地圖綜合中幾何相似性的度量*

劉 楊，張晶瑩

(湖南都市職業(yè)學(xué)院，湖南 長沙 410137)

地圖綜合通過簡化地圖數(shù)據(jù)的表達(dá)以適應(yīng)較小比例尺和滿足地圖易讀性的需要，如何評(píng)估和保證綜合后的地圖的質(zhì)量，成為當(dāng)代數(shù)字制圖需要解決的一個(gè)主要問題.綜合評(píng)價(jià)方法分為定性和定量2種.一般來說，大部分的研究都是針對(duì)地圖綜合前后的幾何或拓?fù)潢P(guān)系的變化進(jìn)行定性分析，很少采用定量的評(píng)價(jià)方法對(duì)目標(biāo)之間的關(guān)系進(jìn)行度量.[1]筆者擬引入傳統(tǒng)的空間目標(biāo)距離、Hausdorff距離、對(duì)稱差面積、旋轉(zhuǎn)函數(shù)距離和曲面距離等5個(gè)幾何屬性指標(biāo)來分析不同比例尺綜合地圖的面目標(biāo)的幾何屬性變化，并通過度量地圖的幾何相似性來分析綜合地圖的質(zhì)量.

1 幾何相似性度量指標(biāo)

1.1 傳統(tǒng)的空間目標(biāo)距離

圖1 最小距離、最大距離和質(zhì)心距離Fig. 1 Minimum,Maximum and Centroid Distance

在二維地理信息空間(GIS)中，設(shè)2個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為pi(xi1,xi2)和pj(xj1,xj2)，則2個(gè)點(diǎn)之間的距離為

(1)

1.2 豪斯多夫距離

點(diǎn)集A和B的Hausdorff距離可以描述為[2]

(2)

其中：sup(·)表示集合的最小上界；inf(·)表示集合的最大下界；‖·‖表示2點(diǎn)之間的某種度量；h(A，B)和h(B，A)分別為從A到B和從B到A的有向Hausdorff距離.(2)式中2個(gè)有向距離函數(shù)的結(jié)果通常不一致，也就是不符合距離度量的對(duì)稱性，所以不是真正的距離度量.由于地理信息空間的目標(biāo)是不為空的集合(即有界閉集)，因此有向Hausdorff距離可以描述為[3]

同樣地，Hausdorff距離還可以描述為

(3)

從(3)式可知Hausdorff距離也是一種最大-最小距離.假設(shè)A和B的Hausdorff距離為d0，那么A(或B)到B(或A)的最小距離不大于d0.同樣地，對(duì)于A(或B)的任意一個(gè)點(diǎn)pA(或pB)，一般都可以在B(或A)上找到一個(gè)點(diǎn)位于pA(或pB)的d0鄰域(以pA(或pB)為中心，以d0為半徑的一個(gè)圓)內(nèi).因此Hausdorff距離和2種有向Hausdorff距離可以使用一個(gè)基于緩沖區(qū)的方法來定義和計(jì)算.基于緩沖區(qū)方法的Hausdorff距離如圖2所示，其計(jì)算公式為

其中⊕表示數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的膨脹算子，為Minkowshi度量和運(yùn)算[4].

圖2 基于緩沖區(qū)方法的Hausdorff距離Fig. 2 Hausdorff Distance Based on Buffer Method

1.3 對(duì)稱差面積

計(jì)算2個(gè)面目標(biāo)之間對(duì)稱差的面積也是一種很好的度量方法，它可以忽略目標(biāo)局部的不同之處(如凹陷和尾部).該度量方法可描述為[5]

Area(A，B)=‖AΔB‖=A∪B-A∩B，

其中Δ是對(duì)稱差算子，Area(·)是用來計(jì)算面積的函數(shù).A Galton[6]指出面目標(biāo)之間面積的對(duì)稱差可以很好地度量2個(gè)面目標(biāo)之間的分離性和相似性(或差異性).Hausdorff距離不適用的3種情形如圖3所示，面目標(biāo)間對(duì)稱差的面積如圖4所示.圖4中陰影部分表示圖3中面目標(biāo)A和B之間面積的對(duì)稱差，圖4c中A和B之間的差異最大.

