基于顏色讀數(shù)識別物質(zhì)濃度的數(shù)學(xué)模型研究

摘 要： 本文建立以二氧化硫濃度為因變量，以藍(lán)色顏色值、綠色顏色值、紅色顏色值、色調(diào)、飽和度為自變量的多元線性回歸模型，通過MATLAB軟件編程求解得二氧化硫的濃度與顏色讀數(shù)之間的多元線性回歸方程，將數(shù)據(jù)回代到回歸方程中求出理論的二氧化硫濃度，并與實(shí)際濃度進(jìn)行對比，運(yùn)用絕對誤差進(jìn)行誤差分析。通過減少不同二氧化硫濃度的數(shù)據(jù)量，再利用所求模型求解，并將不同數(shù)據(jù)量下模型的標(biāo)準(zhǔn)誤差進(jìn)行比較，同時在不同顏色維度（四維，三維，二維，一維）下分析對應(yīng)模型的決定系數(shù)，通過決定系數(shù)大小的比較來比較顏色維度對模型的影響。

關(guān)鍵詞： 物質(zhì)濃度；顏色讀數(shù)；多元回歸線性模型；決定系數(shù)

一、引言

比色法是通過比較或測量有色溶液物質(zhì)顏色來確定待測組含量的方法，如果是由人來觀測，這一方法在精度上受到很大影響。但隨著照相技術(shù)和顏色分辨率的提高，建立顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的數(shù)量關(guān)系這一想法就被提出，即只要輸入照片中的顏色讀數(shù)就能夠確定待測物質(zhì)的濃度。本文根據(jù)提供的不同二氧化硫濃度與顏色讀數(shù)的數(shù)據(jù)，對顏色讀數(shù)與物質(zhì)濃度之間的關(guān)系進(jìn)行了分析與探討，建立了顏色讀數(shù)與物質(zhì)濃度之間的數(shù)學(xué)模型，對模型進(jìn)行評價和誤差分析，并探討了數(shù)據(jù)量與顏色維度對模型的影響。

二、 模型建立

對提供的數(shù)據(jù)，建立以二氧化硫的濃度為被因變量y，以藍(lán)色顏色值x1、綠色顏色值x2、紅色顏色值x3、色調(diào)x4、飽和度x5顏色讀數(shù)為自變量的多元線性回歸模型

其中，a0，a1，a2，a3，a4，a5為待定系數(shù)，ε為由其他因素引起的隨機(jī)誤差。

三、模型的求解

通過運(yùn)行MATLAB腳本，得到因變量二氧化硫的濃度y與5個自變量的多元線性回歸方程為

通過運(yùn)行結(jié)果還可以得到?jīng)Q定系數(shù)R2=0.8996、F=34.0366以及該模型的殘差分析圖1 。可以得到：F=34.0366，設(shè)定顯著性水平α=0.05，查詢F檢驗(yàn)臨界值表，得到臨界F0.05（3，31）=4.51值（變量數(shù)目為5，樣本容量為25），因?yàn)镕>F0.05（3，31）=4.51，表明模型的線性關(guān)系在的置信水平下顯著成立。

從圖1中可以看出，殘差的置信區(qū)間基本包含零點(diǎn)，除第15個數(shù)據(jù)外，其余數(shù)據(jù)的殘差離零點(diǎn)均較近，這說明“二氧化硫”回歸模型能較好的擬合原始數(shù)據(jù)，而第15個數(shù)據(jù)可視為異常點(diǎn)。

四、模型的誤差分析

將數(shù)據(jù)代入模型進(jìn)行誤差分析。通過EXCEL軟件依次將藍(lán)色顏色值x1、綠色顏色值x2、紅色顏色值x3、色調(diào)x4、飽和度x5等實(shí)際顏色讀數(shù)代入計(jì)算分析得到不同物質(zhì)濃度的模擬值，再與數(shù)據(jù)中的實(shí)際值進(jìn)行相減操作，△y=y-yi，得到絕對誤差，計(jì)算結(jié)果如圖所示

通過表1，圖2研究分析得到，計(jì)算誤差值的絕對值 |△y|，以估計(jì)絕對誤差作為上限△ymax，得到最大的絕對誤差△ymax=38.5513，此△ymax稱為實(shí)際物質(zhì)濃度y的“絕對誤差限”。表明實(shí)際物質(zhì)濃度值和理論物質(zhì)濃度值的絕對值△y=|y-yi|越小，△y表示模擬數(shù)據(jù)值yi的精度越高。

五、數(shù)據(jù)量與顏色維度對模型的影響

1、數(shù)據(jù)量對模型的影響

根據(jù)建立的模型，利用EXCEL軟件和運(yùn)用公式 （E為誤差=測定值—真實(shí)值），計(jì)算二氧化硫的實(shí)際濃度和理論濃度之間的標(biāo)準(zhǔn)誤差w=16.1672，隨機(jī)將數(shù)據(jù)中的二氧化硫不同濃度下的組數(shù)都改為3組，算出標(biāo)準(zhǔn)誤差為w1=16.3727。同理將組數(shù)改為2、1組時，依次得到的標(biāo)準(zhǔn)誤差依次為w2=16.38450793，w3=20.9514。通過上述分析可得：w>w1>w2>w3，即當(dāng)二氧化硫不同濃度下的數(shù)據(jù)量減少時，誤差也變得越來越大。所以當(dāng)數(shù)據(jù)量越多時，模型的誤差越小。

2、顏色維度對模型的影響

通過對的數(shù)據(jù)的分析，探討顏色維度對模型的影響，發(fā)現(xiàn)缺少某些維度對物質(zhì)濃度影響不大，將數(shù)據(jù)中的R列數(shù)據(jù)表示為1，G列數(shù)據(jù)表示為2，B列數(shù)據(jù)表示為3，H列數(shù)據(jù)表示為4，S列數(shù)據(jù)表示為5，設(shè)R（i）為顏色維度。

運(yùn)用MATLAB軟件編程求得不同顏色維度下對應(yīng)的決定系數(shù)，再對同個維度的決定系數(shù)的平均值進(jìn)行求解，如下表：

由表2可知： R2（5）>R2（4）>R2（3）>R2（2）>R2（1）。所以當(dāng)維度越多時，模型對數(shù)據(jù)的擬合度越好；而維度越少時，模型對數(shù)據(jù)的擬合度越差。

六、結(jié)論

當(dāng)數(shù)據(jù)量減少時，模型誤差也變得越來越大；當(dāng)數(shù)據(jù)量越多時，模型的誤差相對越小。通過決定系數(shù)大小的比較來比較顏色維度對模型的影響，發(fā)現(xiàn)維度越多時，模型對數(shù)據(jù)的擬合度越好；而維度越少時，模型對數(shù)據(jù)的擬合度越差。

參考文獻(xiàn)

[1] 李艷嬌，多元線性回歸的MATLAB實(shí)現(xiàn)，常熟理工學(xué)院學(xué)報(bào)，28卷2期：49頁，2014年.

[2] 瞿國棟，誤差理論與數(shù)據(jù)處理，北京，科學(xué)出版社，2016年.

作者簡介：陳薇（1989.11.25），女，漢族，籍貫是湖北省咸寧市；2016年6月畢業(yè)于武漢理工大學(xué)，理學(xué)碩士，主要研究方向?yàn)閼?yīng)用數(shù)學(xué)；現(xiàn)供職于廣東嶺南職業(yè)技術(shù)學(xué)院，助教。