函數(shù)思想在解題中的應用

摘 要：所謂函數(shù)思想，是要充分合理地運用函數(shù)的概念和性質來分析，轉化和解決問題。在高中數(shù)學的學習中通常會遇到某些問題從表面來看并非函數(shù)問題，我們往往不直接對問題求解，而是通過一系列的數(shù)學變形，構造等將問題轉化為函數(shù)形式，并用函數(shù)相關的知識來解決它，從而間接地求解問題。下面結合幾個實例談談函數(shù)思想在不等式，解析幾何，數(shù)列，方程中的應用。

關鍵詞：函數(shù)思想；數(shù)學解題；應用

一、 函數(shù)在不等式中的應用

若所給的不等式可以通過變量分離使參數(shù)與主元分離于不等式的兩邊，從而構造新的函數(shù)，然后將求參數(shù)范圍使得不等式恒成立的問題轉化為求新函數(shù)的值域的問題。

例 已知x∈（-∞，1]時，不等式1+2x+（a-a2）4x>0恒成立，求a的取值范圍

解：令2x=t，∵x∈（-∞，1]∴t∈（0，2]，∴原不等式轉化為a2-a

∵f（t）=t+1t2=1t2+1t=1t+122-14，∵1t∈[12，+∞），∴f（t）min=f（2）=34，∴a2-a<34∴-12

二、 函數(shù)在解析幾何中的應用

在解析幾何中，某些動點動直線在變化中，就引出了相互制約的量，這些量之間就可以構成函數(shù)關系，因此解析幾何問題通常就轉化為求函數(shù)問題。

例 已知點A（0，2）和拋物線y2=x+4上兩點B、C，使得AB⊥BC，求點C的縱坐標取值范圍。

設點B的坐標為（y21-4，y1）點C（y2-4，y），顯然y21-4≠0，故KAB=y1-2y21-4=1y1+2，由于AB⊥BC，∴KBC=-（y1+2），從而y-y1=-（y1+2）[x-（y21-4）]①，y2=x+4②，

由①②，消去x，注意到y(tǒng)≠y1，得（2+y1）（y+y1）+1=0，即y21+（2+y）y1+（2y+1）=0

由δ≥0，解得y≤0或y≥4.則當y=0時，B的坐標為（-3，-1）；當y=4時，B的坐標為（5，-3），均滿足題意。故點C的縱坐標取值范圍為（-∞，0]，[4，+∞）

三、 函數(shù)思想在數(shù)列中的應用

數(shù)列的通項公式就是一個函數(shù)表達式，當求數(shù)列的最大值最小值需要分析數(shù)列的函數(shù)性質，找準單調區(qū)間，或畫出圖像觀察最高點和最低點。在解決有些數(shù)列問題時，要找出題目與函數(shù)之間的關系，再運用函數(shù)的性質解題。

例 已知an=n-97n-98，則數(shù)列{an}的前30項中，最大項和最小項分別是

A. a1，a30 B. a1，a9

C. a10，a9D. a10，a3o

解：將an=n-97n-98分離常數(shù)得an=1+98-97n-98可以構造反比例函數(shù)f（x）=1+98-97x-98，則該函數(shù)圖像以點（1，98）為中心成中心對稱，則可知a9最小，a10最大

四、 函數(shù)思想在方程中的應用

函數(shù)與方程關系密切，函數(shù)y=f（x），當y=0時，就轉化為方程，可見函數(shù)與方程之間可以相互轉化。對于一般常規(guī)的方程可以直接求解，但是對于一些特殊的代數(shù)方程，超越方程，高次方程用一般的求解法難以奏效，因此要觀察方程，通過移項，換元，配方等將方程與函數(shù)結合起來，把方程轉化為函數(shù)的有關問題。

例 解方程（x+6）1999+x1999+2x+6=0

解：原方程可化為（x+6）1999+（x+6）=（-x）1999+（-x），利用等號兩邊的對稱性，可構造函數(shù)f（t）=t1999+t，故方程轉化為兩邊函數(shù)值相等f（x+6）=f（-x），根據(jù)f（x）在R上是遞增函數(shù)，把函數(shù)值相等轉化為自變量相等，即x+6=-x，可解得x=-3

函數(shù)是數(shù)學中主要的內容之一，是貫穿整個高中的一條主線，函數(shù)思想是最重要，最基本的數(shù)學思想之一，它的應用廣泛，與其他的數(shù)學思想方法（如數(shù)形結合，分類討論，化歸轉化等）存在著密切的聯(lián)系，除了上述以外，還可以應用于其他的分支，如立體幾何，最優(yōu)問題等。所以在教學過程中，老師應有意識的向學生滲透一些函數(shù)思想，用函數(shù)思想看待問題，這樣既可以讓學生對函數(shù)的性質與應用有更深刻的理解，也可以激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，激發(fā)數(shù)學的思維品質。解題時學生應仔細分析探究問題，注挖掘題目隱含的條件，構造出函數(shù)解析式然后運用函數(shù)思想去間接解決問題。

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作者簡介：

黃渝夏，四川省南充市，西華師范大學。