• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    “圓面積公式”的誤教與修正

    2018-06-07 10:08郜舒竹
    關(guān)鍵詞:圓面積重組

    郜舒竹

    【摘 要】在小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中,教師對(duì)“圓面積”的學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)存在著誤教現(xiàn)象。主要反映為在不是長(zhǎng)方形的圖形中,使用長(zhǎng)方形面積公式。通過(guò)歷史考察尋找到誤教現(xiàn)象的歷史淵源,并對(duì)其進(jìn)行了修正。

    【關(guān)鍵詞】圓面積;誤教;重組;變教為學(xué)

    小學(xué)數(shù)學(xué)課程中,“圓面積公式”的學(xué)習(xí)通常安排在小學(xué)五年級(jí)或者六年級(jí),是在已經(jīng)學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形(包括正方形)、平行四邊形、三角形、梯形面積公式以及圓的周長(zhǎng)公式之后學(xué)習(xí)的內(nèi)容。學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)的基本思路是“化未知為已知”,即將圓形通過(guò)“剪”與“拼”的過(guò)程,改變成為一個(gè)面積相等的長(zhǎng)方形,而后利用長(zhǎng)方形面積公式推導(dǎo)出圓面積公式。這樣的方法通常叫作“重組(Rearrangement)”,也就是把圓形剪開(kāi)之后重新組合、重新安排的意思。

    重組過(guò)程初看起來(lái),是將圓形轉(zhuǎn)化為學(xué)生已經(jīng)熟悉的圖形,而后利用學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行新知識(shí)的學(xué)習(xí),是符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的。但在教科書(shū)以及實(shí)際教學(xué)中,卻存在著違背數(shù)學(xué)邏輯規(guī)律的誤教(Mis-Teaching)現(xiàn)象,進(jìn)而導(dǎo)致學(xué)生對(duì)圓面積公式推導(dǎo)過(guò)程存在疑惑與誤解(Misunderstanding)。

    一、“因?yàn)橄?,所以是”的推?/p>

    在實(shí)際教學(xué)中,“重組”的過(guò)程通常是先將一個(gè)圓形等分為若干扇形,而后將這些扇形剪開(kāi)后,重組為一個(gè)形如長(zhǎng)方形的圖形,這樣的圖形可以稱(chēng)為“準(zhǔn)長(zhǎng)方形(Quasi-Rectangular)”,指的是形狀像長(zhǎng)方形,但并不是真的長(zhǎng)方形。比如,首先將圓形等分為四個(gè)扇形,而后重組為一個(gè)準(zhǔn)長(zhǎng)方形(見(jiàn)圖1)。

    進(jìn)一步可以將等分的扇形數(shù)量增加,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)分割出來(lái)的扇形越多,每一份就會(huì)越小,因此重組出來(lái)的準(zhǔn)長(zhǎng)方形的形狀就會(huì)更接近真正的長(zhǎng)方形。比如六等分之后的圖形為圖2所示形式。

    類(lèi)似的,還可以更加細(xì)化為八等分、十六等分等等。十六等分后重組的準(zhǔn)長(zhǎng)方形為圖3所示形式。

    以上過(guò)程中可以發(fā)現(xiàn)三個(gè)事實(shí):第一是面積不變,無(wú)論怎樣分割,重組的準(zhǔn)長(zhǎng)方形的面積與分割前的圓形面積相等;第二是邊長(zhǎng)不變,無(wú)論怎樣分割,重組的準(zhǔn)長(zhǎng)方形的“長(zhǎng)”都等于圓周長(zhǎng)的一半,“寬”的長(zhǎng)度等于圓半徑;第三是形狀變化,等分的扇形越多,扇形就越小,重組的準(zhǔn)長(zhǎng)方形的形狀越來(lái)越接近真正的長(zhǎng)方形。

