量的運(yùn)算.通常此種解法的局限在于,只能獲取滿足在端點(diǎn)附近的范圍內(nèi)成立的參數(shù)的范圍;故需要從此出發(fā)進(jìn)行驗(yàn)證,對(duì)范圍內(nèi)外都進(jìn)行論證,對(duì)參數(shù)“多去少補(bǔ)”.2016年高考數(shù)學(xué)四川卷理科第21(II)問、2015年山東理科21題(II)問就是此法的典型應(yīng)用.

以上解題是基于展開式,進(jìn)行更為嚴(yán)格地放縮,進(jìn)而將函數(shù)的某個(gè)最值,恒等變化為一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題;以展開式為背景的試題很是常見,如2015年北京理科第18題、2010年新課標(biāo)文理科第21題、2007年全國1卷理科第20題;用常規(guī)方法(構(gòu)造函數(shù)、分離參數(shù))解答有一定難度,而基于其數(shù)學(xué)本質(zhì)進(jìn)行求解,則有理有據(jù)、解答簡(jiǎn)捷.

數(shù)學(xué)解題教學(xué)要重視數(shù)學(xué)核心思想方法的滲透、常規(guī)解法的落實(shí);以促進(jìn)學(xué)生的知識(shí)理解、方法的掌握和學(xué)習(xí)的遷移.在學(xué)生已熟練掌握新“通性通法”基礎(chǔ)上,指引學(xué)生根據(jù)問題特征創(chuàng)新解題,是必要的;但若問題數(shù)學(xué)本質(zhì)模糊不清而過分推崇“秒殺法”,有可能導(dǎo)致將巧合與巧解混為一談.教師只有自己理解透徹問題的數(shù)學(xué)本質(zhì),才能更好地在解題教學(xué)中啟發(fā)學(xué)生經(jīng)歷思維過程、提煉思想方法;否則解題教學(xué)依舊是“記答案、背題型、套解答”,將數(shù)學(xué)本質(zhì)湮沒在大量的訓(xùn)練之中.