內(nèi)涵邏輯作為語義可計算的一種方案
——內(nèi)涵算子和外延算子

趙　靚,鄒崇理

( 1.天津財經(jīng)大學(xué) 管理可計算建模協(xié)同中心, 天津　300222； 2.中國社會科學(xué)院 哲學(xué)所, 北京　100732)

一、引言：自然語言作為內(nèi)涵語言對算法的挑戰(zhàn)

人工智能的概念在計算機(jī)問世之初就有，然而直到21世紀(jì)初圖像處理器GPU用作深度學(xué)習(xí)算法運(yùn)行時，人工智能才迎來了爆炸性的發(fā)展。計算機(jī)硬件的性能在過去的20年按照摩爾定律指數(shù)增長。現(xiàn)在的個人筆記本電腦都可以流暢地運(yùn)行一些常見的人工智能算法。同時，互聯(lián)網(wǎng)永久存儲了無盡的可以被公開利用的寶貴信息，任何運(yùn)行人工智能算法的機(jī)器都可以使用這些信息。有了高效率的計算機(jī)硬件和無盡的信息資源，人工智能的繁榮并不是偶然的現(xiàn)象。

人工智能看上去好像是可以解決任何問題的萬能鑰匙，尤其是在語音識別、面部識別和手寫識別這些模式識別工作上，人工智能已經(jīng)趕超人類。最強(qiáng)大的人工智能在棋牌游戲方面甚至已經(jīng)超過了人類最優(yōu)秀的大師級別選手。但是，最好的人工智能仍然無法恰當(dāng)?shù)乩斫馊祟愓Z言。人類語言很可能是人類保持智能優(yōu)越感的最后一道防線。講外語看上去好像沒有成為象棋大師那么難，而講母語更是簡單，人生下來自然就會，所以人類的語言也叫“自然語言”。一個9歲的孩子就可以津津有味地閱讀神話傳說，而最好的人工智能卻無法勝任閱讀一個簡單的睡前故事。利于統(tǒng)計學(xué)方法實(shí)現(xiàn)的自然語言處理算法在一定程度上取得了成功，但是由于自然語言本身是內(nèi)涵語境的語言而不是單純的外延語境的語言，所以單純的統(tǒng)計方法還不能有效地對自然語言進(jìn)行解釋。

數(shù)學(xué)是典型的外延語言。5×3=3×5表示等式兩邊相等，之所以相等正是因?yàn)?5×3和 3×5都指代了同一個數(shù)15。然而，假設(shè)一個5歲的男孩有5袋蘋果，每袋裝有3個蘋果，也就是說這個男孩總共有15個蘋果。這個男孩也許不會數(shù)數(shù)，但是這些蘋果還是這些蘋果，也就說5×3=5×3?，F(xiàn)在有可以裝下5個蘋果的大袋子，問題是這些蘋果換成大袋子裝的話需要幾個。這個男孩可能會很驚訝，3個大袋正好就夠了。也就是說5×3=3×5給男孩提供了更多的信息。但是5×3=3×5和原來的5×3=5×3從外延上講，是沒有區(qū)別的，都是說15=15，那么新的信息從何而來呢？實(shí)際上， 5×3=3×5和5×3=5×3雖然外延指代一樣，但是內(nèi)涵表述卻很不相同，新的信息來自于內(nèi)涵，而不是外延。除非，人工智能算法能夠考慮并正確處理內(nèi)涵的運(yùn)算規(guī)則，否則人工智能在面對自然語言的時候永遠(yuǎn)都是“人工智障”。

認(rèn)知過程中會產(chǎn)生大量的內(nèi)涵語境，而知識論就是研究知識獲得的理論，也叫認(rèn)知理論。認(rèn)知邏輯就是研究認(rèn)知的邏輯，但是內(nèi)涵邏輯并不是始于認(rèn)知邏輯，而是發(fā)軔于模態(tài)邏輯。而克里普克語義學(xué)在內(nèi)涵邏輯中仍然是最重要的語義模型。