圖3 Hausdorff距離不適用的3種情形Fig. 3 Three Cases Unsuitable for Hausdorff Distance

圖4 面目標(biāo)間對(duì)稱差的面積Fig. 4 Separation of Regions Measured by Area of Symmetric Difference

對(duì)稱差面積計(jì)算出來后，可用指標(biāo)α來度量2個(gè)目標(biāo)之間的相似性，即

(4)

由(4)式可知，α越接近于1，2個(gè)目標(biāo)的相似度越高.

1.4 旋轉(zhuǎn)函數(shù)距離

旋轉(zhuǎn)函數(shù)也被稱為角度計(jì)算函數(shù)，是用于多義線或多邊形之間進(jìn)行匹配的一種距離函數(shù).利用旋轉(zhuǎn)函數(shù)表達(dá)多義線的結(jié)果如圖5所示.由圖5可知，曲線A可以按照如下方法定義：(1)Y軸代表曲線與左轉(zhuǎn)切線之間的夾角.如果曲線的邊向左轉(zhuǎn)就在原來的角度上加上旋轉(zhuǎn)角；如果曲線邊向右轉(zhuǎn)就在原來的角度上減去旋轉(zhuǎn)角.(2)X軸代表弧線的長度.(3)曲線表示θA(s).由此可知，旋轉(zhuǎn)函數(shù)不會(huì)隨曲線(或多邊形)的平移而發(fā)生變化.綜上所述，旋轉(zhuǎn)函數(shù)間的距離可表示為[7]

其中p的取值通常為2.利用旋轉(zhuǎn)函數(shù)間的距離可以表示不同曲線間的差異,這個(gè)距離指標(biāo)可用于相同(或近似)比例尺的同名線或多邊形的相似性度量.A和B之間的差異的度量結(jié)果如圖6所示.

圖5 旋轉(zhuǎn)函數(shù)表達(dá)的多義線Fig. 5 Representation of Poly-Line by Turning Function

圖6 A和B之間的差異的度量結(jié)果Fig. 6 Difference Between A and B Measured by Turning Function Distance

定義2個(gè)目標(biāo)的形狀相似度為

(5)

其中：Area(Oi)是匹配后2幅圖形沒有重疊的面積；Area(TFi,A)是旋轉(zhuǎn)變換下目標(biāo)A的面積；Area(TFi,B)是旋轉(zhuǎn)變換下目標(biāo)B的面積.A,B2個(gè)目標(biāo)的相似性度量結(jié)果如圖7所示.

圖7 目標(biāo)的相似性度量結(jié)果Fig. 7 Similarity Measures of Goals

圖8 旋轉(zhuǎn)變換下的A和BFig.8 Object A and B by Turning Function Distance

在旋轉(zhuǎn)變換下建立的直方圖如圖8所示.圖8中橫軸表示圖形邊界的長度l，縱軸表示圖形邊界方向與基準(zhǔn)線的角度β(圖形邊界順時(shí)針).由圖8可以看出,2個(gè)直方圖疊加后產(chǎn)生的陰影面積就是匹配之后2幅圖形沒有重疊的面積.根據(jù)(5)式計(jì)算2個(gè)目標(biāo)的形狀相似度,

1.5 曲面距離

曲面距離可用來度量2個(gè)目標(biāo)之間的差異程度，其定義為[8]

其中：A和B是2個(gè)多邊形目標(biāo)；Area(A∩B)是目標(biāo)A與B交集的面積；Area(A∪B)是目標(biāo)A與B并集的面積.ω(A，B)∈[0,1]，其值越接近0，說明2個(gè)不同比例尺下的同一區(qū)域圖形的相似度越高.

