• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    “圓面積公式”的誤教與修正

    2018-06-07 10:08郜舒竹
    關(guān)鍵詞:圓面積重組

    郜舒竹

    【摘 要】在小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中,教師對(duì)“圓面積”的學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)存在著誤教現(xiàn)象。主要反映為在不是長(zhǎng)方形的圖形中,使用長(zhǎng)方形面積公式。通過(guò)歷史考察尋找到誤教現(xiàn)象的歷史淵源,并對(duì)其進(jìn)行了修正。

    【關(guān)鍵詞】圓面積;誤教;重組;變教為學(xué)

    小學(xué)數(shù)學(xué)課程中,“圓面積公式”的學(xué)習(xí)通常安排在小學(xué)五年級(jí)或者六年級(jí),是在已經(jīng)學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形(包括正方形)、平行四邊形、三角形、梯形面積公式以及圓的周長(zhǎng)公式之后學(xué)習(xí)的內(nèi)容。學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)的基本思路是“化未知為已知”,即將圓形通過(guò)“剪”與“拼”的過(guò)程,改變成為一個(gè)面積相等的長(zhǎng)方形,而后利用長(zhǎng)方形面積公式推導(dǎo)出圓面積公式。這樣的方法通常叫作“重組(Rearrangement)”,也就是把圓形剪開(kāi)之后重新組合、重新安排的意思。

    重組過(guò)程初看起來(lái),是將圓形轉(zhuǎn)化為學(xué)生已經(jīng)熟悉的圖形,而后利用學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行新知識(shí)的學(xué)習(xí),是符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的。但在教科書(shū)以及實(shí)際教學(xué)中,卻存在著違背數(shù)學(xué)邏輯規(guī)律的誤教(Mis-Teaching)現(xiàn)象,進(jìn)而導(dǎo)致學(xué)生對(duì)圓面積公式推導(dǎo)過(guò)程存在疑惑與誤解(Misunderstanding)。

    一、“因?yàn)橄?,所以是”的推?/p>

    在實(shí)際教學(xué)中,“重組”的過(guò)程通常是先將一個(gè)圓形等分為若干扇形,而后將這些扇形剪開(kāi)后,重組為一個(gè)形如長(zhǎng)方形的圖形,這樣的圖形可以稱(chēng)為“準(zhǔn)長(zhǎng)方形(Quasi-Rectangular)”,指的是形狀像長(zhǎng)方形,但并不是真的長(zhǎng)方形。比如,首先將圓形等分為四個(gè)扇形,而后重組為一個(gè)準(zhǔn)長(zhǎng)方形(見(jiàn)圖1)。

    進(jìn)一步可以將等分的扇形數(shù)量增加,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)分割出來(lái)的扇形越多,每一份就會(huì)越小,因此重組出來(lái)的準(zhǔn)長(zhǎng)方形的形狀就會(huì)更接近真正的長(zhǎng)方形。比如六等分之后的圖形為圖2所示形式。

    類(lèi)似的,還可以更加細(xì)化為八等分、十六等分等等。十六等分后重組的準(zhǔn)長(zhǎng)方形為圖3所示形式。

    以上過(guò)程中可以發(fā)現(xiàn)三個(gè)事實(shí):第一是面積不變,無(wú)論怎樣分割,重組的準(zhǔn)長(zhǎng)方形的面積與分割前的圓形面積相等;第二是邊長(zhǎng)不變,無(wú)論怎樣分割,重組的準(zhǔn)長(zhǎng)方形的“長(zhǎng)”都等于圓周長(zhǎng)的一半,“寬”的長(zhǎng)度等于圓半徑;第三是形狀變化,等分的扇形越多,扇形就越小,重組的準(zhǔn)長(zhǎng)方形的形狀越來(lái)越接近真正的長(zhǎng)方形。

    在人教版六年級(jí)上冊(cè)中,用圖4形式呈現(xiàn)出以上事實(shí),而后就推理出可以利用長(zhǎng)方形面積公式得到圓形面積公式。即用長(zhǎng)方形的長(zhǎng)(圓周長(zhǎng)的一半)與長(zhǎng)方形的寬(圓半徑)相乘。

    這樣的設(shè)計(jì)容易產(chǎn)生的誤解是,在一個(gè)不是長(zhǎng)方形的準(zhǔn)長(zhǎng)方形上使用長(zhǎng)方形面積公式,因而自然會(huì)產(chǎn)生如下的疑惑:

    l 無(wú)論將圓形分割為多少份扇形,重組出來(lái)的都是準(zhǔn)長(zhǎng)方形。

    l 無(wú)論準(zhǔn)長(zhǎng)方形與真正的長(zhǎng)方形多么接近,也不是真正的長(zhǎng)方形。

    l 既然不是真正的長(zhǎng)方形,為什么能夠使用長(zhǎng)方形面積公式呢?

