反演變換的概念及其幾個(gè)性質(zhì)

羅文科

反演變換是幾何變換的一種，在幾何變換中具有一定的地位。了解反演變換的知識(shí)也是學(xué)習(xí)幾何知識(shí)時(shí)所應(yīng)該做的。作為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生應(yīng)該多了解數(shù)學(xué)的知識(shí)，特別是數(shù)學(xué)的一些基礎(chǔ)知識(shí)。再則可多了解一種方法，這樣更有利于擴(kuò)大解題思路，找到更多的解題方法。

一、 反演變換的概念

（一）反演變換的概念

平面上，設(shè)已知一個(gè)以O(shè)點(diǎn)為圓心，R為半徑的圓O。平面上任一異于點(diǎn)O的點(diǎn)A，在OA或OA的延長線上取一點(diǎn)A1（如圖1 ），使得

OA·OA1=R2 ① 或OA1=R2/OA ②

我們稱點(diǎn)A1是點(diǎn)A關(guān)于圓O的反演點(diǎn)，圓O稱為反演圓或基圓，點(diǎn)O 稱為反演中心或反演極，R稱為反演半徑或反演冪。

由②式可見，如果點(diǎn)A在反演圓O內(nèi)，即OAR。所以反演點(diǎn)A1位于圓O外。

反之若點(diǎn)A位于圓O外，則點(diǎn)A1位于圓O內(nèi)。而當(dāng)點(diǎn)A位于圓O上時(shí)，因?yàn)镺A=R，所以O(shè)A1=R，即點(diǎn)A1也在圓O上且與點(diǎn)A重合，是反演的二重點(diǎn)，也叫不變點(diǎn)。

顯然，如果點(diǎn)A1是點(diǎn)A關(guān)于圓O的反演點(diǎn)，則點(diǎn)A也是點(diǎn)A1關(guān)于圓O的反演點(diǎn)。也就是，A、A1關(guān)于圓O互為反演點(diǎn)，有時(shí)也簡(jiǎn)稱為互逆點(diǎn)。

在反演變換下，如果圖形F變?yōu)閳D形F1，則F1稱為圖形F關(guān)于圓O的反形。而由上面可知F也是F1關(guān)于圓O的反形。

這說明，反演變換具有互逆性。

（二）無窮遠(yuǎn)點(diǎn)

由反演變換的定義，我們可以看到反演中心O沒有反演對(duì)應(yīng)點(diǎn)，即沒有反演點(diǎn)，因此反演變換不是一一變換，為了后面反演變換性質(zhì)的講述和作圖中的討論，我們?cè)谙旅嬉搿盁o窮遠(yuǎn)點(diǎn)”。

首先考慮兩條直線，一條固定，另一條繞它的一個(gè)點(diǎn)（不是兩條直線的交點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)，當(dāng)它們趨近平行線的位置時(shí)，交點(diǎn)越移越遠(yuǎn)，當(dāng)兩直線成為真正平行時(shí)，交點(diǎn)消失。因此產(chǎn)生了熟悉的說法“平行線相交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)”。

為了更一般的說明我們進(jìn)行如下定義：

兩條或更多條直線相交于一點(diǎn)或共點(diǎn)，意思是以下兩種情況的任一種：或者有一個(gè)交點(diǎn)，所有直線都通過它；或者這些直線都平行。兩條或多條平行直線可以說成有一公共的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，或者說在無窮遠(yuǎn)處相交。

上述定義中兩條或多條直線有一個(gè)公共的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)就是這些直線平行的另一種說法。

二、反演變換的有關(guān)性質(zhì)

為了統(tǒng)一圓和直線，把直線看作半徑為無窮大，圓心在它的垂線上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的圓。這樣直線和圓統(tǒng)稱為廣義圓。

（一）直線和圓的反形

（1）反演變換，把通過反演中心O的任何一條直線變成自己。即通過反演中心的任何直線都是該反演變換的不變圖形。

這是顯然的，設(shè)直線a與圓交于點(diǎn)M、N，對(duì)于射線OM來說，OM上的點(diǎn)A變成射線MA1上的點(diǎn)A1，即MO變成射線MA1。同理，對(duì)于射線ON也一樣。O點(diǎn)就對(duì)應(yīng)于無窮運(yùn)點(diǎn)。

（2）反演變換，把不通過反演中心O的任何一條直線變成一個(gè)通過反演中心的圓，而且這個(gè)圓在點(diǎn)O處的切線平行于該直線。

（3）反演變換，把通過反演中心O的任何一個(gè)圓變成一條不通過反演中心的直線而且該圓在點(diǎn)O處的切線平行于這條直線。

（4） 反演變換，把不通過反演中心O的任何一個(gè)圓變成一個(gè)圓。

（二）反演變換的保角性

為了介紹反演變換的保角性，我們先來了解一下有關(guān)角的概念。

設(shè)一條直線和一條直線相交，約定較小的那個(gè)角為它們的夾角；設(shè)一直線和一個(gè)圓相交，規(guī)定它們的夾角是指這條直線和圓在交點(diǎn)處的切線的夾角（如圖7）；若兩個(gè)圓相交，規(guī)定他們的夾角是指在交點(diǎn)處的切線的夾角（如圖8）。兩直線平行時(shí)，或者一直線和一個(gè)圓相切時(shí)，或者兩圓相切時(shí)，它們的夾角為零。

如果一直線和一圓的夾角為直角，則稱直線和圓直交或正交，當(dāng)且僅當(dāng)直線通過一圓的圓心時(shí)，直線才和圓直交；如果兩圓的夾角為直角，則稱這兩個(gè)圓直交或正交；直線和直線垂直時(shí)也說這兩條直線直交或正交[1]。

（5） 任何兩條直線在他們的交點(diǎn)A處的夾角，等于他們的反形在相應(yīng)點(diǎn)A1處的夾角，但方向相反。

（6） 一條直線和一個(gè)圓在交點(diǎn)A的夾角，等于它們的反形在相應(yīng)點(diǎn)A1處的夾角，但方向相反。

（7） 相交兩個(gè)圓在交點(diǎn)A處的夾角，等于它們的反形在相應(yīng)點(diǎn)A1處的夾角，但方向相反。

由上面的性質(zhì)可以得出下面的兩個(gè)重要結(jié)論。

結(jié)論1：反演變換把兩個(gè)相切，但切點(diǎn)不是反演中心的（廣義）圓，變?yōu)閮上嗲械模◤V義）圓。

對(duì)于兩個(gè)相切于反演中心的（廣義）圓，它們的夾角為零，經(jīng)反演變換后，由（1）、（3）可知，它們都變成直線，又由保角性可知，這兩條直線的夾角為零，因而是兩條平行直線。

結(jié)論2：反演變換把兩直交的（廣義）圓變成直交的（廣義）圓。