    在人教版六年級(jí)上冊(cè)中,用圖4形式呈現(xiàn)出以上事實(shí),而后就推理出可以利用長(zhǎng)方形面積公式得到圓形面積公式。即用長(zhǎng)方形的長(zhǎng)(圓周長(zhǎng)的一半)與長(zhǎng)方形的寬(圓半徑)相乘。

    這樣的設(shè)計(jì)容易產(chǎn)生的誤解是,在一個(gè)不是長(zhǎng)方形的準(zhǔn)長(zhǎng)方形上使用長(zhǎng)方形面積公式,因而自然會(huì)產(chǎn)生如下的疑惑:

    l 無(wú)論將圓形分割為多少份扇形,重組出來(lái)的都是準(zhǔn)長(zhǎng)方形。

    l 無(wú)論準(zhǔn)長(zhǎng)方形與真正的長(zhǎng)方形多么接近,也不是真正的長(zhǎng)方形。

    l 既然不是真正的長(zhǎng)方形,為什么能夠使用長(zhǎng)方形面積公式呢?

    這樣的疑惑是真實(shí)并且合理的,反映出關(guān)于圓面積學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)本身就存在著邏輯上的漏洞。具體反映為一個(gè)明顯錯(cuò)誤的因果推理,也即因?yàn)閳D4左側(cè)的準(zhǔn)長(zhǎng)方形形狀與右側(cè)的長(zhǎng)方形接近,所以可以利用長(zhǎng)方形面積公式。

    這種“因?yàn)橄瘢允恰钡耐评碓谶壿嬌鲜遣怀闪⒌?,“像”并不能成為“是”的充分條件,正如從“貓像老虎”不能推理出“貓是老虎”的結(jié)論。這樣的邏輯漏洞,使得小學(xué)階段圓面積教學(xué)實(shí)質(zhì)是一種誤教。為了厘清用重組方法推導(dǎo)圓面積公式的真實(shí)過(guò)程,有必要對(duì)這一方法的歷史淵源進(jìn)行考察。

    二、重組方法的歷史考察

    論及使用“重組”方法推導(dǎo)圓面積公式的早期歷史文獻(xiàn),是美國(guó)數(shù)學(xué)家史密斯·大衛(wèi)·尤金(Smith David Eugene,1860~1944)與日本數(shù)學(xué)家合作編寫(xiě),并于1914年在美國(guó)芝加哥出版的《日本數(shù)學(xué)史》。該書(shū)第131頁(yè)介紹了由日本學(xué)者Sato Moshun所著,于1698年出版的《Tengen Shinan》的日文古籍中的方法[1](見(jiàn)圖5)。

    其中的重組過(guò)程與如今教科書(shū)中的方法基本相同,是將圓形等分為32個(gè)扇形,其中黑色16個(gè),白色16個(gè)。將這32個(gè)扇形重組為與圓形面積相同的準(zhǔn)長(zhǎng)方形,長(zhǎng)方形兩條邊長(zhǎng)度分別為圓周長(zhǎng)的一半和圓半徑,二者相乘即得到圓面積。但書(shū)中對(duì)重組過(guò)程沒(méi)有給出任何解釋?zhuān)纱丝闯鲞@樣的邏輯漏洞是有歷史淵源的。

    三、誤教的修正

    就職于美國(guó)科羅拉多大學(xué)的工程學(xué)教授彼得·貝克曼(Peter Beckmann,1924~1993),于1976年出版了一本《圓周率的歷史》的書(shū),其中也提及了日本古籍中的這一方法,書(shū)中用無(wú)限過(guò)程中“不變量(Invariant)”的思想,對(duì)重組方法的合理性進(jìn)行了解釋[2]。解釋過(guò)程中利用了圖6所示的(a)(b)(c)(d)四個(gè)圖形。

    首先將圖6中圓形(a)等分為黑色陰影扇形,剪開(kāi)后依次排列,而后用四個(gè)完全相同的白色扇形補(bǔ)齊,形成一個(gè)準(zhǔn)長(zhǎng)方形(b)。這個(gè)準(zhǔn)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別等于圓周長(zhǎng)和圓半徑,面積等于圓面積的2倍。