    這樣的疑惑是真實(shí)并且合理的,反映出關(guān)于圓面積學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)本身就存在著邏輯上的漏洞。具體反映為一個(gè)明顯錯(cuò)誤的因果推理,也即因?yàn)閳D4左側(cè)的準(zhǔn)長(zhǎng)方形形狀與右側(cè)的長(zhǎng)方形接近,所以可以利用長(zhǎng)方形面積公式。

    這種“因?yàn)橄瘢允恰钡耐评碓谶壿嬌鲜遣怀闪⒌?,“像”并不能成為“是”的充分條件,正如從“貓像老虎”不能推理出“貓是老虎”的結(jié)論。這樣的邏輯漏洞,使得小學(xué)階段圓面積教學(xué)實(shí)質(zhì)是一種誤教。為了厘清用重組方法推導(dǎo)圓面積公式的真實(shí)過(guò)程,有必要對(duì)這一方法的歷史淵源進(jìn)行考察。

    二、重組方法的歷史考察

    論及使用“重組”方法推導(dǎo)圓面積公式的早期歷史文獻(xiàn),是美國(guó)數(shù)學(xué)家史密斯·大衛(wèi)·尤金(Smith David Eugene,1860~1944)與日本數(shù)學(xué)家合作編寫(xiě),并于1914年在美國(guó)芝加哥出版的《日本數(shù)學(xué)史》。該書(shū)第131頁(yè)介紹了由日本學(xué)者Sato Moshun所著,于1698年出版的《Tengen Shinan》的日文古籍中的方法[1](見(jiàn)圖5)。

    其中的重組過(guò)程與如今教科書(shū)中的方法基本相同,是將圓形等分為32個(gè)扇形,其中黑色16個(gè),白色16個(gè)。將這32個(gè)扇形重組為與圓形面積相同的準(zhǔn)長(zhǎng)方形,長(zhǎng)方形兩條邊長(zhǎng)度分別為圓周長(zhǎng)的一半和圓半徑,二者相乘即得到圓面積。但書(shū)中對(duì)重組過(guò)程沒(méi)有給出任何解釋?zhuān)纱丝闯鲞@樣的邏輯漏洞是有歷史淵源的。

    三、誤教的修正

    就職于美國(guó)科羅拉多大學(xué)的工程學(xué)教授彼得·貝克曼(Peter Beckmann,1924~1993),于1976年出版了一本《圓周率的歷史》的書(shū),其中也提及了日本古籍中的這一方法,書(shū)中用無(wú)限過(guò)程中“不變量(Invariant)”的思想,對(duì)重組方法的合理性進(jìn)行了解釋[2]。解釋過(guò)程中利用了圖6所示的(a)(b)(c)(d)四個(gè)圖形。

    首先將圖6中圓形(a)等分為黑色陰影扇形,剪開(kāi)后依次排列,而后用四個(gè)完全相同的白色扇形補(bǔ)齊,形成一個(gè)準(zhǔn)長(zhǎng)方形(b)。這個(gè)準(zhǔn)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別等于圓周長(zhǎng)和圓半徑,面積等于圓面積的2倍。

    如果等分的扇形更多,那么重組后的準(zhǔn)長(zhǎng)方形的形狀就會(huì)越來(lái)越接近真正的長(zhǎng)方形,但是邊的長(zhǎng)度和圖形面積是不會(huì)改變的。如果將這樣細(xì)分的過(guò)程不停地做下去,準(zhǔn)長(zhǎng)方形就會(huì)無(wú)限趨近于真正的長(zhǎng)方形(d),而邊的長(zhǎng)度和圖形面積仍然保持不變。

    從圖6中(b)變化到(c),準(zhǔn)長(zhǎng)方形形狀改變了,而且隨著分割份數(shù)的增加,準(zhǔn)長(zhǎng)方形形狀越來(lái)越接近真正的長(zhǎng)方形(d),但邊長(zhǎng)和面積保持不變。這種不變量的存在,反映出變化過(guò)程的穩(wěn)定性。正是這樣的穩(wěn)定性,有理由推斷出真正的長(zhǎng)方形(d)的邊長(zhǎng)與前面準(zhǔn)長(zhǎng)方形(b)和(c)對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度都是一樣的,也就是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓周長(zhǎng),寬等于圓半徑。利用長(zhǎng)方形面積公式就可以得到圖形(d)的面積。同樣利用面積的不變量特征,反過(guò)來(lái)就可以得到圖形(c)和(b)的面積,進(jìn)而得到圓(a)的面積是前面各個(gè)圖形面積的一半。

