正規(guī)矩陣的性質(zhì)注記*

何銳琴，任芳國(guó)

(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710062)

正規(guī)矩陣的性質(zhì)和特征在矩陣?yán)碚摷捌鋵?shí)際應(yīng)用中具有重要作用.王桂松等[1]研究了矩陣的奇異值與特征值的關(guān)系，R Grone等[2]、L Elsner等[3]研究了正規(guī)矩陣的若干等價(jià)條件.筆者擬借助文獻(xiàn)[4-6]和正規(guī)矩陣的基本性質(zhì)、特征[7-9]，并利用矩陣的特征值與奇異值的關(guān)系[10-12]，來(lái)獲取有關(guān)正規(guī)矩陣的新性質(zhì).

引理1[1]設(shè)A和B為任意n階復(fù)方陣，λ(AB)為AB的任一特征值，σi(A)和σi(B)分別為A和B的奇異值，且σ1(A)≥σ2(A)≥…≥σn(A)，σ1(B)≥σ2(B)≥…≥σn(B)，則σn(A)σn(B)≤|λ(AB)|≤σ1(A)σ1(B).

引理2[5]設(shè)A為正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A的奇異值為{|λ1|，…，|λn|}.

引理3[4]如果A可對(duì)角化,那么與A相似的任一對(duì)角矩陣的各對(duì)角元必須是A的具有適當(dāng)重?cái)?shù)的特征值.

定理1設(shè)A是正規(guī)矩陣，則對(duì)于任意的酉矩陣U(U∈Mn)，

定理2設(shè)A是一個(gè)n階方陣，則對(duì)于任意的單位向量x(x∈Cn)，|(Ax,x)|2≤(|A|2x,x).此外，A正規(guī)當(dāng)且僅當(dāng)|(Ax,x)|≤(|A|x,x)，?x∈Cn.

證明|(Ax,x)|≤‖Ax‖·‖x‖，而‖x‖=1，(|A|2x,x)=(A*Ax,x)=(Ax,Ax)=‖Ax‖2,于是|(Ax,x)|2≤(|A|2x,x).

當(dāng)n>2時(shí)，由歸納法可得.

定理3設(shè)A是一個(gè)正規(guī)矩陣，若存在正整數(shù)k使得Ak=I,則A是酉矩陣.

定理5設(shè)A是一個(gè)非奇異矩陣，M=A-1A*，則A是正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)M是酉矩陣.

證明必要性.因?yàn)锳是正規(guī)矩陣，所以

MM*=A-1A*(A-1A*)*=A-1A*A(A-1)*=A-1AA*(A*)-1=I，

M*M=(A-1A*)*(A-1A*)=A(A-1)*A-1A*=AA-1(A-1)*A*=I，

從而M是酉矩陣.

充分性.由M是酉矩陣有M*=M-1,即(A-1A*)*=(A-1A*)-1,故A(A-1)*=(A*)-1A，左乘A*,右乘A*,即A*A=AA*，從而A是正規(guī)矩陣.

定理6A正規(guī)等價(jià)于存在一個(gè)置換σ(σ∈Sn)，使得δ(A)={αj+iβσ(j)|j=1,…,n}.

證明必要性.若A正規(guī)，則A的特征向量是H和K的特征向量，即存在同一個(gè)酉矩陣U，使得

推論1A正規(guī)等價(jià)于Reδ(A)={α1,…,αn}.

定理7A正規(guī)等價(jià)于Imδ(A)={β1,…,βn}.

定理8A正規(guī)等價(jià)于存在一個(gè)置換σ(σ∈Sn)，使得δ(A)={ujρσ(j)|j=1,…,n}.

證明必要性.若A是正規(guī)矩陣,則由引理2可知結(jié)論成立.充分性.A*A=P*V*VP=P*P=P2，故A的奇異值為{ρ1,…,ρn}.因?yàn)閁是酉矩陣，所以|uj|=1，|δ(A)|={ρ1,…,ρn}，可知結(jié)論成立.

推論2A正規(guī)等價(jià)于mod(δ(A))={ρ1,…,ρn}.

定理9AB*和BA*都是正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)存在酉矩陣V和W(V,W∈Mn)，使得A=VΣW*和B=VΛW*(其中Σ,Λ∈Mn,是對(duì)角矩陣).

證明必要性.只要考慮A=Σ是非負(fù)矩陣又是對(duì)角矩陣的情形.將Σ的相同對(duì)角元排在一起，不妨設(shè)ρ1>ρ2>…>ρr，即

由ΣB*是正規(guī)矩陣有

ΣB*BΣ*=BΣ*ΣB*.

(1)

比較(1)式兩邊的(1，1)元素，得

(2)

由B*Σ是正規(guī)矩陣有

B*ΣΣ*B=Σ*BB*Σ.

(3)

比較(3)式兩邊的(1，1)元素，得

(4)

充分性.由A=VΣW*,B=VΛW*，A*B=WΣ*ΛW*,B*A=WΛ*ΣW*,得(A*B)(A*B)*=WΣ*ΛΛ*ΣW*(A*B)*(A*B)=WΛ*ΣΣ*ΛW*.因?yàn)棣玻菍?duì)角矩陣，所以(A*B)(A*B)*=(A*B)*(A*B).同理可得B*A是正規(guī)矩陣.

定理10設(shè)A是厄密特矩陣,B是斜厄密特矩陣，C=A+B，則下列條件等價(jià)：(ⅰ)C是正規(guī)矩陣；(ⅱ)AB=BA；(ⅲ)AB是斜厄密特矩陣.

證明首先證明(ⅰ)?(ⅱ).C正規(guī)?CC*=A2+BA-AB-B2=A2-BA+AB-B2=C*C?AB=BA.其次證明(ⅱ)?(ⅲ).AB=BA?(AB)*=B*A*=-BA=-AB.因此這3個(gè)條件互相等價(jià).

定理11設(shè)A，B(A，B∈Mn)是給定的方陣，若A?B是正規(guī)矩陣，則B?A也是正規(guī)矩陣.

證明因?yàn)锽?A=PT(A?B)P=P*(A?B)P,所以若A?B是正規(guī)矩陣，則B?A也是正規(guī)矩陣.

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