    如果等分的扇形更多,那么重組后的準(zhǔn)長(zhǎng)方形的形狀就會(huì)越來(lái)越接近真正的長(zhǎng)方形,但是邊的長(zhǎng)度和圖形面積是不會(huì)改變的。如果將這樣細(xì)分的過(guò)程不停地做下去,準(zhǔn)長(zhǎng)方形就會(huì)無(wú)限趨近于真正的長(zhǎng)方形(d),而邊的長(zhǎng)度和圖形面積仍然保持不變。

    從圖6中(b)變化到(c),準(zhǔn)長(zhǎng)方形形狀改變了,而且隨著分割份數(shù)的增加,準(zhǔn)長(zhǎng)方形形狀越來(lái)越接近真正的長(zhǎng)方形(d),但邊長(zhǎng)和面積保持不變。這種不變量的存在,反映出變化過(guò)程的穩(wěn)定性。正是這樣的穩(wěn)定性,有理由推斷出真正的長(zhǎng)方形(d)的邊長(zhǎng)與前面準(zhǔn)長(zhǎng)方形(b)和(c)對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度都是一樣的,也就是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓周長(zhǎng),寬等于圓半徑。利用長(zhǎng)方形面積公式就可以得到圖形(d)的面積。同樣利用面積的不變量特征,反過(guò)來(lái)就可以得到圖形(c)和(b)的面積,進(jìn)而得到圓(a)的面積是前面各個(gè)圖形面積的一半。

    這個(gè)解釋實(shí)際上應(yīng)用了高等數(shù)學(xué)中極限理論的一個(gè)基本定理:“常量的極限保持不變?!逼浯笾潞x是一個(gè)具有無(wú)窮項(xiàng)的序列,如果其中的每一項(xiàng)都保持不變,那么這個(gè)序列就無(wú)限趨近于一個(gè)唯一確定的結(jié)果,而且這個(gè)結(jié)果與序列中保持不變的項(xiàng)是一樣的。

    重組方法中無(wú)論把圓形等分為多少個(gè)扇形,份數(shù)的變化導(dǎo)致的是重組后準(zhǔn)長(zhǎng)方形形狀的變化,而邊的長(zhǎng)度和面積都保持不變,因此隨著等分份數(shù)的增加,就可以依次把重組后的準(zhǔn)長(zhǎng)方形看作一個(gè)無(wú)窮序列。這個(gè)序列中不斷改變的是準(zhǔn)長(zhǎng)方形的形狀,這個(gè)形狀無(wú)限趨近于真正的長(zhǎng)方形。而其中每一個(gè)準(zhǔn)長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)和面積都是保持不變的,因此這個(gè)序列最終指向的結(jié)果是一個(gè)唯一確定的真實(shí)長(zhǎng)方形,這個(gè)長(zhǎng)方形與前面序列中準(zhǔn)長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)和面積都一樣。所以可以運(yùn)用長(zhǎng)方形面積公式求得圓面積。依據(jù)這種“形變量不變”的解釋?zhuān)瑘A面積公式的學(xué)習(xí)過(guò)程至少包括三個(gè)階段:

    第一是“分割與重組”,引導(dǎo)學(xué)生將一個(gè)圓形等分為若干扇形,然后重組為準(zhǔn)長(zhǎng)方形的活動(dòng)。

    第二是“觀察與想象”,將不同份數(shù)的準(zhǔn)長(zhǎng)方形依次排列后進(jìn)行觀察,隨著等分的扇形數(shù)量的不斷增加,想象準(zhǔn)長(zhǎng)方形的形狀是如何變化的,哪些數(shù)量是保持不變的(見(jiàn)圖7)。

    第三是“推理與計(jì)算”,在前面觀察與想象的基礎(chǔ)上,在無(wú)限趨近于真實(shí)長(zhǎng)方形的基礎(chǔ)上使用長(zhǎng)方形面積公式,通過(guò)計(jì)算推導(dǎo)出圓面積公式。