    這個(gè)解釋實(shí)際上應(yīng)用了高等數(shù)學(xué)中極限理論的一個(gè)基本定理:“常量的極限保持不變?!逼浯笾潞x是一個(gè)具有無(wú)窮項(xiàng)的序列,如果其中的每一項(xiàng)都保持不變,那么這個(gè)序列就無(wú)限趨近于一個(gè)唯一確定的結(jié)果,而且這個(gè)結(jié)果與序列中保持不變的項(xiàng)是一樣的。

    重組方法中無(wú)論把圓形等分為多少個(gè)扇形,份數(shù)的變化導(dǎo)致的是重組后準(zhǔn)長(zhǎng)方形形狀的變化,而邊的長(zhǎng)度和面積都保持不變,因此隨著等分份數(shù)的增加,就可以依次把重組后的準(zhǔn)長(zhǎng)方形看作一個(gè)無(wú)窮序列。這個(gè)序列中不斷改變的是準(zhǔn)長(zhǎng)方形的形狀,這個(gè)形狀無(wú)限趨近于真正的長(zhǎng)方形。而其中每一個(gè)準(zhǔn)長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)和面積都是保持不變的,因此這個(gè)序列最終指向的結(jié)果是一個(gè)唯一確定的真實(shí)長(zhǎng)方形,這個(gè)長(zhǎng)方形與前面序列中準(zhǔn)長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)和面積都一樣。所以可以運(yùn)用長(zhǎng)方形面積公式求得圓面積。依據(jù)這種“形變量不變”的解釋?zhuān)瑘A面積公式的學(xué)習(xí)過(guò)程至少包括三個(gè)階段:

    第一是“分割與重組”,引導(dǎo)學(xué)生將一個(gè)圓形等分為若干扇形,然后重組為準(zhǔn)長(zhǎng)方形的活動(dòng)。

    第二是“觀察與想象”,將不同份數(shù)的準(zhǔn)長(zhǎng)方形依次排列后進(jìn)行觀察,隨著等分的扇形數(shù)量的不斷增加,想象準(zhǔn)長(zhǎng)方形的形狀是如何變化的,哪些數(shù)量是保持不變的(見(jiàn)圖7)。

    第三是“推理與計(jì)算”,在前面觀察與想象的基礎(chǔ)上,在無(wú)限趨近于真實(shí)長(zhǎng)方形的基礎(chǔ)上使用長(zhǎng)方形面積公式,通過(guò)計(jì)算推導(dǎo)出圓面積公式。

    這樣的過(guò)程在原來(lái)基礎(chǔ)上,增加了對(duì)準(zhǔn)長(zhǎng)方形序列中邊長(zhǎng)與面積保持不變的觀察活動(dòng),體驗(yàn)了從準(zhǔn)長(zhǎng)方形到真實(shí)長(zhǎng)方形的質(zhì)量互變過(guò)程,經(jīng)歷了在運(yùn)動(dòng)與變化過(guò)程中尋找不變的過(guò)程。同時(shí),長(zhǎng)方形面積公式是在真實(shí)長(zhǎng)方形上使用,而不是在準(zhǔn)長(zhǎng)方形上使用。進(jìn)而也就避免了“因?yàn)橄?,所以是”的推理,使得誤教得到了修正。

    “變教為學(xué)”的教學(xué)改革,期望課堂教學(xué)從“教為中心”改變?yōu)椤皩W(xué)為中心”,讓學(xué)生親歷親為地經(jīng)歷學(xué)習(xí)過(guò)程中的活動(dòng)。這就需要教師從“講解”為主的教法,改變?yōu)椤耙龑?dǎo)”為主的教法。這種“引導(dǎo)”的設(shè)計(jì)一方面應(yīng)當(dāng)符合學(xué)生認(rèn)知水平,另一方面還要符合知識(shí)自身的邏輯規(guī)律。切莫讓引導(dǎo)變成誤導(dǎo),讓教學(xué)變成誤教。

    參考文獻(xiàn):

    [1]Smith David Eugene,Mikami Yoshio. A History of Japanese Mathematics[M].Chicago: Open Court Publishing,1914:130-132.