2 面目標(biāo)幾何相似性度量方法

2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

同一個(gè)地區(qū)、不同比例尺的2幅森林專題地圖如圖9所示.圖9a的比例尺為1∶25 000，進(jìn)行地圖綜合后得到圖9b，其比例尺為1∶50 000.在圖9a上有33個(gè)面目標(biāo)，在圖9b上有16個(gè)面目標(biāo).在此例中，綜合操作使用合并來刪除小的多邊形，分別應(yīng)用5個(gè)幾何相似性度量指標(biāo)來計(jì)算圖形的相似度，并給出最終的結(jié)果.

應(yīng)用二次開發(fā)控件(MapObjects)在VB中計(jì)算2個(gè)面目標(biāo)間的幾何相似度,操作界面如圖10所示.幾何相似度的計(jì)算流程為:疊加2種比例尺的地圖，再分別采用5種計(jì)算方法逐一計(jì)算地圖上的面目標(biāo).不同度量方法得到的計(jì)算結(jié)果列于表1.

圖9 不同比例尺的森林專題地圖Fig. 9 Forest Thematic Maps with Different Scales

圖10 面目標(biāo)幾何相似性度量方法實(shí)現(xiàn)Fig. 10 Implementation of Measure Approaches of Geometric Similarity Between A and B

幾何相似性 度量方法 面目標(biāo)1234567Dmax(A,B)184.421 4237.098 8243.692 472.007 765.258 898.989 1103.631 5Dmin(A,B)7.340 91.659 33.663 91.956 41.790 81.773 32.612 9Dc(A,B)0.852 12.264 13.996 62.064 42.220 54.391 53.534 8H(A,B)8.425 33.203 149.547 82.467 23.847 45.561 54.455 5α0.971 80.957 40.889 70.880 90.820 40.772 10.888 8SS(Oi)0.696 90.374 60.383 90.863 40.955 10.389 30.879 8ω(A,B)0.027 90.041 60.036 30.113 20.161 80.211 70.105 2幾何相似性 度量方法 面目標(biāo)891011121314Dmax(A,B)62.443 6171.089 566.462 7229.788 6112.026 4190.316 568.355 1Dmin(A,B)1.114 22.617 62.428 40.904 82.744 63.482 24.352 3Dc(A,B)2.427 93.790 43.079 95.136 44.652 04.829 55.160 5H(A,B)3.726 24.178 53.416 614.159 46.108 15.412 45.436 8α0.862 50.700 10.831 00.708 70.864 50.869 00.657 7SS(Oi)0.940 20.250 70.413 60.656 30.973 70.975 20.940 9ω(A,B)0.126 20.260 80.153 80.246 80.126 30.122 90.286 8

2.2 結(jié)果比較

對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析可知：最大、最小距離度量的是綜合前后同一目標(biāo)的最大、最小距離，根據(jù)不同的需要可以計(jì)算不同區(qū)域面目標(biāo)的最大、最小距離；Hausdorff距離適用于度量面目標(biāo)的分離性，在度量空間目標(biāo)的形狀方面，Hausdorff距離和旋轉(zhuǎn)函數(shù)距離可以有效地度量空間目標(biāo)整個(gè)形狀的變化，而最小距離、最大距離、質(zhì)心距離、曲面距離和對(duì)稱差面積相對(duì)差一些；采用對(duì)稱差面積能較好地度量2個(gè)面目標(biāo)的差異性且便于計(jì)算，指標(biāo)α的值越接近1，表明2個(gè)面目標(biāo)相似度越高；旋轉(zhuǎn)函數(shù)度量比較適用于多邊形相似性度量，旋轉(zhuǎn)函數(shù)距離度量中SS(Oi)∈[0,1],其值越接近1，說明2個(gè)目標(biāo)幾何形狀相似度越大；曲面距離度量中ω(A，B)∈[0,1]，其值越接近0，說明2個(gè)目標(biāo)的面積相似度越大，綜合前后面積變化越小.根據(jù)表1可以認(rèn)為:當(dāng)ω(A，B)≤0.2時(shí)，判定綜合效果較好；當(dāng)0.2<ω(A,B)<0.5時(shí)，判定綜合效果較差；當(dāng)ω(A,B)≥0.5時(shí)，判定綜合效果很差.

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