    這樣的過(guò)程在原來(lái)基礎(chǔ)上,增加了對(duì)準(zhǔn)長(zhǎng)方形序列中邊長(zhǎng)與面積保持不變的觀察活動(dòng),體驗(yàn)了從準(zhǔn)長(zhǎng)方形到真實(shí)長(zhǎng)方形的質(zhì)量互變過(guò)程,經(jīng)歷了在運(yùn)動(dòng)與變化過(guò)程中尋找不變的過(guò)程。同時(shí),長(zhǎng)方形面積公式是在真實(shí)長(zhǎng)方形上使用,而不是在準(zhǔn)長(zhǎng)方形上使用。進(jìn)而也就避免了“因?yàn)橄?,所以是”的推理,使得誤教得到了修正。

    “變教為學(xué)”的教學(xué)改革,期望課堂教學(xué)從“教為中心”改變?yōu)椤皩W(xué)為中心”,讓學(xué)生親歷親為地經(jīng)歷學(xué)習(xí)過(guò)程中的活動(dòng)。這就需要教師從“講解”為主的教法,改變?yōu)椤耙龑?dǎo)”為主的教法。這種“引導(dǎo)”的設(shè)計(jì)一方面應(yīng)當(dāng)符合學(xué)生認(rèn)知水平,另一方面還要符合知識(shí)自身的邏輯規(guī)律。切莫讓引導(dǎo)變成誤導(dǎo),讓教學(xué)變成誤教。

    參考文獻(xiàn):

    [1]Smith David Eugene,Mikami Yoshio. A History of Japanese Mathematics[M].Chicago: Open Court Publishing,1914:130-132.

    [2]Beckmann Peter. A History of Pi[M]. St. Martin's Griffin,1976:36-39.

    (首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048)

