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    直面相異構(gòu)想,調(diào)正轉(zhuǎn)化路徑

    2018-06-07 10:08楊文杰
    關(guān)鍵詞:轉(zhuǎn)化思想

    楊文杰

    【摘 要】學(xué)生在走進課堂之前,已經(jīng)擁有自然概念,具備解決問題的基本策略,以及解決問題過程中的自我監(jiān)控和調(diào)解能力都會對新知識的學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響。如“平行四邊形的面積”一課,學(xué)生基于長方形面積公式的經(jīng)驗習(xí)得,學(xué)生的元認知需要經(jīng)歷從“錯誤”的原初構(gòu)想到“正確”的最終認知調(diào)正過程。因此,教師在教學(xué)過程中可以先分析學(xué)生平行四邊形面積相異認知的形成原因,從各種調(diào)正路徑借鑒調(diào)正經(jīng)驗,尋求最利于學(xué)生認知建構(gòu)的調(diào)正路徑來達成相異構(gòu)想的調(diào)正。

    【關(guān)鍵詞】相異構(gòu)想;轉(zhuǎn)化思想;平行四邊形面積

    在幾何圖形的學(xué)習(xí)過程中,學(xué)生原有的經(jīng)驗?zāi)軐缀螌W(xué)習(xí)產(chǎn)生促進作用,但是也有可能產(chǎn)生一些負面影響。學(xué)生在解決新的問題時,可能會受到一些無關(guān)特征的影響,從而導(dǎo)致認知錯誤或者誤解,從而產(chǎn)生對新事物的錯誤認知,也就是對新知識的錯誤的相異構(gòu)想。在“平行四邊形的面積”一課教學(xué)中,很多學(xué)生產(chǎn)生平行四邊形的面積就是鄰邊相乘這樣的錯誤的相異構(gòu)想。而我們在教學(xué)中,要基于這樣的錯誤構(gòu)想,進行教學(xué)實踐,從而達到從“錯誤”到“正確”的調(diào)正目的。

    一、相異構(gòu)想產(chǎn)生的原因分析

    學(xué)生產(chǎn)生平行四邊形面積計算方法就是鄰邊相乘這樣錯誤的相異構(gòu)想,是受到以往知識概念、學(xué)習(xí)經(jīng)驗、心理因素等多種因素的影響。

    幾何視覺的錯誤判斷:我們知道長方形是特殊的平行四邊形,兩組對邊分別平行且相等。在觀察兩個性質(zhì)類似,大小、邊長等差距比較小的圖形時,學(xué)生的幾何視覺就直接認同了兩個圖形面積計算的相似性,有些學(xué)生則會直觀認為面積大小相等?!昂芟瘛焙汀罢鎸崱笔遣煌?,這部分學(xué)生僅僅憑借幾何視覺就定義了平行四邊形面積計算方法,從而導(dǎo)致產(chǎn)生錯誤的相異構(gòu)想。

    上位知識學(xué)習(xí)程度影響:平行四邊形面積的上位知識是面積的概念。歐幾里得幾何概念的建構(gòu)認為:學(xué)生學(xué)習(xí)面積概念是基于測量能力的發(fā)展,同時指出學(xué)生習(xí)得面積概念的發(fā)展形成于十五歲左右。受到個體心理發(fā)展差異的影響,五年級的有些兒童,測量能力還停留在長度和距離一維程度,無法建立二維層面上的測量。而在學(xué)習(xí)平行四邊形面積前,學(xué)生學(xué)習(xí)了長方形面積,所以簡單地把平行四邊形面積計算方法思考為“長×寬”。