把內(nèi)涵和外延看作施加在語言表達(dá)式上的兩個一元算子∧和∨，從而形成新的表達(dá)式∧α和∨α。這個巧妙的想法主要?dú)w功于Montague的工作[1]。而后Morrill對這兩個算子進(jìn)行了優(yōu)化[2]。本文對這兩個算子做了進(jìn)一步改造，使得內(nèi)涵邏輯更符合邏輯學(xué)構(gòu)建形式系統(tǒng)的傳統(tǒng)習(xí)慣，而且更加清晰和簡潔。本文對表達(dá)式$∧∨α=α的解釋不是恒成立這個問題也給出了一個反證。除此以外，本文還給出了一個自然語言的實(shí)例直觀地說明∧∨α=α并不恒成立的原因。

二、IL的語法

內(nèi)涵邏輯(Intensional Logic有時縮寫為IL)是帶常量的λ-演算。與一般的邏輯演算不同的是內(nèi)涵邏輯IL的語意部分并不獨(dú)立于演算的形式系統(tǒng)，而是形式系統(tǒng)的一部分。事實(shí)上，所有內(nèi)涵邏輯的合適公式都有指定的語意解釋，不需要也不能再給出指定語意解釋以外的新的語意解釋。本文中的內(nèi)涵邏輯系統(tǒng)IL是帶有模態(tài)算子和時態(tài)算子的系統(tǒng)。表達(dá)式α的“內(nèi)涵”記為∧α=α，而α的解釋在可能世界和可能時間的意義下獲得“內(nèi)涵”。

傳統(tǒng)的內(nèi)涵邏輯并不把類型看作表達(dá)式的一部分，而是先給出類型的遞歸定義，然后說每個“表達(dá)式都有一個確定的類型”。這樣做的實(shí)際結(jié)果就是，所有的內(nèi)涵邏輯中的表達(dá)式僅僅是“對應(yīng)”一個確定的類型，這個對應(yīng)的類型往往還不明確標(biāo)注出來，容易發(fā)生誤解。本文的做法是直接把類型作為表達(dá)式的一部分，傳統(tǒng)的“省略”類型的寫法僅僅是在類型無關(guān)緊要或已經(jīng)明確類型的情況下的一種“縮寫”。兩種構(gòu)造內(nèi)涵邏輯合適表達(dá)式的方法本質(zhì)上是一樣的，只不過下面提出的方法把類型融入到表達(dá)式的一部分變得更加直接。

定義1IL的詞匯表

(1) 無限可數(shù)集VAR=v1,v2,v3,v4,…

(2) 非空集CON

(3)e,t,s

(4)﹁ , ∨

(5) ?

(6) (, 〈, |, ), 〉

(7)λx, 對任意x∈VAR

要注意的是“λx”作為整體才是詞匯表IL中的一個符號?！唉藊”中的x并不是全體變量符號集合中的一個變量符號。事實(shí)上，如果使用“λx”而不是“λx”，那么就可以避免這種歧義，但是本文仍然沿用傳統(tǒng)的記法。非空集合CON是所有常量符號的集合。因?yàn)橛袑?shí)無窮多的“可能時間”存在，所以當(dāng)系統(tǒng)引入可能世界和可能時間的時候，常量符號集合CON必須也相應(yīng)地是一個實(shí)無窮多的不可數(shù)集合。

定義2IL表達(dá)式的類型部分

用TP表示所有類型部分的集合，那么TP就可以歸納定義出來：

(1)e∈TP, 并且t∈TP

(2) 如果τ1∈TP,并且τ2∈TP, 那么〈τ1,τ2〉∈TP

(3) 如果τ∈TP, 那么 〈s,τ〉∈TP

定義3IL的合適表達(dá)式

用WE表示所有的IL的合適表達(dá)式. 那么WE就可以歸納定義:

(1) 如果α∈TP，那么v|α和c|α都是合適表達(dá)式, 其中v∈V并且c∈C。

(2) 如果α∈〈τ1,τ2〉，并且β|τ1是合適表達(dá)式, 那么(αβ)|τ2是合適表達(dá)式。

(3) 如果α|τ1是合適表達(dá)式，并且x|τ2是一個變量, 那么λxα|〈τ1,τ2〉是合適表達(dá)式。

(4) 如果φ|t，并且ψ|t是合適表達(dá)式, 那么(﹁φ)|t和 (φ∨ψ)|t都是合適表達(dá)式。

(5) 如果φ|t， 并且x|τ是合適表達(dá)式, 其中x是一個變量, 那么?xφ|t是合適表達(dá)式。

(6) 如果α|τ1，并且β|τ2是合適表達(dá)式, 那么α=β|t是合適表達(dá)式。

(7) 如果φ|t是合適表達(dá)式，那么□φ|t是合適表達(dá)式。

(8) 如果φ|t是合適表達(dá)式，那么Fφ|t是合適表達(dá)式。

(9) 如果φ|t$是合適表達(dá)式，那么Pφ|t是合適表達(dá)式。

(10) 如果α|t是合適表達(dá)式，那么∧α|〈s,t〉是合適表達(dá)式。

(11) 如果α|〈s,t〉是合適表達(dá)式, 那么∨α|，τ是合適表達(dá)式。

現(xiàn)在歸納定義了內(nèi)涵邏輯IL的合適表達(dá)式，可以把IL的所有合適表達(dá)式記作WE，那么“α|τ∈WE”的意思就是“α|τ”是IL的合適表達(dá)式，其中“τ”是這個合適表達(dá)式的“類型部分”，“α”是這個合適表達(dá)式的“表達(dá)式部分”。當(dāng)IL的表達(dá)式“α|τ” 中的類型“τ”在上下文中已經(jīng)明確或者無關(guān)緊要的時候可以省略，禁用表達(dá)式部分“α”來表示整個合適表達(dá)式。所有類型為$ au$的合適表達(dá)式構(gòu)成的集合記作WEτ。所有類型為τ的變量構(gòu)成的集合記作VARτ。所有類型為τ的常量構(gòu)成的集合記作CONτ。

三、IL的語義

(一)類型的域

類型為τ的域Dτ也是并行與類型的定義來遞歸定義的。只需要給出下面4個集合就可以定義任意類型為τ的域Dτ。

個體集A真值集{0,1}可能世界集W可能時間集T

其中，個體集A和真值集{0,1}實(shí)際上分別是類型為e和類型為t的兩個域，這是初始的兩個域。而可能世界集W和可能時間集T是為了設(shè)計內(nèi)涵類型〈s,t〉的域的定義而給出的兩個集合。實(shí)際上，也可以不考慮時間只給出可能世界集W，但是如果沒有可能世界和可能時間的話，所有的事情都發(fā)生在一個“時空”內(nèi)，這時候就退化成了“外延邏輯”。一個事件就可以認(rèn)為是“此時此地”所有進(jìn)行這個事件的個體構(gòu)成，這是外延的定義方式。而“此時此地”進(jìn)行該事件的個體可能“某時某地”沒有進(jìn)行這個事件，從這個角度看這個事件才有了所謂“內(nèi)涵”的定義。

