支持向量機與譜表示法模擬隨機場及在可靠度中的應用

楊慶年， 趙 駿， 張再偉

(南陽理工學院 土木工程學院， 河南 南陽 473004)

隨著社會經濟的發(fā)展和城市化進程的加快，已有基礎設施均超負荷運行，尤其是濱海沿江發(fā)達城市，規(guī)劃基礎設施建設最為密集。當高層建筑過于密集，城市地下空間便成了新的開發(fā)領域。以2015年人民網報導的上海、天津為例，十三五期間，地下空間將以每年300萬m2的速度增長，中心城區(qū)地下建筑占全部建筑總規(guī)模的15%。地下軌道交通作為主要的地下建筑，在經濟發(fā)達地區(qū)的客運交通中發(fā)揮著不可替代的作用，據住建部公布的數據，十三五期間擁有軌道交通的城市將達到50個，近6000 km，規(guī)模居世界第一。

地鐵工程是一個涉及大量參數的復雜地下隱蔽工程，由于其跨度長、埋深深、管徑大的特點，穿越的土層復雜多變，相比于結構工程設計的鋼筋、混凝土材料，巖土參數不確定性更大，即使是在同一土層也表現出非常大的空間變異性[1]。這種不確定性在傳統的計算中經常會被忽略，而采用均值代替。傳統的定量設計方法使用了確定性的方法，通過一定的途徑或經驗將這些設計條件、環(huán)境因素和材料參數均視為定值來計算各種失效模式，最后將不確定性因素歸一到一個值——安全系數上。這種所謂的容許應力設計法忽略了實際工程中諸多不確定性因素，這樣就造成了設計中經常出現工程師的估計和計算結果與實際相差甚遠的情況，而在實際工程中甚至會出現幾種建筑計算出安全系數一樣但安全程度確相差很大，更甚者會出現安全系數越大安全程度反而降低的情況。因此，片面的安全系數法并不能精確描述工程的安全性和穩(wěn)定性，更不能成為工程可靠性的唯一度量標準。在大多數情況下，這種處理方法并不準確甚至是錯誤的。因此，如何正確模擬土體參數的空間變異性是一個富有挑戰(zhàn)性的問題。隨機場理論為土體空間變異性的模擬提供了有效途徑。目前關于隨機場模擬分析方面的文獻較多。Griffiths等[2～4]將蒙特卡羅法用于隨機場分析中，對比了考慮空間變異性后結構的失效概率變化；吳振君等[5]將隨機場模擬和區(qū)域化變量理論的Kriging 方法結合，建立約束隨機場；閆澍旺等[6]等研究了隨機場方差折減函數的確定原則，并通過算例說明了折減原則的合理性；史良勝[7]等研究了Karhunen-Loeve(KL)展開在土性參數隨機場模擬中的應用；Shinozuka等[8,9]比較了超分辨率映射(Super Resolution Mapping，SRM)與KL方法在隨機場離散中的優(yōu)劣，證明在相關距離較短時，KL方法收斂難度較大。盡管上述方法在巖土工程隨機場分析中得到了一定的應用，但仍然存在很多不足。方差折減法需要大量數據確定方差折減函數；蒙特卡羅法法需要更大數量級的樣本數量和計算時間，計算代價過大。KL方法需要解決Fredholm積分方程問題；更重要的是，在實際工程中，土體參數一般為多維多變量隨機場，而傳統的SRM在模擬多維多元隨機場時互相關性精度不足。