    圖形運動觀念的缺乏:平行四邊形面積的計算公式推導(dǎo)過程是基于轉(zhuǎn)化的思想,而這個轉(zhuǎn)化其本質(zhì)是圖形的剪拼,也就是圖形的變換與運動。圖形的變換概念的形成也是源自學(xué)生的生活經(jīng)驗,針對這一內(nèi)容的學(xué)習(xí),學(xué)生不僅要具有圖形的直覺,而且要具有圖形會動的直覺。產(chǎn)生“S=ab”的錯誤相異構(gòu)想,并不是學(xué)生頭腦中無轉(zhuǎn)化思想,而是恰巧有了轉(zhuǎn)化的想法,卻存在著轉(zhuǎn)化過程中的錯誤。這個錯誤形成的原因主要是學(xué)生在轉(zhuǎn)化過程中缺乏圖形變換的經(jīng)驗,缺少對于圖形整體拼組過程中整體的運動的面積守恒的認識。

    幾何推理能力的不足:學(xué)生錯誤地把平行四邊形面積計算為鄰邊相乘,是學(xué)生幾何推理能力不足的體現(xiàn)。因為沒有一定的操作指導(dǎo)(學(xué)生對模型、圖形或表象進行思維操作),所以學(xué)生只能“直覺”對“空想”,這對于平行四邊形面積計算的推導(dǎo)是沒有根據(jù)的,所以產(chǎn)生錯誤的相異構(gòu)想也是情有可原的。這一階段兒童的幾何推理能力還不能脫離直觀的操作實驗,這也是我們教師在課堂上需要補足的短板。

    綜上分析,在平行四邊形面積的學(xué)習(xí)過程中,學(xué)生錯誤的相異構(gòu)想形成是基于學(xué)生在解決新問題中已經(jīng)有了初步的“轉(zhuǎn)化”意識,但缺乏嚴謹?shù)摹稗D(zhuǎn)化”方式(面積守恒),從而導(dǎo)致錯誤的轉(zhuǎn)化結(jié)果(S=ab)。

    二、相異構(gòu)想調(diào)正轉(zhuǎn)化的路徑

    基于學(xué)生的錯誤相異構(gòu)想,我們需要給學(xué)生提供診斷的調(diào)正路徑,引發(fā)學(xué)生的認知沖突,從而有效地根除學(xué)生的錯誤概念。當然借鑒別人的教學(xué)經(jīng)驗,選擇最優(yōu)的調(diào)正路徑,也不失為一種好的策略方法。以下筆者將從本節(jié)課的引入—調(diào)正—反饋來實現(xiàn)平行四邊形面積計算公式從“異”到“正”的調(diào)正目標。

    調(diào)正引入:不規(guī)則圖形面積比較,引入“轉(zhuǎn)化”思想

    生:一樣大。因為都有12格。

    師:你是通過數(shù)格子的方法來比較的是嗎?

    生:是的。

    師:一個圖形包含有幾個單位面積,面積就是多少。

    師:還有不同的方法進行比較的嗎?

    生:我是把圖形①中的那個凸出來的部分移到下面,正好變成了和圖形②一模一樣的長方形。所以它們的面積相等。

    師:(PPT動態(tài)演示)是的,這樣利用平移把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形是一個不錯的方法,在轉(zhuǎn)化的過程中,什么變了,什么沒變?

    生:形狀變了,面積沒變。周長變了。(生上臺手指)

    師:是的,像這樣經(jīng)過分割、移補后圖形的面積沒有改變,這也是數(shù)學(xué)中所說的“出入相補”原理。

    【設(shè)計意圖】學(xué)生的原有認知已經(jīng)有了轉(zhuǎn)化的意識,只是在轉(zhuǎn)化的過程中缺乏面積守恒的概念。為了弱化其他因素,特別是為了摒棄長方形面積公式的干擾,筆者借鑒蘇教版和北師大版教材的編排,用不規(guī)則圖形面積大小比較來引入學(xué)習(xí)。呈現(xiàn)格子圖的目的是為了讓學(xué)生的認知回歸到事物的原點,即面積的本質(zhì)屬性——單位面積的累加。分割、移補圖形的過程讓學(xué)生直面面積轉(zhuǎn)化“形變而積不變原理”,形成面積守恒的概念。

    調(diào)正初階:借助格子圖,回歸面積本質(zhì)的探索糾正

    師:同學(xué)們,我們也學(xué)過平行四邊形了,這個平行四邊形的面積是多少?