根據(jù)上面給出的4個集合下面就可以遞歸定義任意類型為τ的域Dτ：

類型域tDτ={0,1}eDe=A<τ1,τ2>D<τ1,τ2>=DDτ1τ2DW×Tτ

(二)常量指派和變量賦值

如果給定A, {0,1}，W和T這4個集合，那么任意類型的域也就確定了。但是僅僅有了域，這個模型仍然是不完整的。到底形式語義中的每個合適表達(dá)式對應(yīng)域里面的哪個元素仍然是不清楚的。域中的元素必須是有關(guān)系的元素才能模擬形式語義中合適表達(dá)式之間的關(guān)系。這里實(shí)際上只需要引入一個“普遍常量指派函數(shù)f”就可以搭建完成整個模型，這個函數(shù)的定義后面給出。也就是說，A, {0,1}，W和T這4個集合構(gòu)建模型的域，而普遍常量指派函數(shù)f把每個類型常量映射到域中的某個個體。換言之，內(nèi)涵邏輯IL的模型實(shí)際上是由一個“五元組”確定的，這個五元組就是〈A,{0,1},W,T,f〉， 其中普遍常量指派函數(shù)f把每一個常量都關(guān)聯(lián)到域中的唯一一個元素上。而“普遍賦值函數(shù)g”并不是模型的決定要素，相反普遍賦值函數(shù)g是由模型所決定的。普遍賦值函數(shù)g對形式語義中每一個變量給一個域中相應(yīng)的賦值，同一個模型可以有很多不同的普遍賦值函數(shù)g，相應(yīng)地給同一個變量賦不同的值。而一個模型只有唯一一個“普遍常量指派函數(shù)f”，如果這個模型中A, {0,1}，W和T所決定的域沒有變化，而采用了一個不同的“普遍常量指派函數(shù)f′，那么實(shí)際上就變成了另外一個新的模型，也即，〈A,{0,1},W,T,f〉和〈A,{0,1},W,T,f′ 〉是兩個完全不同的模型。

能源供需缺口進(jìn)一步增大，2020年、2025年、2030年廣東省能源需求缺口分別為4 225萬tce、6 615萬tce、10 215萬tce。

指派函數(shù)fτc|τ∈CONτfτ(c)∈DW×Tτ賦值函數(shù)gτv|τ∈VARτgτ(v)∈Dτ

如果模型〈A,{0,1},W,T,f〉中只有一個時空w×t，也就是說W中只有一個世界w，而T中只有一個時刻t，因?yàn)楝F(xiàn)在的模型中沒有第二個時空w′×t′了，所以就不可能給一個常量在不同的時空指派不同的值。這樣一來，指派函數(shù)就可以給一個類型為τ的常量c|τ簡單地指派一個域Dτ中的值就夠了。換言之，對于只有一個時空w×t的模型而言，指派函數(shù)可以不必考慮時空的不同而直接指派，此時的模型實(shí)際上已經(jīng)簡化成〈A,{0,1},W,T,f〉。此時的模型已經(jīng)失去表達(dá)“內(nèi)涵”的工具——可能世界和可能時間，實(shí)際上已經(jīng)退化成了“外延邏輯”。從這個角度看，內(nèi)涵邏輯模型是外延邏輯模型的推廣，而外延邏輯模型是內(nèi)涵邏輯模型只有一個時空情況下的特例：

指派函數(shù)fτc|τ∈CONτfτ(v)∈Dτ賦值函數(shù)gτv|τ∈VARτgτ(v)∈Dτ

而此時僅從形式上看，指派函數(shù)f和賦值函數(shù)g的結(jié)構(gòu)完全一樣，唯一不同的是指派函數(shù)的輸入必須是常量c，而賦值函數(shù)g的輸入必須是變量v。但是，賦值函數(shù)f仍然是模型的一部分，它是模型的決定因素，而賦值函數(shù)g不是模型的決定因素。指派函數(shù)f和賦值函數(shù)g仍然是完全不同的兩個概念。下面通過一個簡化的模型實(shí)例來說明指派函數(shù)f和賦值函數(shù)g的根本區(qū)別。例如，設(shè)定De=A={m,j}，而WALK，TALK和COOK是模型〈A,{0,1},W,T,f〉中的三個類型〈e,t〉的常量，而X是類型為〈e,t〉的變量。此時有：

指派函數(shù) f常量c|∈CONf(v)∈D賦值函數(shù) g變量v|∈VARg(v)∈D

此時的簡化模型實(shí)際上是〈{m,j},{0,1},f〉,而此時D〈e,t〉可以列寫出來：

D〈e,t〉={0,1}{m,j}=

{{〈m,0〉,〈j,0〉},{〈m,0〉,〈j,1〉},{〈m,1〉,〈j,0〉},{〈m,1〉,〈j,1〉}}

指派函數(shù)f〈e,t〉(v)∈D〈e,t〉對于每一個類型為〈e,t〉的常量，比如說WALK和TALK，現(xiàn)在都有4種不同的指派函數(shù){h1,h2,h3,h4}可以設(shè)定不同的模型，因?yàn)镈〈e,t〉={h1,h2,h3,h4}，其中：

h1={m,0},{j,0}

h2={m,0},{j,1}

h3={m,1},{j,0}

h4={m,1},{j,1}

比如說，我們可以設(shè)定這個模型中分別觀察“Marry”和“John”，那么“Marry talks but does not walk”，同時“John walks but does not talk”。 如果從另一個角度分別觀察“talk”和“walk”，那么“Marry talks but John does not talk”，同時“John walks but Marry does not walk”。這兩個觀察視角都包含了完全一樣的信息，這個信息就是通過模型中指派函數(shù)來表達(dá)的，實(shí)際上指派函數(shù)采用的是第二種觀察視角：

