一道期末考試題的多解探究

江蘇省奔牛高級(jí)中學(xué)(213131) 范玉科

考題再現(xiàn)(揚(yáng)州2018年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)第13題)斜率為的直線l經(jīng)過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)A,且與橢圓交于另一點(diǎn)B,若在y軸上存在點(diǎn)C使得△ABC是以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,則該橢圓的離心率為_(kāi)___.

分析求圓錐曲線的離心率是在教學(xué)中常見(jiàn)題型,學(xué)生在平時(shí)訓(xùn)練也比較多,但此題作為高二學(xué)生期末考試題,答題情況并沒(méi)有達(dá)到預(yù)期的效果,究其原因,筆者認(rèn)為主要在于平常訓(xùn)練時(shí),學(xué)生未能抓住題目的本質(zhì),欠缺對(duì)試題的綜合分析能力,不能將試題條件轉(zhuǎn)化為解題的“鑰匙”.下面針對(duì)本題作以下三種解法.

圖1

評(píng)注此方法從“形”入手,從“數(shù)”下手,抓住圖像特點(diǎn),通過(guò)建立方程將題目中的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式,進(jìn)一步得到關(guān)于a,b,c的關(guān)系,從而直接求出圓錐曲線的離心率.此方法是求解圓錐曲線相關(guān)問(wèn)題的常用方法,在求解時(shí)需注意計(jì)算.

圖2

解法二如圖2設(shè)B(x0,y0),由題易知點(diǎn)B在第一象限,過(guò)點(diǎn)B作y軸垂線交y軸于點(diǎn)D,因?yàn)?∠AOC=∠CDB=90°, 所 以∠CAO+∠ACO= ∠ACO+∠BCD=∠BCD+∠CBD,所以∠CAO=∠BCD,∠ACO=∠CBD,又因?yàn)锳C=BC,所以△AOC△CDB,所以AO=CD=a,OC=BD=x0,又因?yàn)镺D=y0,所以CD=x0+y0=a(1)又因?yàn)橛?(1)(2)得即下面同方法一即可求出離心率.

評(píng)注此方法利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系,得到兩三角形全等,這是此方法的關(guān)鍵,然后再利用幾何量的大小關(guān)系直接得到點(diǎn)B坐標(biāo),進(jìn)一步得到圓錐曲線離心率.此方法優(yōu)點(diǎn)在于計(jì)算簡(jiǎn)單.

評(píng)注此方法直接從角度入手,通過(guò)兩角和的正切公式計(jì)算得到直線AC的斜率,然后進(jìn)一步根據(jù)題目條件得到直線BC方程,然后聯(lián)立直線AB和直線BC方程便可求得點(diǎn)B坐標(biāo),進(jìn)而求出離心率.此方法優(yōu)點(diǎn)在于簡(jiǎn)容易理解,計(jì)算也相對(duì)較簡(jiǎn)便.

感悟與思考數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出學(xué)生要有“四能”,即:發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力、提出問(wèn)題的能力、分析問(wèn)題的能力和解決問(wèn)題的能力.本文求圓錐曲線離心率的問(wèn)題是教學(xué)中的常規(guī)問(wèn)題,學(xué)生解答情況并不樂(lè)觀,也在于平常的訓(xùn)練中追求“題?！?缺乏“四能”的培養(yǎng),通過(guò)“題?！敝荒茏寣W(xué)生在學(xué)習(xí)中猶如置身大海,在解題時(shí)沒(méi)有方向,所以教師在平常教學(xué)中應(yīng)該注重對(duì)學(xué)生“四能”的培養(yǎng),才能讓學(xué)生以不變應(yīng)萬(wàn)變.