    生1:數(shù)格子,36平方厘米。

    師:你是怎么數(shù)的?

    生1:滿格是1平方厘米,超過半格的也是1平方厘米,不足半格的就忽略。

    師:你是用估計數(shù)的方法,還有其他數(shù)的方法嗎?

    生2:我數(shù)出來是35平方厘米,我發(fā)現(xiàn)左邊的那個不足1平方厘米的格子可以拼到右邊,正好是1格。

    師:我們一起來拼一拼(根據(jù)學(xué)生動手操作情況,幾何畫板呈現(xiàn)動畫過程)。這時候誰用一個算式來簡便地表示出長方形的面積?

    生:每行有7個,這樣的有5排,5×7=35(平方厘米)。

    師:你還有其他的想法嗎?

    生3:我也是像陳科航(生2)一樣的方法,只是我不是一格一格補的,我是一大塊移的(上臺移動,見右圖)。

    師:孫婷婷(生3)的想法你看得懂嗎?她這一剪拼,把平行四邊形變成了什么圖形?

    生:長方形。

    師:轉(zhuǎn)化的過程中,你發(fā)現(xiàn)什么變了,什么沒變。

    生:面積沒變,高也沒變;形狀變了,那一塊平移過來了。

    師:現(xiàn)在你能知道原來平行四邊形的面積嗎?

    生:35平方厘米,也就是算長方形的面積。

    師:還有其他不一樣的想法嗎?

    生4:我還可以對半剪開,再拼成一個長方形,面積也能算出來。

    生操作:

    師:這一個方法和剛才的方法有什么相同的地方,有什么不同的地方?

    生:都是轉(zhuǎn)化成了長方形。

    生:面積都一樣。

    生:也可以用算式7×5來快速算出面積。

    生:不一樣,剪的大小不一樣。

    師:剪的大小不一樣,怎么剪的?

    生:都是豎著剪的,但剪的地方不一樣,所以比剛才的三角形大了很多。

    師:豎著剪,那是沿著什么剪的?

    生:哦,都是沿著高剪的。

    師:我們剛才在格子圖的幫助下成功地計算出了平行四邊形的面積。這一學(xué)習(xí)過程,你有什么心得想和大家分享嗎?

    生:我們可以沿著高,把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形來計算面積。

    【設(shè)計意圖】圖形的運動想象是比較復(fù)雜的,特別是二維圖形的組合。而格子圖其實就是單位面積,借助格子圖進行操作實驗,是一把很好的輔助梯。學(xué)生可以借助格子圖產(chǎn)生多種剪拼方法,例如生2的想法,就是單位面積的累加,是一種回歸面積本質(zhì)的想法;例如生4的想法,是大板塊的拼組,在這個過程中,學(xué)生必須分離出更抽象的格子結(jié)構(gòu)進行拼組,說明學(xué)生的思維經(jīng)過前面的輔助已經(jīng)開始慢慢脫離了背景的限制。這一環(huán)節(jié)的調(diào)正過程,學(xué)生已經(jīng)明白了平行四邊形的面積與斜邊無關(guān)。

    調(diào)正進階:從特殊到一般,發(fā)展幾何推理能力

    操作探究1:剛才,我們借助格子圖來計算平行四邊形的面積?,F(xiàn)在老師給每個小組一些平行四邊形,你們?nèi)ハ朕k法求出它們的面積。(學(xué)具:底邊7cm,高3cm,斜邊5cm;底邊10cm,高3cm,斜邊5cm)

    生小組合作探究,教師巡視。

    匯報:(通過剪拼成長方形)第一個面積是21平方厘米,第二個面積是30平方厘米。

    師:計算了三個平行四邊形的面積,你覺得平行四邊形的面積和什么有關(guān)?

    生:與高有關(guān),與底有關(guān),與長方形有關(guān)。

    師:與長方形有什么關(guān)系?

