對(duì)一道試題的探究

童官豐

摘 要 數(shù)學(xué)老師經(jīng)常會(huì)碰到很多優(yōu)秀的試題，有些試題看似簡(jiǎn)單易答，但都是精心設(shè)計(jì)過(guò)的，如果深入思考會(huì)發(fā)現(xiàn)內(nèi)涵豐富。如果我們能夠充分挖掘試題的價(jià)值，對(duì)提升我們的課堂效果，提升學(xué)生的思維是非常有幫助的。

關(guān)鍵詞 原題；多種解法；反思

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2018）01-0198-01

下面是筆者對(duì)一道優(yōu)秀試題的探究過(guò)程，寫(xiě)出來(lái)與同行分享。

原題呈現(xiàn)：

如圖（1），CD為⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為F，AE⊥BC，垂足為E。求∠C的大小。

分析：這是一道考查圓的基本性質(zhì)的基礎(chǔ)題，適合學(xué)習(xí)了圓的基本性質(zhì)后的階段性鞏固復(fù)習(xí)。經(jīng)過(guò)深入分析，筆者發(fā)現(xiàn)擁有多種解法。

解法一：利用三角形全等和垂徑定理求解。

如圖（1）易得△AOF≌△COE，所以AF=CE，由垂徑定理可知BC=AB=2BD，所以∠C=30°。

解法二：利用垂徑定理和圓周角定理求解。

如圖（1）由垂徑定理可知 ∠AOD=2∠C，

∠COE=2∠C，所以∠C=30°。

解法三：利用圓心角定理和方程思想求解。根據(jù)題意可以列出兩種不同的方程來(lái)解。

（?。┤鐖D（1）由圓心角定理可知∠AOC=2∠B，設(shè)∠C=x，∠B=90°-x，所以∠AOC=180°-2x，∠AOC=90°+x.所以180°-2x=90°+x，所以∠C=30°.

（ⅱ）如圖（1）由圓心角定理可知∠AOC=2∠B，設(shè)∠B=y，∠AOC=2y，所以∠EOF=2y，所以y+2y=180°，所以∠B=60°，

所以∠C=30°。

解法四：利用圓的軸對(duì)稱(chēng)性求解。

如圖（2）連接AC，由圓的軸對(duì)稱(chēng)可知AC=BC，AC=AB所以AC=AB=BC，所以△ABC是等邊三角形，所以∠B=60°，所以∠C=30°。

解法五：利用全等三角形和方程思想求解。

如圖（3）連接OB， 易得△AOF≌△COE，

設(shè)∠A=∠C=∠ABO=∠CBO=x，所以∠ABC=2x，

得到3x=90°，所以∠C=30°.

解法六：利用垂徑定理和直角三角形斜邊

上的中線性質(zhì)。

如圖（4）連接EF，由垂徑定理可知EF既是RT△ABE斜邊上的中線也是RT△CBF斜邊上的中線，所以EF=BF=BE，所以△BEF是等邊三角形，所以∠B=60°，所以∠C=30°。

解法七：利用垂徑定理和三角形重心性質(zhì)。

如圖（2）連接AC，由垂徑定理可知E，F(xiàn)分別為BC，AB中點(diǎn)，所以O(shè)為△ABC的重心。所以CO=AO=2OE，所以∠C=30°。

反思：

縱觀得到的這些解法，解法一、二、三、四幾乎涵蓋了圓的基本性質(zhì)這一章的所有內(nèi)容，用這一題就起到了全章復(fù)習(xí)的作用，效率倍增。解法六，七構(gòu)思巧妙，令人眼前一亮。通過(guò)對(duì)這個(gè)問(wèn)題的深入思考，筆者明顯感受到優(yōu)秀的試題本身就是一個(gè)寶藏，它蘊(yùn)含著諸多特點(diǎn)和性質(zhì)，作為老師要善于利用，充分挖掘題目的內(nèi)涵進(jìn)行分析和研究，在課堂上抽絲剝繭，一點(diǎn)點(diǎn)展示出題目的魅力，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生思維的火花，想出更加精彩的解法。