本文在傳統譜表示法的基礎上，引入基于馬爾可夫(Markov)鏈(M-SVM)改進的支持向量機(Support Vector Machine，SVM)法與譜表示法耦合，提出一種能兼顧參數自相關性與互相關性的隨機場模擬耦合算法。該耦合算法在保持傳統SRM在自相關性上優(yōu)勢的基礎上，利用SVM在復雜模型機器學習方面的優(yōu)勢，提高傳統SRM在互相關性上的精度，同時采用馬爾可夫鏈改進傳統的SVM，為減小支持向量機法對輸入樣本精度的依賴性，采用M-SVM改進傳統的支持向量機法，使得訓練樣本能夠自適應地模擬極限狀態(tài)面的重要區(qū)域，以馬爾可夫鏈的自適應特點生成訓練樣本，然后使用支持向量機的機器學習特性訓練得出原函數的顯示極限狀態(tài)方程，使得到的顯式極限狀態(tài)方程能最大程度地逼近原隱式方程。在此基礎上以武漢市軌道交通7號線一期工程過江段為依托，研究巖土體空間變異性對該地鐵可靠度的影響程度。

1 基本理論

1.1 譜表示法

(1)

式中：φi(i=1,...,N1)為在[0,2π]區(qū)間服從標準分布的獨立隨機相位角，頻率設定為：

(2)

式中：κ1u為截斷波數。幅值Ai可以用下式確定：

(3)

式中：Sf0為非負函數κ1的功率譜密度函數。式(1)的模擬過程構成了隨機場的頻譜表示。

當隨機場為二維時，式(1)改寫為以下形式：

(4)

式中：

(5)

(6)

(7)

κ1i=iΔκ1，κ2j=jΔκ2

(8)

土體參數空間變異性分析常采用自相關函數描述隨機場計算區(qū)域內任意兩個不同空間位置處土體參數間的自相關性[10]。對于土體的自相關函數，尚無定論，常用的相關函數型式有指數型和指數余弦型。本文采用各向同性指數平方型相關函數[11]，表達式為：

(9)

式中：b為隨機場的相關距離；τ1和τ2為隨機場坐標軸上的距離。

1.2 支持向量機

SVM的基本思想是通過非線性變化把原數據空間映射到某一高維的特征空間，然后在這個新空間中求取最優(yōu)線性分類面，使得該超平面將兩類樣本正確無誤地分開且使分類間隔最大[12～14]。

對于給定一組樣本數據(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xk,yk)，xi∈Rn，yi∈R。尋找一個n維空間中的線性函數f(x)，使得對于所有從訓練數據所得的目標數據yi的偏差最小。

f(x)=wx+b

(10)

經過整理，最優(yōu)分類面問題可以表示成如下約束優(yōu)化問題，求下列函數的最小值。

(11)

對于線性不可分情況，根據統計學理論，可以通過在約束條件中引入松弛變量，在目標函數中加入罰函數來解決這一問題。式(11)即可演變?yōu)橄率剑?/p>

(12)

(13)

解決上述優(yōu)化問題后，即可得到回歸方程：

(14)

如果一個問題在其定義的空間中不是線性可分的，可以考慮通過引入核函數K(xi,xj)把問題轉換到一個新的空間中，相應的判別函數為：

(15)

本文采用徑向基核函數[15,16]，其形式如下：

(16)

式中：參數g是核函數中的重要參數，影響著SVM算法的復雜程度。

1.3 基于馬爾可夫鏈的支持向量機法

傳統的SVM基本原理是采用非線性變化把原數據空間映射到某一高維的特征空間，機器學習的精度嚴重依賴于輸入樣本的質量和精度。一般的抽樣方法是在隨機變量均值兩側k倍標準差的區(qū)間里均勻抽樣所得(k為常數)，只有當樣本點能夠大量落在最優(yōu)超平面附近時，才能獲得理想的計算精度。常用的特殊抽樣法，如重要性抽樣法、拉丁抽樣法等，其本質也不符合最優(yōu)超平面原則。為此，本文采用M-SVM改進傳統的SVM，利用M-SVM的自適應特點[17]，使其模擬產生的樣本點將自適應的覆蓋最可能失效區(qū)域生成訓練樣本，另一方面盡量使樣本點靠近極限狀態(tài)曲面，SVM則能夠實現風險最小化的極限狀態(tài)方程的替代。