Marry talks but John does not talkf(TALK)= h3 ={m,1},{j,0}John walks but Marry does not walkf(WALK)= h2 ={m,0},{j,1}

由于X是一個類型為〈e,t〉的變量，所以不同的賦值函數(shù)g〈e,t〉可以對X賦予4個不同值。也就是說總能給出一個賦值g〈e,t〉，使得g〈e,t〉(X)等于h1,h2,h3,或h4中的任意一個值。比如：

g〈e,t〉(X)=h3={m,1},{j,0}

那么在這種模型中變量X的“取值”就可能是常量TALK，因?yàn)閒〈e,t〉(TALK)=h3。但是變量X也可以取別的值，仍然滿足g〈e,t〉(X)=h3。假若在這個模型中“Marry cooks but John does not cook”，也就是說f〈e,t〉(COOK)=h3，此時變量X也可以“取值”COOK。實(shí)際上g〈e,t〉(X)=h3，只能說明變量X可以取值模型中任何事情，只要這個事情滿足“Marry does but John does not”就可以，也即滿足h3={m,1},{j,0}就可以。從這個角度講，常量只是變量的一個可能“取值”。而如果g〈e,t〉(X)=f(TALK)為真，未必有X=TALK為真，因?yàn)樽兞縓的取值不一定是TALK，在這個模型中還可以是COOK或其他可能的取值。

事實(shí)上，在這個簡化的實(shí)例模型中對于類型為〈e,t〉的變量X可以有可數(shù)無窮多個不同的賦值函數(shù)：

f〈e,t〉={〈TALK,h2〉,〈WALK,h3〉,〈COOK,h3〉,…}

F=∪{fτ|τ∈TP}

其中

F∈DCON

Gτ=VARτ×Dτ

此時，對于我們給出的這個實(shí)例模型而言，

G〈e,t〉=VAR〈e,t〉×D〈e,t〉=

{〈X,h1〉,〈X,h2〉,〈X,h3〉,〈X,h4〉,〈Y,h1〉,〈Y,h2〉,〈Y,h3〉,〈Y,h4〉,〈Z,h1〉,〈Z,h2〉,〈Z,h3〉,〈Z,h4〉,…}

我們可以把這個函數(shù)集合Gτ稱為“類型τ的賦值函數(shù)空間”，因?yàn)镚τ本身并不是一個函數(shù)。而一個模型中所有類型的賦值函數(shù)空間可以合并成為一個更大的“普遍賦值函數(shù)空間SG”：

SG=∪{Gτ|τ∈TP}

此時顯然有：

SG?VAR×D

其中，SG當(dāng)然更不可能是一個函數(shù)，但是從普遍賦值函數(shù)空間SG中可以“提取”出來很多不同的“普遍賦值函數(shù)”，這個普遍賦值函數(shù)就是一個定義域在所有變量構(gòu)成的可數(shù)無窮集合VAR上，值域是全域D的賦值函數(shù)。這個普遍賦值函數(shù)的存在性是選擇公理*“選擇公理”對于任一關(guān)系R，存在函數(shù)F?R滿足dom F=dom R.參見文獻(xiàn)[3]。保證的，盡管選擇公理并沒有給出具體“提取”的有限過程，但是我們可以抽象地認(rèn)為這樣的普遍賦值函數(shù)是存在的。