    猜你喜歡
    圓面積重組
    如何讓學(xué)生想到將圓等分成扇形來(lái)推導(dǎo)圓面積公式
    試求證圓面積與周長(zhǎng)的關(guān)系
    試論ERP環(huán)境下的會(huì)計(jì)業(yè)務(wù)流程重組
    試論ERP環(huán)境下的會(huì)計(jì)業(yè)務(wù)流程重組
    小學(xué)數(shù)學(xué)“圓面積”教學(xué)的實(shí)踐探索
    關(guān)于一道數(shù)學(xué)題解答方法的探討
    圓柱表面積的另一種求法
    用物理方法推導(dǎo)圓面積公式
    午夜影院在线不卡| av又黄又爽大尺度在线免费看| 天堂8中文在线网| 最近的中文字幕免费完整| 免费黄频网站在线观看国产| 久久久久久久久久人人人人人人| 久久久久精品久久久久真实原创| 中文字幕最新亚洲高清| 热re99久久精品国产66热6| 久久精品熟女亚洲av麻豆精品| 精品国产一区二区三区久久久樱花| 美女主播在线视频| 看免费av毛片| 中文字幕制服av| 欧美变态另类bdsm刘玥| 日本黄色日本黄色录像| 亚洲经典国产精华液单| 免费女性裸体啪啪无遮挡网站| 精品人妻偷拍中文字幕| 91午夜精品亚洲一区二区三区| 男人操女人黄网站| 日本vs欧美在线观看视频| 久久人人爽人人爽人人片va| 青青草视频在线视频观看| 大片免费播放器 马上看| 久久久久网色| 天堂俺去俺来也www色官网| 日韩一区二区三区影片| 在线免费观看不下载黄p国产| 99热全是精品| 久久久精品区二区三区| 免费黄网站久久成人精品| 精品少妇黑人巨大在线播放| 欧美人与性动交α欧美精品济南到 | 一级毛片 在线播放| 日韩大片免费观看网站| 国产精品人妻久久久影院| 免费久久久久久久精品成人欧美视频 | 精品国产国语对白av| 女人被躁到高潮嗷嗷叫费观| 亚洲,欧美,日韩| 只有这里有精品99| 国产高清国产精品国产三级| 国产精品久久久久久久久免| 国产精品一区二区在线观看99| av福利片在线| 咕卡用的链子| 欧美精品高潮呻吟av久久| 欧美日韩一区二区视频在线观看视频在线| 精品国产国语对白av| 国产无遮挡羞羞视频在线观看| 久久av网站| 国产精品偷伦视频观看了| 成人18禁高潮啪啪吃奶动态图| 狂野欧美激情性bbbbbb| 久热这里只有精品99| 天天操日日干夜夜撸| 大片电影免费在线观看免费| 亚洲五月色婷婷综合| 80岁老熟妇乱子伦牲交| 免费高清在线观看视频在线观看| 久久久久人妻精品一区果冻| 如何舔出高潮| 国产在线视频一区二区| 一级毛片 在线播放| 观看美女的网站| 精品少妇久久久久久888优播| 亚洲精品国产色婷婷电影| 日本av手机在线免费观看| 精品卡一卡二卡四卡免费| 在现免费观看毛片| 中文乱码字字幕精品一区二区三区| 午夜老司机福利剧场| 美国免费a级毛片| 99热这里只有是精品在线观看| 午夜视频国产福利| 一级,二级,三级黄色视频| 亚洲精品国产色婷婷电影| 国产日韩欧美视频二区| 免费在线观看完整版高清| 街头女战士在线观看网站| 免费大片18禁| 99久久人妻综合| 色网站视频免费| 亚洲综合色惰| 下体分泌物呈黄色| 亚洲欧美成人精品一区二区| 国产熟女午夜一区二区三区| av卡一久久| 亚洲精品一区蜜桃| 男女下面插进去视频免费观看 | 欧美老熟妇乱子伦牲交| 最黄视频免费看| 久久韩国三级中文字幕| 日本欧美视频一区| 一级,二级,三级黄色视频| 亚洲av电影在线观看一区二区三区| 99热这里只有是精品在线观看| 国产毛片在线视频| 搡女人真爽免费视频火全软件| 18禁在线无遮挡免费观看视频| 97在线人人人人妻| 母亲3免费完整高清在线观看 | 一二三四中文在线观看免费高清| av在线老鸭窝| 