以一階M-SVM為例，設結構極限狀態(tài)面函數為g(x)，其中包含聯合概率密度為f(x)的n維基本變量x=[x1,x2,…,xn]T。

失效域F上樣本數據的條件分布密度函數為：

f(x|F)=IF(x)f(x)/Pf

(17)

式中：IF(x)為F的指示函數，

(18)

(19)

M-SVM是指存在這樣的一組序列{X1,X2,X3,…}，對于任意時刻t，Xt+1時刻的狀態(tài)僅僅與前一個時刻Xt有關，而與Xt以前的狀態(tài)無關，這樣的隨機變量序列稱之為M-SVM。這種序列的產生方式有很多種，包括吉布斯抽樣算法、M-H(Metropolis-Hasting)抽樣方法，本文主要介紹M-H抽樣方法。

M-H算法核心思想是產生一個樣本點，然后依據接受概率來判定產生的樣本點是否可以被接受，首先馬爾科夫鏈中所選用的概率密度函數p*(x)必須滿足細致平衡條件，即：

p*(y|x)=p*(x|y)

(20)

依據p*(x)隨機產生備選樣本點y，大量研究表明，備選樣本點最好取值在區(qū)間x-l,x+l，M-H算法的轉移接受概率為:

α=min1,π(y)/π(x)

(21)

其中，π(·)為目標分布，由于樣本點落在失效區(qū)域Fi容易得到IFix=1，再結合式(20)可得轉移接受概率為：

α=min1,q(y)IFi(y)/q(x)

(22)

第i+1個子集中的M-SVM具體步驟如圖1所示。

圖1 M-SVM流程

(1)得到失效域Fi中第i個子集中一個樣本點向量Xi=[xi(1),xi(1),…,xi(n)]T，n表示隨機變量的維度。

(2)對于第j(j=1,2,…,n)個維度，產生一個服從建議分布p*(x)的備選樣本點yj，據研究表明，yj通?？捎蓌1j-l,x1j+l區(qū)間上的均勻分布產生，依據此方法可以產生一個對應的樣本點向量：

y=[y1,y2…,yn]T

(23)

(3)依據式(22)中的轉移接受概率和以下兩步來判定樣本點向量y是否可以被接受。

先計算rj=min1,q(yj)/q(xi(j)，然后隨機產生一個服從[0,1]區(qū)間均勻分布的隨機數uj，如果uj≤rj，則yj=yj，否則，yj=xj，產生n個維度的樣本點之后，可以得到新的樣本向量：

y*=y1,y2,…,ynT

(24)

驗證g(y*)的值是否落在失效域內，即是否有g(y*)

(25)

(4)重復步驟(2)和(3)，直至在第i+1個子集中產生足夠多的樣本點。一般來講第i個子集中的一個樣本需要產生1/p0個i+1子集中的樣本點，最終i+1子集中需要有n/p0個樣本點。

(26)

重復上述步驟即可得到一組訓練數據x(1),x(2),…,x(M)，分布形式為平穩(wěn)分布。

M-SVM的基本思想是改進傳統的SVM，使得訓練樣本能夠自適應模擬極限模擬結構的重要區(qū)域，以馬爾可夫鏈的自適應特點生成訓練樣本，然后使用SVM的機器學習特性訓練得出原函數的顯示極限狀態(tài)方程，使得得到的顯示極限狀態(tài)方程能最大程度地逼近原隱式方程。

1.4 SRM與SVM耦合算法

對于給定一組樣本數據，可得參數矩陣X：

(27)

Xi=[xi1,xi2,…,xim]表示矩陣X的一行，代表一組土體參數；Xj=[x1j,x2j,…,xnj]表示矩陣X的一列，代表一項土體參數(例如：黏聚力、內摩擦角等)。

根據矩陣X可計算得到協方差矩陣Q：

(28)

式中：σj為土體參數Xj的標準差；δij為土體參數Xj與Xi之間的協方差，δij=δji。

基于SVM和SRM的耦合算法計算流程如下：

(29)

(30)

