一道幾何題的多種思考與解法—例談中點的常見用法

江蘇省南京師范大學附屬中學江寧分校(211102) 姜紅

筆者最近在教學中遇到這樣一個問題,其中關于中點的不同思考和用法引起了學生很大的興趣,在此與大家共同探討.

1 問題呈現

在等腰△ABC中,AB=AC,分別以AB和AC為斜邊,向△ABC的外側作等腰直角三角形,如圖1所示,其中DF⊥AB于點F,EG⊥AC于點G,M是BC的中點,連接MD和ME,則下列結論正確的是___.(填序號即可)

圖1

③整個圖形是軸對稱圖形;④MD⊥ME.

2 問題探究

本題是一道填空題,僅從填上正確答案來講,難度并不大.結論①、②、③是一體的,如果能意識到結論③是正確的,那么結論①和②也就是正確的.獨立對論①和②進行說理,也很容易,以下是主要思路:

等腰直角△ABD中,因為DF⊥AB,所以AF=BF=同理可得又因為AB=AC,所以AF=AG,故結論①正確.易證△CME,所以MD=ME,故結論②正確.

結論④說理的難度較大.以下我們來討論其四種不同的證明方法.

方法1 倍長,構造大的等解直角三角形.

圖2

延長DM至點H,使HM=DM,連接CH、DE、HE(如圖2),易證:△BMD△CMH,得CH=BD,∠MCH=∠MBD=45°+ ∠ABC,又因 為BD=AD,∠MCE=45° + ∠ACB,所 以CH=AD,∠ECH=360°?(∠MCH+∠MCE)=360°?(45°+ ∠ABC+45°+ ∠ACB)=270°?(∠ABC+ ∠ACB)=270°(180°?∠BAC)=90°+ ∠BAC,又因為 ∠DAE=90°+ ∠BAC,所以∠DAE= ∠ECH,又因為EA=EC,所以△ADE△CHE(SAS),所 以DE=HE,∠1=∠2,所 以∠1+ ∠DCE= ∠2+ ∠DCE,所以 ∠DEH=90°,所以△DEH是等腰直角三角形,又因為DM=HM,所以MD⊥ME(三線合一).

方法2 運用三線合一、垂直平分線的判定定理,構造正方形.

連接DE、AM,過點E作EN⊥BC延長線于點N(如圖3),由結論①、②得AD=AE,MD=ME,所以AM垂直平分DE,所以∠MOE=90°,因為AB=AC,M是BC的中點,所以AM⊥BC,所以∠OMN=90°,又因為∠EMN=90°,所以四邊形OMNE是矩形,所以∠OEN=90°,又因為 ∠AEC=90°,所以 ∠1= ∠2,易證△AOE△CNE(AAS),得OE=NE,所以矩形OMNE是正方形,所以 ∠OME=45°,同理 ∠OMD=45°,所以∠DME=45°+45°=90°,所以MD⊥ME.

圖3

方法3 抓住斜邊中線,運用等腰三角形.

連接AM,連接MF并延長(如圖4),易證DF=MF=所以 ∠1= ∠2,又因為∠3是三角形DFM的外角,所以∠3= ∠1+∠2=2∠2,同理 ∠4=2∠5,所以∠3+ ∠4=2(∠2+ ∠5),即 ∠AFD=2∠AMD,所以同理 ∠AME=45°,所以∠DME=45°+45°=90°,所以MD⊥ME.

圖4

方法4 構造圓

連接AM(如圖5),易證∠AMB= ∠ADB=90°,所以A、D、B、M四點同在以AB為直徑的⊙F上,所以∠1=∠2=45°,同理 ∠AME=45°,所以∠DME=45°+45° =90°,所以MD⊥ME.

圖5

3 解法總結

回顧這幾種證法中,中點發(fā)揮的作用各不相同,方法1走的是常規(guī)路線——倍長,得到一對全等的對頂三角形,M這個中點被轉化為兩條相等的線段加以運用.方法2中關注到點M處的特殊角——直角,進而構造出正方形,問題得到解決.M這個中點被轉化為等腰三角形底邊上的中線,三線合一加以運用.方法2還關注到前面的結論②,聯系垂直平分線上點的判定,把題目作為一個有機的整體加以運用,有可取之處.方法3,則是把中點M轉化為直角三角形斜邊上的中線加以運用,從直角三角形中轉化出等腰三角形,并運用外角的性質計算出45°,比較簡潔.而方法4可以認為是方法3的升級,通過構造圓把中點M、中點F都運用得很恰當,是最簡潔的做法.當然,受到教材體系的限制,方法4要到初三才方便學生接受.

借用這樣一個例子,可以看出,對于中點常見的用法有如下幾種:1.用來獲得相等線段以證明三角形全等;2.在特殊三角形——等腰三角形或者直角三角形中構造中線,以使用三線合一或斜邊中線;3.找出圓心和半徑,構造圓.當然,一個問題中同時出現多個中點時,還可以試試構造三角形的中位線來解題.這些常見的用法,可以在解題時打開思路,應該鼓勵學生進行有效的積累和反思.