    [2]Beckmann Peter. A History of Pi[M]. St. Martin's Griffin,1976:36-39.

    (首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048)

    猜你喜歡
    圓面積重組
    如何讓學(xué)生想到將圓等分成扇形來(lái)推導(dǎo)圓面積公式
    試求證圓面積與周長(zhǎng)的關(guān)系
    試論ERP環(huán)境下的會(huì)計(jì)業(yè)務(wù)流程重組
    試論ERP環(huán)境下的會(huì)計(jì)業(yè)務(wù)流程重組
    小學(xué)數(shù)學(xué)“圓面積”教學(xué)的實(shí)踐探索
    關(guān)于一道數(shù)學(xué)題解答方法的探討
    圓柱表面積的另一種求法
    用物理方法推導(dǎo)圓面積公式
    日日夜夜操网爽| 欧美一级a爱片免费观看看| 99久久99久久久精品蜜桃| 夜夜看夜夜爽夜夜摸| 最新中文字幕久久久久| 国产精品久久久久久人妻精品电影| 性色avwww在线观看| 日韩欧美精品免费久久 | 久9热在线精品视频| 成人18禁在线播放| 久久久久国产精品人妻aⅴ院| 午夜福利高清视频| 老汉色av国产亚洲站长工具| 亚洲国产色片| a级一级毛片免费在线观看| 亚洲 欧美 日韩 在线 免费| 久久久久久久久久黄片| 亚洲成av人片免费观看| 国产色婷婷99| 国产一级毛片七仙女欲春2| 色综合亚洲欧美另类图片| 成人午夜高清在线视频| 精品日产1卡2卡| 亚洲一区二区三区不卡视频| 久久欧美精品欧美久久欧美| 黄色视频,在线免费观看| 国产精品美女特级片免费视频播放器| 中文字幕久久专区| 久久久久久九九精品二区国产| 国产精品一区二区三区四区久久| 国产精华一区二区三区| 最新美女视频免费是黄的| 在线观看66精品国产| 国产精品香港三级国产av潘金莲| 一边摸一边抽搐一进一小说| 男女那种视频在线观看| 一进一出抽搐gif免费好疼| 亚洲精品美女久久久久99蜜臀| 桃红色精品国产亚洲av| 啦啦啦观看免费观看视频高清| 国产亚洲精品久久久久久毛片| 久久婷婷人人爽人人干人人爱| 欧美在线一区亚洲| av黄色大香蕉| 国内精品美女久久久久久| 18禁国产床啪视频网站| 国产淫片久久久久久久久 | 久久精品国产综合久久久| 亚洲精品亚洲一区二区| 一个人免费在线观看电影| 国产69精品久久久久777片| 韩国av一区二区三区四区| 波多野结衣高清无吗| 久久香蕉国产精品| 在线免费观看不下载黄p国产 | 黑人欧美特级aaaaaa片| 午夜福利高清视频| 国产黄色小视频在线观看| 欧美中文日本在线观看视频| 久久精品亚洲精品国产色婷小说| 在线观看一区二区三区| 99riav亚洲国产免费| 中文在线观看免费www的网站| 亚洲专区国产一区二区| 天堂动漫精品| 午夜精品在线福利| 亚洲欧美日韩高清在线视频| 我的老师免费观看完整版| 一二三四社区在线视频社区8| 99在线视频只有这里精品首页| 淫妇啪啪啪对白视频| 午夜福利在线观看免费完整高清在 | 亚洲精品一区av在线观看| 久久精品国产综合久久久| 欧美乱码精品一区二区三区| 亚洲 欧美 日韩 在线 免费| 好男人电影高清在线观看| 12—13女人毛片做爰片一| 亚洲乱码一区二区免费版| 一级a爱片免费观看的视频| 好男人电影高清在线观看| 麻豆久久精品国产亚洲av| 好男人电影高清在线观看| 午夜福利欧美成人| 热99在线观看视频| 在线免费观看的www视频| 中文字幕熟女人妻在线| 俄罗斯特黄特色一大片| 亚洲av一区综合| 嫁个100分男人电影在线观看| 在线观看日韩欧美| 