(3)選擇核函數。由于土體參數的分布函數關系并非給定屬性的簡單線性函數，故應選擇合適的核函數替換。

(31)

式中：κ(x,xi)為核函數(如多項式核函數、徑向基核函數、Sigmoid核函數等)，對于小樣本問題，一般選擇最適合非線性程度較高的巖土工程的核函數——徑向基核函數。

2 工程概況

武漢市軌道交通7號線一期工程線路起點位于金銀湖區(qū)，穿越長江至板橋村，全長約31.3 km，除停車場、車輛段及出入場線為地面線外，其余正線全為地下隧道工程。其中穿越長江段，全長約3.23 km，雙向六車道，該段隧道采用直徑為15.76 m的超大型泥水平衡盾構施工。工程場區(qū)位于長江河床及兩岸一級階地區(qū)，此處江面寬約1400 m。覆蓋層為二元結構的黏性土及砂類土，下伏基巖為白堊～第三系東湖群砂礫巖及粉砂質泥巖。

本文研究斷面取該工程最具代表性的界面(隧道過江段折線處如圖2所示)，該斷面處于過江段的折線處，且底部位于基巖內，地質狀況最為復雜。該盾構段頂覆土值約為18.5 m，穿越土層主要有：淤泥質粉質黏土、粉質粘土、粉細砂、強風化粉砂質泥巖和弱膠結礫巖，常規(guī)物理力學指標統計成果及原位測試成果分別見表1，2。

圖2 跨江段縱截面剖面/m

巖土名稱編號統計項目壓縮模量/MPa重力密度/(kN/m3)內摩擦角(快剪)/(°)粘聚力(快剪)/kPa淤泥質粉質黏土2-1n6622Xmax4.1118.94.3010.40Xmin2.6117.63.507.00Xm3.2618.13.908.70σ0.6240.4453.2472.915δ0.1910.0250.5320.365粉質黏土3-2n1191672525Xmax5.6719.512.5017.50Xmin2.7517.64.308.30Xm3.8718.57.3713.13σ0.7320.3632.2072.713δ0.1890.0200.2990.207粉細砂4-2n356399Xmax19.1821.937.7012.30Xmin7.7617.923.303.10Xm12.9320.031.887.50σ2.5640.9224.3453.815δ0.1980.0460.1360.509粉質黏土4-2an131355Xmax6.6919.919.7021.90Xmin4.1318.113.2012.80Xm5.5418.916.5217.62σ0.9080.5105.4454.825δ0.1640.0270.2370.429

注：n代表統計個數；Xmax為統計最大值；Xmin為統計最小值；Xm為統計均值；σ為統計標準差；δ為統計變異系數

表2 盾構段巖體主要物理力學指標分層統計

3 計算分析

建立隨機場模型前，必須首先選取合適的相關距離和相關函數。根據地勘報告中盾構段斷面圖分析，各土體的相關距離見表3；相關函數選用各向同性指數型相關函數。

表3 不同土層的相關距離

由表1，2可知，土體初始樣本數量較少，遠遠無法滿足隨機場模擬和可靠度分析的需要。且淤泥質粉質黏土、粉質粘土、粉細砂、粉質粘土這四種土體的黏聚力和內摩擦角的協方差分別為-0.523，-0.332，-0.579，-0.601，即呈天然負相關性，重度和彈性模量相關性較小。其中淤泥質粉質黏土的黏聚力c和內摩擦角φ的相關性散點圖如圖3。