亚洲精品视频女| 青春草亚洲视频在线观看| 久久久精品区二区三区| 免费av不卡在线播放| 99久久中文字幕三级久久日本| 2021少妇久久久久久久久久久| 精品国产一区二区三区四区第35| 超色免费av| 视频中文字幕在线观看| 91成人精品电影| 伦精品一区二区三区| 九九在线视频观看精品| 伊人亚洲综合成人网| 亚洲精品乱久久久久久| 久久精品久久精品一区二区三区| 亚洲欧美中文字幕日韩二区| 狠狠精品人妻久久久久久综合| 国产免费又黄又爽又色| 午夜福利,免费看| 最近最新中文字幕大全免费视频 | 少妇的逼好多水| 丝袜美足系列| 妹子高潮喷水视频| 日本91视频免费播放| 国产精品久久久久久久电影| xxx大片免费视频| 狂野欧美激情性bbbbbb| 中国美白少妇内射xxxbb| 如日韩欧美国产精品一区二区三区| 观看美女的网站| 精品99又大又爽又粗少妇毛片| 色94色欧美一区二区| 国产成人免费观看mmmm| a级毛片黄视频| 欧美激情 高清一区二区三区| 美女主播在线视频| 黄片播放在线免费| 两个人看的免费小视频| 日韩人妻精品一区2区三区| 日韩av在线免费看完整版不卡| 欧美日韩精品成人综合77777| 免费观看a级毛片全部| 免费不卡的大黄色大毛片视频在线观看| 成人18禁高潮啪啪吃奶动态图| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频| 热re99久久精品国产66热6| 90打野战视频偷拍视频| 久久久国产一区二区| 日韩一区二区三区影片| 久久久国产精品麻豆| 国产精品人妻久久久影院| 九色亚洲精品在线播放| 老司机影院毛片| 国产精品人妻久久久影院| 久久人人爽人人片av| 女人久久www免费人成看片| 亚洲一级一片aⅴ在线观看| 最近的中文字幕免费完整| 亚洲在久久综合| 成人黄色视频免费在线看| 极品人妻少妇av视频| 国产在线免费精品| 亚洲精品自拍成人| 成人国语在线视频| av天堂久久9| 熟女人妻精品中文字幕| 婷婷色av中文字幕| 久久婷婷青草| 精品人妻在线不人妻| 日本与韩国留学比较| 免费高清在线观看视频在线观看| 国产成人精品婷婷| 欧美人与性动交α欧美软件 | 夫妻性生交免费视频一级片| 国产精品秋霞免费鲁丝片| 久久ye,这里只有精品| 亚洲成人手机| 另类精品久久| 精品国产一区二区三区四区第35| 亚洲精品一二三| 亚洲欧美一区二区三区黑人 | 色婷婷av一区二区三区视频| 日日摸夜夜添夜夜爱| 三上悠亚av全集在线观看| 99视频精品全部免费 在线| 亚洲欧洲精品一区二区精品久久久 | 国产一区二区三区av在线| 久久 成人 亚洲| 免费黄频网站在线观看国产| 亚洲激情五月婷婷啪啪| 丰满少妇做爰视频| 久久久久久久久久成人| 午夜久久久在线观看| 亚洲精品456在线播放app| 在线天堂最新版资源| av天堂久久9| 高清在线视频一区二区三区| 一区在线观看完整版| 在现免费观看毛片| 看十八女毛片水多多多| 国产麻豆69| 波多野结衣一区麻豆| 波野结衣二区三区在线| 久久免费观看电影| 欧美另类一区| 一二三四中文在线观看免费高清| 韩国av在线不卡| 国产色婷婷99| 人人妻人人澡人人爽人人夜夜| 久久99精品国语久久久| 国产亚洲最大av| 51国产日韩欧美| 两个人免费观看高清视频| 午夜福利网站1000一区二区三区| 日本wwww免费看| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频| 精品亚洲乱码少妇综合久久| 深夜精品福利| av福利片在线| 校园人妻丝袜中文字幕| 国产精品一二三区在线看| 亚洲在久久综合| 少妇人妻久久综合中文| 成人无遮挡网站| 晚上一个人看的免费电影| 免费看不卡的av| 男的添女的下面高潮视频| 国产欧美另类精品又又久久亚洲欧美| 