日本在线视频免费播放| 少妇熟女aⅴ在线视频| 在线观看一区二区三区| 久久午夜亚洲精品久久| 久久精品国产综合久久久| 日韩成人在线观看一区二区三区| 在线观看午夜福利视频| 国产在线精品亚洲第一网站| 久久欧美精品欧美久久欧美| 99久久无色码亚洲精品果冻| 啦啦啦观看免费观看视频高清| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站| 亚洲av日韩精品久久久久久密| 国内精品久久久久久久电影| 免费无遮挡裸体视频| 国产伦精品一区二区三区视频9 | 国产亚洲精品一区二区www| 色在线成人网| 午夜老司机福利剧场| 精品久久久久久久久久免费视频| 欧美又色又爽又黄视频| 嫩草影院入口| 高潮久久久久久久久久久不卡| 国产乱人视频| 亚洲欧美日韩卡通动漫| 人妻丰满熟妇av一区二区三区| ponron亚洲| 露出奶头的视频| 99久国产av精品| 久久国产精品影院| 9191精品国产免费久久| 日韩成人在线观看一区二区三区| 嫁个100分男人电影在线观看| 精品国内亚洲2022精品成人| 丁香欧美五月| 国产成人影院久久av| 脱女人内裤的视频| 村上凉子中文字幕在线| 国产精华一区二区三区| 国产精品99久久久久久久久| 欧美bdsm另类| 亚洲欧美日韩高清专用| 国产精品99久久久久久久久| 国产成年人精品一区二区| 精品一区二区三区视频在线 | 夜夜爽天天搞| 免费一级毛片在线播放高清视频| 一区福利在线观看| 欧美日韩一级在线毛片| www日本在线高清视频| 99久久精品热视频| 非洲黑人性xxxx精品又粗又长| 伊人久久精品亚洲午夜| 日韩欧美一区二区三区在线观看| 美女 人体艺术 gogo| 伊人久久精品亚洲午夜| АⅤ资源中文在线天堂| 亚洲av不卡在线观看| 国产精品久久久久久久电影 | 亚洲最大成人中文| 久久精品影院6| 欧美色欧美亚洲另类二区| www日本在线高清视频| 国产91精品成人一区二区三区| 欧美日韩福利视频一区二区| 网址你懂的国产日韩在线| www.999成人在线观看| 免费在线观看亚洲国产| 国产亚洲精品久久久久久毛片| 国产三级黄色录像| 成人18禁在线播放| 日本与韩国留学比较| 色播亚洲综合网| 午夜精品一区二区三区免费看| 女人高潮潮喷娇喘18禁视频| 青草久久国产| 欧美精品啪啪一区二区三区| 久久香蕉国产精品| 午夜福利成人在线免费观看| 大型黄色视频在线免费观看| 亚洲欧美一区二区三区黑人| 窝窝影院91人妻| 美女大奶头视频| www.www免费av| 成人精品一区二区免费| 免费电影在线观看免费观看| 成年女人毛片免费观看观看9| 全区人妻精品视频| 国产精品自产拍在线观看55亚洲| av黄色大香蕉| 无遮挡黄片免费观看| 欧美xxxx黑人xx丫x性爽| 日日摸夜夜添夜夜添小说| 少妇人妻一区二区三区视频| 麻豆成人午夜福利视频| 国产精品1区2区在线观看.| 国产精品三级大全| 欧美国产日韩亚洲一区| 人人妻人人澡欧美一区二区| 亚洲精品久久国产高清桃花| 免费看光身美女| 国产精品久久久久久精品电影| 熟女人妻精品中文字幕| 亚洲人成网站在线播放欧美日韩| 男女之事视频高清在线观看| 成人精品一区二区免费| 97超视频在线观看视频| 亚洲人成网站在线播| 色哟哟哟哟哟哟| 亚洲av一区综合| 国产精品一区二区免费欧美| 国产三级在线视频| 中国美女看黄片| 午夜免费男女啪啪视频观看 | 国产激情欧美一区二区| 91麻豆精品激情在线观看国产| bbb黄色大片| 色老头精品视频在线观看| 波多野结衣高清作品| 99久国产av精品| 我的老师免费观看完整版| 成人午夜高清在线视频| 可以在线观看毛片的网站| 男女下面进入的视频免费午夜| 日韩亚洲欧美综合| 婷婷亚洲欧美| 制服丝袜大香蕉在线| 最新在线观看一区二区三区| 