通過以上對內(nèi)涵邏輯IL的模型的分析可以看出，IL的模型一方面由A, {0,1}，W和T這4個集合確定全域D，另一方面由普遍指派函數(shù)F=∪{fτ|τ∈TP}給ILZ的所有常量指派一個確定的值。確定了“全域”和“常量指派”這兩個部分，那么IL的具體模型也就確定了，在這個意義上講IL的模型就是一個五元組〈A,{0,1},W,T,f〉，其中f就是普遍指派函數(shù)F，只不過習(xí)慣上仍然使用小寫函數(shù)符號而已。然而IL模型給定后普遍賦值函數(shù)g實(shí)際上僅由A, {0,1}，W和T所決定的全域D來確定，變量的賦值和普遍指派函數(shù)f無關(guān)。

由此可以看出，內(nèi)涵邏輯模型中的常量由于指派函數(shù)本身就考慮了每個可能世界和每個可能時間的情況，在這個意義上講常量本身的解釋就是內(nèi)涵解釋，而變量之所以是變量就是因?yàn)樽兞靠梢匀≈挡煌某Ａ浚瑥亩鴥?nèi)涵邏輯的表達(dá)式在模型中的解釋也都是內(nèi)涵算子下的解釋。當(dāng)一個模型〈A,{0,1},W,T,f〉被給定以后，對于這個模型中每一個普遍賦值函數(shù)g，IL中的每一個表達(dá)式都對應(yīng)“賦值g下的解釋”。

(三)賦值g下的解釋

可以看出這條定義中常量的解釋就是常量的指派，模型確定后指派就已經(jīng)確定，所以常量的解釋只和時空〈w,t〉有關(guān)，而和前提設(shè)定的普遍賦值函數(shù)g無關(guān)。

可以看出變量的解釋就是變量的賦值，普遍賦值函數(shù)$g$設(shè)定以后變量的解釋和當(dāng)前的時空〈w,t〉無關(guān)。

以上兩條是歸納定義的起始基點(diǎn)，下面是平行于內(nèi)涵邏輯IL形式表達(dá)式的歸納定義：

滿足：

其中：

(5) 如果φ|t，那么

(6) 如果φ|t，ψ|t，那么

(7) 如果α|τ，并且β|τ，那么(α=β)|t，滿足：

(8) 如果φ|t，并且x|t，其中x是一個變量，那么

(9) 如果φ|t，那么

(10) 如果φ|t，那么

(11) 如果φ|t，那么

最后兩條定義分別定義了經(jīng)過內(nèi)涵算子和外延算子運(yùn)算后的表達(dá)式∧α和∨α的解釋。由定義可以看出∧α的解釋和當(dāng)前的時空〈w,t〉無關(guān)，或者說在給定的模型中∧α無論在哪個時空中的解釋都是一樣的，而且∧α在任何一個時空中的解釋都是一個定義在可能時空集W×T上的函數(shù)，這實(shí)際上相當(dāng)于把α的解釋完整復(fù)制到模型中的所有時空中，如果原來有整數(shù)n個時空，那么現(xiàn)在有n2個時空，造成時空無損膨脹。而外延算子運(yùn)算后的表達(dá)式∨α的解釋實(shí)際上相當(dāng)于提取〈w,t〉時空中的〈w,t〉時空，造成時空有損壓縮。

下面使用一種簡化模式來說明內(nèi)涵算子和外延算子對時空W×T造成的影響。設(shè)簡化模型中w={w1,w2}，T={t1,t2}，此時的模型中只有4個時空，可以用4個象限表示：

(w1,t2)(w1,t1)(w2,t1)(w2,t2)

實(shí)際上，我們可以進(jìn)一步簡化模型，假設(shè)不考慮可能時間，只考慮可能世界，假設(shè)現(xiàn)在的模型是一個四元組〈A,{0,1},W,T,f〉，其中W={w1,w2,w3,w4}，仍然用4個象限表示：

w2w1w324

x2x1x3x4

此時∧α的解釋就可以表示為：

而進(jìn)一步外延算子運(yùn)算得到∧∨α的解釋過程可以表示為：

四、∨∧α以及∧∨α

定義4IL中的公式相等

如果α和β是IL中的公式，IL的模型也給定，那么

定理1〈A,{0,1},W,T,f〉是IL的一個給定的模型，那么對于這個模型中的任意時空〈w,t〉和這種模型中的任意賦值函數(shù)g，∧∨α=α總成立。

證明對任意時空〈w,t〉和任意賦值函數(shù)g都有：

定理2存在一個IL的模型〈A,{0,1},W,T,f〉，在這個模型中存在一個時空〈w,t〉，可以找到一個賦值g，對于IL的某個合適表達(dá)式α使得∧∨α≠α成立。