99久久精品国产国产毛片| 久久精品国产a三级三级三级| 在线天堂中文资源库| 日韩一区二区视频免费看| 丝袜喷水一区| 亚洲精品一二三| 欧美人与性动交α欧美精品济南到 | 国产成人精品一,二区| 中文字幕另类日韩欧美亚洲嫩草| 久久久久精品久久久久真实原创| 最近中文字幕高清免费大全6| 男人舔女人的私密视频| 插逼视频在线观看| xxx大片免费视频| 久久精品夜色国产| 高清视频免费观看一区二区| 久久精品久久久久久噜噜老黄| av国产久精品久网站免费入址| 国产色爽女视频免费观看| 欧美精品人与动牲交sv欧美| av天堂久久9| 纯流量卡能插随身wifi吗| 免费高清在线观看日韩| 亚洲av.av天堂| 美女国产高潮福利片在线看| 精品人妻在线不人妻| 一级片免费观看大全| 一级毛片电影观看| 一级毛片电影观看| 一级a做视频免费观看| 老司机亚洲免费影院| 黑人巨大精品欧美一区二区蜜桃 | 十分钟在线观看高清视频www| 久久精品久久精品一区二区三区| 久久久久久人妻| 国产精品一区二区在线观看99| 日日撸夜夜添| av国产久精品久网站免费入址| 亚洲国产精品国产精品| 肉色欧美久久久久久久蜜桃| 亚洲国产欧美在线一区| a级毛片黄视频| 波野结衣二区三区在线| 国产免费视频播放在线视频| 亚洲欧美成人精品一区二区| 男女国产视频网站| 人妻 亚洲 视频| 桃花免费在线播放| 亚洲国产成人一精品久久久| 蜜臀久久99精品久久宅男| 国产精品熟女久久久久浪| 久久精品人人爽人人爽视色| 日日摸夜夜添夜夜爱| 久久亚洲国产成人精品v| 亚洲av福利一区| 亚洲精品一区蜜桃| 亚洲美女视频黄频| 内地一区二区视频在线| 99热国产这里只有精品6| 国产日韩欧美视频二区| 男的添女的下面高潮视频| 春色校园在线视频观看| 99国产综合亚洲精品| 久久久久久久精品精品| 亚洲精品aⅴ在线观看| 卡戴珊不雅视频在线播放| 中国美白少妇内射xxxbb| 九色成人免费人妻av| 乱人伦中国视频| 一区在线观看完整版| 麻豆乱淫一区二区| 日韩av在线免费看完整版不卡| www日本在线高清视频| 成人亚洲精品一区在线观看| 卡戴珊不雅视频在线播放| 亚洲成av片中文字幕在线观看 | 看免费av毛片| 不卡视频在线观看欧美| 久久人人爽av亚洲精品天堂| 国产不卡av网站在线观看| 少妇的逼好多水| 亚洲欧美色中文字幕在线| 亚洲av男天堂| 日韩制服丝袜自拍偷拍| 黄片无遮挡物在线观看| 高清欧美精品videossex| 久久av网站| 国国产精品蜜臀av免费| 中文字幕免费在线视频6| 亚洲av日韩在线播放| 最后的刺客免费高清国语| 国产精品.久久久| 免费观看性生交大片5| 亚洲,欧美精品.| 一级毛片电影观看| 免费看不卡的av| 多毛熟女@视频| 日韩电影二区| 国国产精品蜜臀av免费| av视频免费观看在线观看| xxx大片免费视频| 国产色爽女视频免费观看| 日日撸夜夜添| 亚洲国产毛片av蜜桃av| 爱豆传媒免费全集在线观看| 国产又爽黄色视频| 自拍欧美九色日韩亚洲蝌蚪91| 日本91视频免费播放| 久久久久久伊人网av| 亚洲图色成人| 少妇人妻久久综合中文| 久久久a久久爽久久v久久| 日韩制服骚丝袜av| 乱码一卡2卡4卡精品| 亚洲综合色惰| 又黄又爽又刺激的免费视频.