亚洲无线观看免费| 人人妻,人人澡人人爽秒播| 一二三四社区在线视频社区8| 日日干狠狠操夜夜爽| 国产单亲对白刺激| 亚洲色图av天堂| 免费看a级黄色片| 中文字幕人妻丝袜一区二区| 男插女下体视频免费在线播放| www.www免费av| 内地一区二区视频在线| 亚洲无线观看免费| 国产三级中文精品| 日韩欧美三级三区| 亚洲国产精品成人综合色| 国产精品亚洲av一区麻豆| 欧美日本视频| 一进一出抽搐gif免费好疼| 国产精品一及| 免费大片18禁| 久久九九热精品免费| 亚洲欧美日韩高清在线视频| 丰满的人妻完整版| www国产在线视频色| 两个人的视频大全免费| 久久久久国内视频| 又黄又爽又免费观看的视频| 在线观看美女被高潮喷水网站 | 午夜日韩欧美国产| 丰满的人妻完整版| 一卡2卡三卡四卡精品乱码亚洲| 人妻夜夜爽99麻豆av| 母亲3免费完整高清在线观看| 亚洲国产欧美网| 18禁国产床啪视频网站| 精品午夜福利视频在线观看一区| 人人妻人人澡欧美一区二区| 美女 人体艺术 gogo| 国产精品久久久久久久电影 | 国产99白浆流出| а√天堂www在线а√下载| 免费一级毛片在线播放高清视频| 五月玫瑰六月丁香| 精品久久久久久久久久久久久| 女人高潮潮喷娇喘18禁视频| 在线免费观看不下载黄p国产 | 欧美最新免费一区二区三区 | 色噜噜av男人的天堂激情| 男人和女人高潮做爰伦理| 欧美激情久久久久久爽电影| 欧美一区二区亚洲| 在线播放无遮挡| 亚洲熟妇中文字幕五十中出| 亚洲国产中文字幕在线视频| 3wmmmm亚洲av在线观看| 国产69精品久久久久777片| 欧美一区二区精品小视频在线| 中国美女看黄片| 内射极品少妇av片p| 色综合站精品国产| 99久久精品一区二区三区| 免费av毛片视频| 久久精品国产99精品国产亚洲性色| 亚洲成人久久性| 日本 欧美在线| 久久精品亚洲精品国产色婷小说| 国产精品精品国产色婷婷| 欧美一级a爱片免费观看看| 99久久精品热视频| 国产精品 欧美亚洲| 久久国产乱子伦精品免费另类| 在线观看日韩欧美| 一区二区三区高清视频在线| 日韩亚洲欧美综合| 国产一区二区三区视频了| 中亚洲国语对白在线视频| 99国产精品一区二区三区| 亚洲无线在线观看| 中文字幕久久专区| 十八禁网站免费在线| av黄色大香蕉| 国产欧美日韩一区二区三| 国产单亲对白刺激| av中文乱码字幕在线| 国产真实乱freesex| 亚洲中文字幕日韩| 亚洲精品久久国产高清桃花| 在线观看免费视频日本深夜| www.www免费av| 欧美不卡视频在线免费观看| 久久久久久大精品| 亚洲国产中文字幕在线视频| 欧美日韩综合久久久久久 | 欧美激情在线99| 亚洲国产中文字幕在线视频| 亚洲中文字幕一区二区三区有码在线看| 亚洲性夜色夜夜综合| 少妇人妻精品综合一区二区 | 午夜老司机福利剧场| 精品人妻一区二区三区麻豆 | 国产av在哪里看| 亚洲av一区综合| 一卡2卡三卡四卡精品乱码亚洲| 亚洲国产日韩欧美精品在线观看 | 亚洲第一欧美日韩一区二区三区| 精品电影一区二区在线| 一本一本综合久久| 久久香蕉精品热| 国产精品久久视频播放| 精品不卡国产一区二区三区| www.www免费av| 黄色成人免费大全| 精品久久久久久久末码| 在线观看免费视频日本深夜| 黄片大片在线免费观看| 国产99白浆流出| 亚洲五月婷婷丁香| 精品国产亚洲在线| 国产欧美日韩一区二区精品| 久久久久久人人人人人| 狂野欧美白嫩少妇大欣赏| 日韩欧美 国产精品| a在线观看视频网站| 国语自产精品视频在线第100页| 男女之事视频高清在线观看| 久久精品亚洲精品国产色婷小说| 18禁美女被吸乳视频| 又黄又粗又硬又大视频| av视频在线观看入口| 伊人久久精品亚洲午夜| 丝袜美腿在线中文| 