證明令W={w1,w2}，T={t1,t2}。此時的模型總共有4個時空：

W×T={〈w1,t1〉,〈w1,t2〉,〈w2,t1〉,〈w2,t2〉}

={{〈〈w1,t1〉,0〉, 〈〈w1,t2〉,0〉,〈〈w2,t1〉,0〉,〈〈w2,t2〉,0〉},

{〈〈w1,t1〉,0〉, 〈〈w1,t2〉,0〉,〈〈w2,t1〉,1〉,〈〈w2,t2〉,1〉},

{〈〈w1,t1〉,0〉, 〈〈w1,t2〉,1〉,〈〈w2,t1〉,0〉,〈〈w2,t2〉,0〉},

{〈〈w1,t1〉,0〉, 〈〈w1,t2〉,1〉,〈〈w2,t1〉,1〉,〈〈w2,t2〉,0〉},

{〈〈w1,t1〉,0〉, 〈〈w1,t2〉,1〉,〈〈w2,t1〉,1〉,〈〈w2,t2〉,1〉},

{〈〈w1,t1〉,1〉, 〈〈w1,t2〉,0〉,〈〈w2,t1〉,0〉,〈〈w2,t2〉,1〉},

{〈〈w1,t1〉,1〉, 〈〈w1,t2〉,0〉,〈〈w2,t1〉,1〉,〈〈w2,t2〉,0〉},

{〈〈w1,t1〉,1〉, 〈〈w1,t2〉,0〉,〈〈w2,t1〉,1〉,〈〈w2,t2〉,1〉},

{〈〈w1,t1〉,1〉, 〈〈w1,t2〉,1〉,〈〈w2,t1〉,0〉,〈〈w2,t2〉,0〉},

{〈〈w1,t1〉,1〉, 〈〈w1,t2〉,1〉,〈〈w2,t1〉,0〉,〈〈w2,t2〉,1〉},

{〈〈w1,t1〉,1〉, 〈〈w1,t2〉,1〉,〈〈w2,t1〉,1〉,〈〈w2,t2〉,0〉},

{〈〈w1,t1〉,1〉, 〈〈w1,t2〉,1〉,〈〈w2,t1〉,1〉,〈〈w2,t2〉,1〉}}

此時可以得到∨α的解釋：

因?yàn)椤摹纽潦恰纽两?jīng)過內(nèi)涵算子運(yùn)算后得到的，所以∧∨α在當(dāng)前模型的4個時空的每個時空中的解釋都是一樣的，也即：

也即：

對比可以看出∧∨α和α在每個時空中的解釋都不相同。

實(shí)際上，這個抽象的證明可以用上一節(jié)提到的空間膨脹和壓縮的示意圖表示出來。這里給出一個自然語言的實(shí)例。證明中給出的模型總共只有4個時空，這里可以用A,B,C,D來分別表示：

A=〈w1,t1〉,B=〈w1,t2〉,C=〈w2,t1〉,D=〈w2,t2〉

只有4個時空分別對應(yīng)4個象限：

BACD

現(xiàn)在我們可以把這4個象限想象成A,B,C,D四個國家。對應(yīng)于證明給出的類型為〈s,t〉的常量α，這里給出一個漢語自然語句：

貨幣具有購買力

此時，“貨幣”在4個國家中分別有不同的含義。比如，在A國家“貨幣”解釋為“貨幣A”。此時“貨幣A具有購買力”仍然是一個內(nèi)涵語句。比如說，在A國“貨幣A具有購買力”的解釋為真，而在B國、C國和D國“貨幣A具有購買力”的解釋為假。這里僅僅是考慮“貨幣”在A國解釋為“貨幣A”的情況：