圖3 相關性散點圖

建立一個50 m×60 m的二維四元隨機場模型，網格大小為0.1 m×0.1 m。其中“二維”為橫截面的橫向與縱向(x，y軸)；“四元”分別為密度ρ、彈性模量E、黏聚力c和內摩擦角φ。由于密度ρ、彈性模量E相關性較小，故這兩項參數直接使用傳統的譜表示法離散。黏聚力c和內摩擦角φ使用本文提出的基于SVM和SRM的耦合算法離散，其中SVM模型中核函數選擇使用最為廣泛、最適合非線性程度較高的核函數——徑向基核函數；罰函數C和徑向基核函數參數g使用遺傳算法計算，圖4表示遺傳算法計算時進化代數與適應度的關系。計算所得C和g的值見表4。從圖4中可知，當進化代數到7時，淤泥質粉質黏土適應度曲線收斂達到最佳，計算所得罰函數C的值為26.2377，參數g的值為2.3614；當進化代數到4時，粉質粘土適應度曲線收斂達到最佳，計算所得罰函數C的值為32.3629，參數g的值為5.2361；當進化代數到8時，粉細砂適應度曲線收斂達到最佳，計算所得罰函數C的值為12.9861，參數g的值為7.2269；當進化代數到5時，粉質粘土適應度曲線收斂達到最佳，計算所得罰函數C的值為18.3659，參數g的值為2.6748。

圖4 遺傳算法的進化代數與適應度關系曲線

巖土名稱及編號進化代數適應度Cg淤泥質粉質黏土70.92326.23772.3614粉質粘土40.96332.36295.2361粉細砂80.91312.98617.2269粉質粘土50.95518.36592.6748

SVM模型的輸入與輸出見表6，則計算所得統計特征參數見表7。從表7中可知離散后四種土體中黏聚力c和內摩擦角φ的相關性。對比離散前協方差可知淤泥質粉質黏土的抗剪強度相關性差別為0.03；粉質粘土的抗剪強度相關性差別為0.019；粉細砂的抗剪強度相關性差別為0.009；粉質粘土的抗剪強度相關性差別為0.009。從以上數據可知，離散后的隨機場中的黏聚力c和內摩擦角φ的互相關性與輸入數據基本相同，保持了較高的互相關性。

表5 黏聚力c和內摩擦角φ的相關性

表6 輸入與輸出數據集

表7 隨機場中黏聚力c和內摩擦角φ協方差矩陣

根據離散后數據可畫出隨機場中抗剪強度參數的概率密度分布對比圖，其中淤泥質粉質黏土的抗剪強度參數的概率密度分布對比見圖5。從該概率密度分布對比圖和表7中均值與方差可知隨機場中黏聚力c和內摩擦角φ的自相關性保持了較高的精度。

圖5 概率密度分布對比

離散后的抗剪強度參數隨機場如圖6，其中顏色越深，黏聚力越大，內摩擦角越小。

圖6 抗剪強度參數隨機場

建立ANSYS有限元模型，隧道外徑15.2 m，隧道內徑13.9 m，兩隧道間距6 m，襯砌厚0.65 m，管片采用C50混凝土，管片分塊采用9+1分塊設計。隧道埋深20 m，土層的寬度和高度分別為100 m和80 m，列車荷載1.03106 N。ANSYS模型如圖7。其中土體參數為上文建立的隨機場。

圖7 ANSYS網格模型

10000次蒙特卡羅法有限元計算中某一次有限元計算結果如圖8，9，其中，圖8所示為管片的變形情況，圖9所示為管片的位移云圖。

由于地鐵工程為復雜多變地下工程，其力學性能受到圍巖特性、開挖方法、支護形式和施工工藝等眾多因素的影響而存在較大差異，加上當前受限于對巖土性狀及其工作條件的認識水平，從而使得目前在現有數學和力學方法手段上還難以完全準確的對隧道穩(wěn)定狀態(tài)作用機理進行合理描述。根據工程設計經驗和國內外眾多學者多年研究成果[19,20]，本文假設隧道襯砌頂部沉降超過50 mm時，結構達到承載能力極限狀態(tài)，隧道失效。