欧美日韩精品网址| 精品久久久久久久末码| 久久香蕉精品热| 在线观看午夜福利视频| 成年女人看的毛片在线观看| tocl精华| 午夜福利高清视频| 免费在线观看成人毛片| 日本与韩国留学比较| 成年免费大片在线观看| 搡老岳熟女国产| 国产精品亚洲av一区麻豆| 久久人人精品亚洲av| 夜夜夜夜夜久久久久| 亚洲真实伦在线观看| 在线免费观看不下载黄p国产 | 身体一侧抽搐| 精品一区二区三区视频在线 | 亚洲第一欧美日韩一区二区三区| 少妇丰满av| 校园春色视频在线观看| 国产免费av片在线观看野外av| 法律面前人人平等表现在哪些方面| 色噜噜av男人的天堂激情| 亚洲av电影不卡..在线观看| 一a级毛片在线观看| 欧美极品一区二区三区四区| 久久精品国产亚洲av香蕉五月| 成人18禁在线播放| 88av欧美| 啦啦啦韩国在线观看视频| 亚洲内射少妇av| 脱女人内裤的视频| 国产一区二区亚洲精品在线观看| 看片在线看免费视频| 国产一区二区激情短视频| 99久久精品一区二区三区| 成人特级av手机在线观看| 看黄色毛片网站| 噜噜噜噜噜久久久久久91| 亚洲国产欧美网| 午夜福利免费观看在线| 国产在视频线在精品| 美女高潮的动态| 精品久久久久久久人妻蜜臀av| 亚洲精品在线观看二区| 成人午夜高清在线视频| 国产伦精品一区二区三区四那| 国产伦精品一区二区三区视频9 | 欧美最黄视频在线播放免费| 九九久久精品国产亚洲av麻豆| av片东京热男人的天堂| ponron亚洲| 亚洲五月婷婷丁香| 两性午夜刺激爽爽歪歪视频在线观看| 国产精品免费一区二区三区在线| 两人在一起打扑克的视频| 亚洲电影在线观看av| 听说在线观看完整版免费高清| 欧美大码av| 国产三级在线视频| 毛片女人毛片| 色老头精品视频在线观看| www.999成人在线观看| 亚洲avbb在线观看| 免费在线观看影片大全网站| 国产一区二区亚洲精品在线观看| 无人区码免费观看不卡| 9191精品国产免费久久| 国产精品久久久人人做人人爽| 操出白浆在线播放| www日本在线高清视频| 老汉色av国产亚洲站长工具| 欧美中文日本在线观看视频| 成人av一区二区三区在线看| 亚洲五月天丁香| 久久精品国产综合久久久| 国产成年人精品一区二区| 校园春色视频在线观看| 国产午夜福利久久久久久| а√天堂www在线а√下载| 亚洲成av人片在线播放无| 日本免费a在线| 亚洲av五月六月丁香网| 桃红色精品国产亚洲av| 中文亚洲av片在线观看爽| 18禁裸乳无遮挡免费网站照片| 欧美日韩黄片免| 女警被强在线播放| 无遮挡黄片免费观看| 老司机午夜福利在线观看视频| 国产不卡一卡二| 天堂影院成人在线观看| 99在线人妻在线中文字幕| 欧美日本视频| 一个人观看的视频www高清免费观看| 国产老妇女一区| 久久久色成人| 2021天堂中文幕一二区在线观| 欧美日韩亚洲国产一区二区在线观看| 久久久久久久久久黄片| 免费av观看视频| 久久6这里有精品| 又紧又爽又黄一区二区| 久99久视频精品免费| 色在线成人网| 国产在视频线在精品| 19禁男女啪啪无遮挡网站| 国产亚洲精品av在线| 亚洲aⅴ乱码一区二区在线播放| 全区人妻精品视频| 在线免费观看不下载黄p国产 | 亚洲精品亚洲一区二区| 成熟少妇高潮喷水视频| 美女高潮喷水抽搐中文字幕| 看黄色毛片网站| av视频在线观看入口| 日韩中文字幕欧美一区二区| 老司机午夜十八禁免费视频| 国内揄拍国产精品人妻在线| 99热精品在线国产| 搡老妇女老女人老熟妇| 女同久久另类99精品国产91| 18禁黄网站禁片午夜丰满| 97人妻精品一区二区三区麻豆| 精品人妻一区二区三区麻豆 | 级片在线观看| 午夜福利免费观看在线| 白带黄色成豆腐渣| 国产真实乱freesex| 少妇人妻一区二区三区视频| 