0100

如果也同時考慮“貨幣”在B國、C國和D國的解釋，那么這時候我們就考慮了“貨幣具有購買力”整句話的內(nèi)涵：

如果把“貨幣A具有購買力”整句話看做α，那么∧∨α的解釋過程可以表示為：

五、結(jié)語

通過上面的實(shí)例可以看出，即使“貨幣”這樣一個普通的名詞在語義理解上對智能算法也提出了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。而僅僅通過挖掘詞語之間的統(tǒng)計依賴關(guān)系永遠(yuǎn)觸碰不到語義解釋的部分。而建立在類型論基礎(chǔ)上的內(nèi)涵邏輯，以及組合范疇語法則給語義的計算提供了一種可能的解決方案。實(shí)際上，范疇語法使用類型論給自然語言提供了一種形式化語義的方案，給每句話中每個詞賦予類型或范疇的過程就是語義解釋的過程。每一個句子的每一個解釋都對應(yīng)唯一的一個二叉樹分解。這個分解本身就是對自然語言語義的理解。如果機(jī)器能夠成功地按照范疇語法分解語句，那么在某種程度上就實(shí)現(xiàn)了機(jī)器對自然語言的語義理解。單個詞匯“貨幣”不僅僅和其他詞匯，比如“中國”“美國”“購買力”有統(tǒng)計依賴關(guān)系，還有可能世界所設(shè)定的函數(shù)關(guān)系。這主要?dú)w功于Montage提出的內(nèi)涵算子和外延算子。如果漢語CCG庫有足夠多人工復(fù)檢的漢語語句的二叉樹分解，那么就有可能通過人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。

內(nèi)涵邏輯在語義解釋上是比外延邏輯更精細(xì)的邏輯系統(tǒng)。事實(shí)上，內(nèi)涵邏輯是外延邏輯的推廣，而外延邏輯是內(nèi)涵邏輯的特例。本文沿用傳統(tǒng)的習(xí)慣先給出了內(nèi)涵邏輯IL的形式系統(tǒng)，然后給出其語義解釋。在形式系統(tǒng)部分進(jìn)行了一些調(diào)整，詞匯表上添加基本類型符號e，t以及構(gòu)造內(nèi)涵類型的符號s，同時內(nèi)涵邏輯合適表達(dá)式的形式相應(yīng)地變?yōu)椤氨磉_(dá)式部分|類型部分”，這樣做的好處是定義上嚴(yán)格符合形式系統(tǒng)的定義規(guī)則，否則形式系統(tǒng)中不得不出現(xiàn)不在詞匯表中的符號，而且α|τ這種表達(dá)式形式比“類型為τ的表達(dá)式α”更加精準(zhǔn)和簡潔。另外，在語義解釋部分提出了“普遍指派函數(shù)”和“普遍賦值函數(shù)”兩個概念，同時給出了普遍指派函數(shù)f的構(gòu)造表達(dá)式∪{fτ|τ∈TP}，并指出了雖然普遍賦值函數(shù)g不一定可以構(gòu)造出來，但是它的存在性是選擇公理保證的。實(shí)際上“普遍指派函數(shù)”和“普遍賦值函數(shù)”這兩個概念雖然沒有正式提出來，也沒有證明存在性，但是這兩個概念實(shí)際上一直被默認(rèn)存在并使用，例如Morrill，本文實(shí)際上補(bǔ)充了存在性證明。最后，說明了∧∨α和α與在模型解釋上的關(guān)系，在這個過程中分析了內(nèi)涵算子和外延算子在語義解釋上保持語義信息的能力，發(fā)現(xiàn)外延算子在語義解釋上是一個會造成語義信息丟失的算子，而內(nèi)涵邏輯是可以保持這些語義信息的，所以內(nèi)涵邏輯相比外延邏輯而言能夠?qū)φZ義進(jìn)行更細(xì)致的分析。在這個過程中給出的有限個空間的模型下的矩陣表示語義解釋的方法可以直觀地觀察到內(nèi)涵算子和外延算子在構(gòu)造∨∧α和∧∨α過程中的差異。