圖8 襯砌變形

圖9 襯砌位移云圖

依據現有數學和力學方法手段還難以完全準確地對隧道穩(wěn)定狀態(tài)作用機理進行合理描述，通常無法建立起直觀、簡明、未知數次數較低的顯式極限狀態(tài)方程來判別隧道失效與否；由于可供使用的樣本點極少，MCS和RSM同樣不適用于這種工程條件。本文采用M-SVM結合隨機有限元法計算該地鐵隧道的可靠度。同時，將圍巖視作隨機變量模型(土體參數均用均值和方差代替隨機場模型)，采用MCS和M-SVM計算失效概率，對比圍巖的空間變異性對地鐵隧道失效概率的影響和MCS與M-SVM的計算效率與精度。

圖10，11為在不考慮空間變異性的條件下，對比MCS和M-SVM兩種算法的計算效率與精度。從圖10中可知，使用MCS計算失效概率，當樣本組個數接近106時，失效概率曲線趨近平穩(wěn)，計算結果收斂，失效概率值為0.43%。從圖11中可知，使用M-SVM計算失效概率，當樣本組個數接近100時，失效概率曲線趨近平穩(wěn)，計算結果收斂，失效概率值為0.41%。對比圖10，11有限元計算次數可知，M-SVM與傳統的MCS相比，失效概率相對誤差僅為0.02%，精度完全滿足需求，但有限元計算次數降低了約106次?？梢奙-SVM方法的計算效率遠遠高于傳統的MCS方法，該方法的計算結果能更加貼近原極限狀態(tài)面，更能覆蓋求解失效概率時的重要區(qū)域，計算收斂速度更快，更加符合實際工程中小樣本的情況，適用于在實際條件無法滿足勘察要求時的情況。

圖11，12為在同時使用M-SVM方法的條件下，對比土體空間變異性對隧道失效概率的影響。從圖11中可知，在不考慮空間變異性的條件下，當樣本組個數接近100時，失效概率曲線趨近平穩(wěn)，計算結果收斂，失效概率值為0.41%。從圖12中可知在考慮空間變異性的條件下，當樣本組個數接近100時，失效概率曲線趨近平穩(wěn)，計算結果收斂，失效概率值為0.26%。對比圖11，12失效概率可知，使用同樣的可靠度分析方法的條件下，兩者確定性有限元分析次數僅相差20次，但失效概率的值相差0.15%。對比失效概率可知，在不考慮空間變異性時的失效概率偏高，說明傳統的基于隨機變量方法的可靠度分析結果偏保守，會導致使用成本的提高，造成不必要的經濟浪費。

圖10 不考慮空間變異性時使用MCS的樣本數量與失效概率關系趨勢

圖11 不考慮空間變異性時使用M-SVM的樣本數量與失效概率關系趨勢

圖12 考慮空間變異性時使用M-SVM的樣本數量與失效概率關系趨勢

4 結 論

本文以武漢市軌道交通7號線一期工程過江段為例，結合該地區(qū)的地勘報告，取該地鐵最有代表性的隧道折線處斷面為研究對象，使用本文提出的SVM與SRM耦合的計算方法模擬隧道圍巖隨機場。建立過江段折線處橫斷面ANSYS有限元模型，采用M-SVM結合隨機有限元法計算該地鐵隧道的可靠度。同時，將圍巖視作隨機變量模型(土體參數均用均值和方差代替隨機場模型)，采用MCS和M-SVM計算失效概率，對比圍巖的空間變異性對地鐵隧道失效概率的影響和MCS與M-SVM的計算效率與精度。通過上述分析，可以得到以下結論：

(1)與傳統的譜表示法相比，采用本文提出的耦合算法，不僅可以模擬變量的自相關性，還可以兼顧變量間的互相關性，全面地反映了空間變異性，更加有利于工程設計計算。

(2)與傳統的支持向量機法相比，采用馬爾可夫鏈改進傳統的支持向量機法，使得訓練樣本能夠自適應地模擬極限狀態(tài)面的重要區(qū)域，得到的顯式極限狀態(tài)方程能最大程度上更高效快速地逼近原隱式方程。

(3)通過有限元計算和可靠度分析比較，本文所研究橫斷面在不考慮空間變異性時的失效概率偏高，說明傳統的基于隨機變量方法的可靠度分析結果偏保守。

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