盤點二項式定理中的“系數(shù)”問題

鄧高宣

(湖北省恩施市第三高級中學(xué))

二項式定理在近幾年的高考中多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),涉及的題型主要有求展開式中的特定項、求特定項的系數(shù)、整除(求余)、求近似值等問題.本文就二項式定理中的“系數(shù)”問題加以歸類和解析.

1 利用二項展開式通項公式求特定項的系數(shù)

變式二項式的展開式中常數(shù)項為－20,則含x4項的系數(shù)為( ).

A.－6 B.－15 C.6 D.15

2 求多個二項式的和(或積)展開式中特定項的系數(shù)

例2(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)10展開式中x3的系數(shù)為_________.

例3(x＋y－2z)5的展開式中xy2z2的系數(shù)是( ).

A.120 B.－120 C.60 D.30

例4(x＋y)(2x－y)6的展開式中x4y3的系數(shù)為( ).

A.－80 B.－40 C.40 D.80

例5已 知(x＋1)6＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a6(x－1)6,則a2＝________.

(t＋2)6＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a6t6,故

3 求多項式展開式中各項的系數(shù)之和或某些項的系數(shù)之和

例6已知(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8,則a1＋a2＋…＋a7＝( ).

A.－2 B.－3 C.125 D.－131

變式已知(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5,則|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝_________.

4 求二項式展開式中系數(shù)最大的項

例7若展開式中前三項的二項式系數(shù)之和為79,求展開式中系數(shù)最大的項.

設(shè)Tk＋1項的系數(shù)最大,因為

解得9.4≤k≤10.4,又k＝1,2,…,12,所以k＝10,則展開式中系數(shù)最大的項為T11,故

變式若展開式中各項系數(shù)之和大于8,但小于32,則展開式中系數(shù)最大的項為________.

5 求二項式展開式中與系數(shù)有關(guān)的參數(shù)

例8已知(2＋ax)(1－2x)5的展開式中含x2項的系數(shù)為70,則實數(shù)a的值為( ).

A.1 B.－1

C.2 D.－2

由于(2＋ax)(1－2x)5＝2(1－2x)5＋ax(1－2x)5,據(jù)此可知含x2項的系數(shù)為

結(jié)合題意可知80－10a＝70,解得a＝1,故選A.

變式1若的二項展開式中x3的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

總之,對于二項式定理“系數(shù)”的考查,主要題型有求特定項的系數(shù)(二項式系數(shù))、求系數(shù)(二項式系數(shù))的最大(或最小)項、與系數(shù)有關(guān)的參數(shù)問題以及綜合應(yīng)用等.我們在解答與二項式定理系數(shù)有關(guān)的問題時,一般是先利用通項公式進(jìn)行化簡,根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)系式,然后再利用其他相關(guān)知識來求解.

(完)