成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析常見題型研究

侯有岐(正高級(jí)教師 特級(jí)教師)

(陜西省漢中市四〇五學(xué)校)

成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析是高考概率與統(tǒng)計(jì)考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.這部分知識(shí)要求學(xué)生從過去的單變量觀察階段轉(zhuǎn)變到多變量的數(shù)據(jù)理性分析推斷階段,往往聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),以解決生產(chǎn)生活中的實(shí)際問題為背景,考查學(xué)生的必備品格與關(guān)鍵能力,深受命題者的青睞.本文對(duì)成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析考查的常見題型及解題策略進(jìn)行總結(jié).

1 成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性

例1(1)(多選題)下列各圖中,兩個(gè)變量x,y具有相關(guān)關(guān)系的是( ).

(2)已知變量x和y滿足關(guān)系式y(tǒng)＝－0.2x＋3,變量y與z正相關(guān),則下列結(jié)論中正確的是( ).

A.x與y正相 關(guān),x與z負(fù)相關(guān)

B.x與y正相關(guān),x與z正相關(guān)

C.x與y負(fù)相關(guān),x與z負(fù)相關(guān)

D.x與y負(fù)相關(guān),x與z正相關(guān)

(3)兩個(gè)變量y與x的回歸模型中,分別選擇了4個(gè)不同模型,它們的決定系數(shù)R2如下,其中擬合效果最好的模型是( ).

A.模型1的決定系數(shù)R2為0.98

B.模型2的決定系數(shù)R2為0.80

C.模型3的決定系數(shù)R2為0.50

D.模型4的決定系數(shù)R2為0.25

(2)因?yàn)閥＝－0.2x＋3的斜率小于0,故x與y負(fù)相關(guān).因?yàn)閥與z正相關(guān),可設(shè)z＝by＋a,b＞0,則z＝by＋a＝－0.2bx＋3b＋a,所以x與z負(fù)相關(guān),故選C.

(3)在兩個(gè)變量y與x的回歸模型中,它們的決定系數(shù)R2越接近1,模型擬合效果越好,在四個(gè)選項(xiàng)中A 的決定系數(shù)最大,所以擬合效果最好的是模型1.故選A.

1)散點(diǎn)圖法:如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)的圖像附近,那么變量之間有相關(guān)關(guān)系;如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近,那么變量之間有線性相關(guān)關(guān)系.

2)相關(guān)系數(shù)法:利用相關(guān)系數(shù)判定,|r|越趨近于1,相關(guān)性越強(qiáng).

3)決定系數(shù)法:利用決定系數(shù)判定,R2越接近1,模型的擬合效果越好,相關(guān)性越強(qiáng).

2 回歸方程的求法及回歸分析

例2某種機(jī)械設(shè)備隨著使用年限的增加,它的使用功能逐漸減退,使用價(jià)值逐年減少,通常把它使用價(jià)值逐年減少的“量”換算成費(fèi)用,稱之為“失效費(fèi)”.該種機(jī)械設(shè)備的使用年限x(單位:年)與失效費(fèi)y(單位:萬元)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1所示.

表1

由表1數(shù)據(jù)可知,可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明(精確到0.01).

參考公式:相關(guān)系數(shù)

因?yàn)閥與x的相關(guān)系數(shù)近似為0.99,所以y與x的線性相關(guān)程度相當(dāng)大,因此可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.

2)確定R2:

例3某高中生參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),對(duì)某公司1月份至6月份某種配件的銷售量及銷售單價(jià)進(jìn)行了調(diào)查,銷售單價(jià)x(單位:元)和銷售量y(單位:千件)之間的一組數(shù)據(jù)如表2所示.

表2

(1)根據(jù)1月份至5月份的數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的回歸直線方程;

(2)若由回歸直線方程得到的預(yù)報(bào)值與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差不超過0.5,則認(rèn)為此回歸直線方程是理想的,試問(1)中的回歸直線方程是否理想?

(2)由(1)知,當(dāng)x＝8 時(shí),14.4,此時(shí)有14.4－14.2＝0.2＜0.5,故可認(rèn)為(1)中所得到的回歸直線方程是理想的.

例4某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)x(單位:千元)對(duì)年銷售量y(單位:t)和年利潤(rùn)z(單位:千元)的影響.對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i＝1,2,…,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點(diǎn)圖(如圖1)及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

圖1

參考數(shù)據(jù):

(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及參考數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;

(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x,y的關(guān)系式為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題:

(ⅰ)年宣傳費(fèi)x＝49時(shí),年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)測(cè)值是多少?

(ⅱ)年宣傳費(fèi)x為何值時(shí),年利潤(rùn)的預(yù)測(cè)值最大?

附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

(1)由散點(diǎn)圖可以判斷,適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型.

所以y關(guān)于w的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為因此y關(guān)于x的回歸方程為

(3)(ⅰ)由(2)知,當(dāng)x＝49時(shí),年銷售量y的預(yù)測(cè)值,年利潤(rùn)z的預(yù)測(cè)值

2)利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè),把經(jīng)驗(yàn)回歸方程看作一次函數(shù),求函數(shù)值.

3)經(jīng)驗(yàn)回歸方程的擬合效果可以利用相關(guān)系數(shù)判斷,當(dāng)|r|越趨近于1時(shí),兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng).

3 獨(dú)立性檢驗(yàn)

例5(2022年全國(guó)甲卷文17)甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車均由A和B兩家公司運(yùn)營(yíng).為了解這兩家公司長(zhǎng)途客車的運(yùn)行情況,隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次,得到列聯(lián)表如表3所示.

表3

(1)根據(jù)表3,分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率;

(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)?

表4

(2)列聯(lián)表如表5所示.根據(jù)臨界值表可知,有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān).

表5

1)2個(gè)明確:明確兩類主體;明確研究的兩個(gè)問題.

2)2 個(gè)關(guān)鍵:準(zhǔn)確畫出2×2 列聯(lián)表;準(zhǔn)確求解K2.

縱觀近幾年高考的概率與統(tǒng)計(jì)試題,成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析占有相當(dāng)高的比重,而且命題形式也逐步趨于平穩(wěn),注重落實(shí)?中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系?中四層四翼的考核要求.試題命制背景多與生產(chǎn)生活實(shí)際緊密聯(lián)系,文字量大,信息多,對(duì)學(xué)生的閱讀理解能力、信息獲取能力和批判性思維能力有較高的要求.因此,筆者希望學(xué)生在復(fù)習(xí)中注重提高用數(shù)學(xué)概念、原理解讀具體問題和提煉有用信息的能力,強(qiáng)化運(yùn)算求解能力和統(tǒng)計(jì)推斷思維.

(完)