国产色爽女视频免费观看| 九九热线精品视视频播放| 久久久久国产精品人妻aⅴ院| 嫁个100分男人电影在线观看| 97碰自拍视频| 国产成人啪精品午夜网站| 久久精品影院6| 熟妇人妻久久中文字幕3abv| 桃红色精品国产亚洲av| 一进一出抽搐gif免费好疼| 在线观看免费午夜福利视频| 精品电影一区二区在线| 身体一侧抽搐| a在线观看视频网站| 亚洲成人免费电影在线观看| 性色avwww在线观看| 国产探花极品一区二区| 超碰av人人做人人爽久久 | 国产熟女xx| 露出奶头的视频| 成人精品一区二区免费| 亚洲精品粉嫩美女一区| 美女被艹到高潮喷水动态| 床上黄色一级片| 一级毛片女人18水好多| 99精品欧美一区二区三区四区| 久久久久久久亚洲中文字幕 | 亚洲性夜色夜夜综合| 91在线观看av| 18禁在线播放成人免费| 好看av亚洲va欧美ⅴa在| 深爱激情五月婷婷| 特级一级黄色大片| 在线观看美女被高潮喷水网站 | 日韩大尺度精品在线看网址| 国产高清视频在线观看网站| 日日夜夜操网爽| 成人午夜高清在线视频| 每晚都被弄得嗷嗷叫到高潮| 久久草成人影院| 国产高清视频在线观看网站| 日本熟妇午夜| 1024手机看黄色片| 美女大奶头视频| 午夜精品一区二区三区免费看| 国产伦人伦偷精品视频| 日本黄大片高清| 国产成人欧美在线观看| 国产精品一及| 无限看片的www在线观看| 免费观看的影片在线观看| av中文乱码字幕在线| 制服人妻中文乱码| 日韩欧美免费精品| 欧美日韩黄片免| 亚洲精品456在线播放app | 国产蜜桃级精品一区二区三区| 麻豆一二三区av精品| 亚洲五月天丁香| 久久久久亚洲av毛片大全| 午夜久久久久精精品| 深爱激情五月婷婷| 不卡一级毛片| 欧美极品一区二区三区四区| 国产亚洲欧美在线一区二区| 国产乱人伦免费视频| 无人区码免费观看不卡| 亚洲激情在线av| 欧美日韩国产亚洲二区| 午夜免费激情av| 在线视频色国产色| 99热精品在线国产| 欧美黑人巨大hd| 男人舔奶头视频| 国产在视频线在精品| 欧美一区二区亚洲| 色哟哟哟哟哟哟| 亚洲人成网站在线播| 亚洲无线在线观看| 国产精品久久久久久久电影 | 久久久久久久久久黄片| 亚洲va日本ⅴa欧美va伊人久久| 真人一进一出gif抽搐免费| 午夜福利欧美成人| 看黄色毛片网站| 高清毛片免费观看视频网站| 最好的美女福利视频网| 国产成人a区在线观看| 两个人视频免费观看高清| 12—13女人毛片做爰片一| 法律面前人人平等表现在哪些方面| 露出奶头的视频| 日本黄色视频三级网站网址| 久久久国产成人精品二区| 哪里可以看免费的av片| 国产精品1区2区在线观看.| 97超级碰碰碰精品色视频在线观看| 久久久久久久久久黄片| 欧美日韩瑟瑟在线播放| 午夜激情福利司机影院| 国产精品,欧美在线| 天天一区二区日本电影三级| 18禁黄网站禁片午夜丰满| 亚洲激情在线av| 久久精品国产亚洲av涩爱 | 亚洲成av人片在线播放无| 国产精华一区二区三区| 午夜福利欧美成人| 免费av观看视频| 一本一本综合久久| 搡女人真爽免费视频火全软件 | 麻豆国产97在线/欧美| 在线a可以看的网站| www国产在线视频色| 成年女人永久免费观看视频| 麻豆成人av在线观看| 亚洲精品456在线播放app | 亚洲18禁久久av| 欧美日韩精品网址| 夜夜夜夜夜久久久久| 亚洲熟妇熟女久久| 在线观看免费视频日本深夜| 99久国产av精品| a级毛片a级免费在线| 夜夜看夜夜爽夜夜摸| 精品99又大又爽又粗少妇毛片 | 久久久久久国产a免费观看| 中文亚洲av片在线观看爽| 亚洲av不卡在线观看| 噜噜噜噜噜久久久久久91| 三级国产精品欧美在线观看| www.熟女人妻精品国产| 18禁美女被吸乳视频| 波多野结衣高清无吗|