    生:求平行四邊形的面積,其實是轉(zhuǎn)化成長方形的面積,長方形的寬就是平行四邊形的高,長方形的長就是平行四邊形的底。

    師:與斜邊無關(guān)。

    操作探究2:提供一個標有字母的平行四邊形,利用字母進行面積公式推導(dǎo)。

    師: 如果用 S 表示平行四邊形的面積, 用 a表示平行四邊形的底, 用 h表示平行四邊形的高, 平行四邊形面積的計算公式你會表示嗎?

    生: S等于a乘 h。根據(jù)學(xué)生回答板書:

    長方形面積 = 長 × 寬

    平行四邊形面積 = 底 × 高

    【設(shè)計意圖】學(xué)生的幾何推理能力發(fā)展需要經(jīng)歷想象、思考、操作、計算等過程。這一調(diào)正過程中學(xué)材的選擇從具象到抽象,從特殊到一般,最后到用字母進行公式推理。在對比中強化辯證,理清平行四邊形的面積=底×高,與斜邊無關(guān)。這一過程不僅是學(xué)生相異構(gòu)想的調(diào)正過程,更是幾何推理能力鍛煉與發(fā)展的過程。

    調(diào)正反饋:尋找反例,從變化的角度看問題

    練習(xí)活動1:下面的平行四邊形面積相等嗎?

    練習(xí)活動2:活動平行四邊形的拉升過程,你有什么發(fā)現(xiàn)?

    反饋:什么沒變?平行四邊形的面積怎么變化?為什么?

    【設(shè)計意圖】學(xué)生相異構(gòu)想調(diào)正后,設(shè)計反饋的練習(xí),可以是正強化,也可以是反例強化。練習(xí)活動1是再次在變與不變中感受等底等高的平行四邊形的面積相等,平行四邊形的面積與斜邊無關(guān),同時面積相等的平行四邊形的形狀可能不同。練習(xí)活動2的設(shè)計目的是為了讓學(xué)生在反例中明白,底邊和斜邊相等的平行四邊形的面積不一定相等,原因是高不相等;同時滲透極限思想——隨著高的變小,面積越來越小,最終趨向于0。

    學(xué)生相異構(gòu)想的形成是基于其知識結(jié)構(gòu)、思維能力和活動經(jīng)驗的。通過分析其相異構(gòu)想形成的原因,針對形成原因進行調(diào)正路徑的學(xué)習(xí)和分析,借鑒前人的活動經(jīng)驗,設(shè)計有針對性的引入環(huán)節(jié),可操作性的調(diào)正活動,有探究性的調(diào)正過程,有正反兩方強化的反饋練習(xí),能幫助學(xué)生糾正錯誤的想法,提高學(xué)生的推理能力,豐富數(shù)學(xué)的活動經(jīng)驗。

    參考資料:

    [1]楊靈君、陳慶憲.回歸認知本真 關(guān)注自主經(jīng)歷——“平行四邊形的面積”教學(xué)實錄與評析[J].小學(xué)教學(xué)(數(shù)學(xué)版),2013(12):22-24.

    [2]李幫魁.簡單之中見豐厚——特級教師姜錫春執(zhí)教“平行四邊形的面積”教學(xué)賞析[J].教育科學(xué)論壇,2013(10):46-47.

    [3]沈燕.基于學(xué)生,為了學(xué)生———賁友林老師“平行四邊形的面積計算”教學(xué)賞析[J].小學(xué)教學(xué)(數(shù)學(xué)版),2015(6):70-73.

    [4]潘小明.數(shù)學(xué)思維的發(fā)展不是空洞的——“平行四邊形的面積”教學(xué)實踐及思考[J].人民教育(教學(xué)),2012(12):34-37.

    [注:本文為浙江省教育規(guī)劃課題2018SC086“小學(xué)數(shù)學(xué)相異構(gòu)想調(diào)正策略的研究——以圖形與幾何(測量)為例”的階段性成果之一。]

    (浙江省余姚市梨洲小學(xué) 315400)

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