| 成人国产av品久久久| 夜夜骑夜夜射夜夜干| 亚洲人成77777在线视频| 毛片一级片免费看久久久久| 成人亚洲欧美一区二区av| 在线观看免费高清a一片| 捣出白浆h1v1| 亚洲欧美日韩卡通动漫| 黄色一级大片看看| 精品少妇内射三级| 国产成人精品在线电影| 国语对白做爰xxxⅹ性视频网站| 国产白丝娇喘喷水9色精品| 亚洲,一卡二卡三卡| 亚洲成av片中文字幕在线观看 | 美女xxoo啪啪120秒动态图| 久久婷婷青草| 久久ye,这里只有精品| 国产又色又爽无遮挡免| 精品第一国产精品| 亚洲在久久综合| 久久综合国产亚洲精品| 国产探花极品一区二区| 在线观看免费高清a一片| 日韩,欧美,国产一区二区三区| 天堂8中文在线网| 91精品三级在线观看| 久久久久久久精品精品| 成人免费观看视频高清| 性色avwww在线观看| 国产av码专区亚洲av| 最后的刺客免费高清国语| 精品国产露脸久久av麻豆| 国产在视频线精品| 男女下面插进去视频免费观看 | 如日韩欧美国产精品一区二区三区| 国产69精品久久久久777片| 亚洲精品,欧美精品| 国产无遮挡羞羞视频在线观看| 如日韩欧美国产精品一区二区三区| 成人二区视频| 亚洲美女视频黄频| 一个人免费看片子| 啦啦啦在线观看免费高清www| 亚洲第一av免费看| 欧美少妇被猛烈插入视频| 97超碰精品成人国产| 国产精品女同一区二区软件| 国产一区二区三区综合在线观看 | 欧美日韩一区二区视频在线观看视频在线| 在线 av 中文字幕| 男女啪啪激烈高潮av片| 啦啦啦啦在线视频资源| 99热国产这里只有精品6| 自线自在国产av| 极品人妻少妇av视频| 日本91视频免费播放| 在线观看三级黄色| 久久久欧美国产精品| 美女xxoo啪啪120秒动态图| 99re6热这里在线精品视频| 国产av国产精品国产| 波野结衣二区三区在线| 国产精品嫩草影院av在线观看| av网站免费在线观看视频| 日韩 亚洲 欧美在线| 只有这里有精品99| 久久久久久久国产电影| 日日撸夜夜添| 在线观看免费视频网站a站| 91久久精品国产一区二区三区| 国产毛片在线视频| 91精品伊人久久大香线蕉| 99国产综合亚洲精品| 亚洲av免费高清在线观看| 制服丝袜香蕉在线| 99热全是精品| 99热国产这里只有精品6| 极品少妇高潮喷水抽搐| 日本猛色少妇xxxxx猛交久久| 少妇的逼水好多| 在线观看美女被高潮喷水网站| 国产在线免费精品| 我要看黄色一级片免费的| 国产精品.久久久| 校园人妻丝袜中文字幕| 国产精品一区二区在线不卡| 欧美xxxx性猛交bbbb| 国产一区二区激情短视频 | 黑人高潮一二区| 国产淫语在线视频| 黑人欧美特级aaaaaa片| 亚洲成色77777| 久久国内精品自在自线图片| 亚洲精品日韩在线中文字幕| 欧美成人精品欧美一级黄| 国产一区二区在线观看av| 国产成人精品一,二区| 欧美另类一区| 九草在线视频观看| 中文字幕精品免费在线观看视频 | 激情视频va一区二区三区| 亚洲色图 男人天堂 中文字幕 | 国产一区二区三区av在线| 久久久久久人妻| 国产精品国产三级国产av玫瑰| 国产色婷婷99| 国产精品一区二区在线不卡| www.av在线官网国产| 啦啦啦视频在线资源免费观看| 久久女婷五月综合色啪小说| 女性被躁到高潮视频| 国产极品天堂在线| 久久久久久人人人人人| 亚洲av.av天堂| h视频一区二区三区| 免费大片18禁| 99国产综合亚洲精品| 黄色视频在线播放观看不卡| 亚洲三级黄色毛片| av天堂久久9| 国产成人精品福利久久| 国产精品熟女久久久久浪| freevideosex欧美| 内地一区二区视频在线| 又粗又硬又长又爽又黄的视频| 欧美老熟妇乱子伦牲交| 99久久综合免费| 亚洲av日韩在线播放| 国产精品一二三区在线看| 亚洲美女视频黄频| h视频一区二区三区| 人人妻人人添人人爽欧美一区卜| 夫妻性生交免费视频一级片| 97人妻天天添夜夜摸| 欧美日韩视频精品一区| 新久久久久国产一级毛片| 国产精品欧美亚洲77777| 久久久久久久久久成人| 人人澡人人妻人| 久久精品国产亚洲av涩爱| 久久午夜福利片| 精品人妻偷拍中文字幕| 18禁观看日本| 国产成人精品婷婷| 国产探花极品一区二区| 国产亚洲精品久久久com| 日产精品乱码卡一卡2卡三| 久久久久久人妻| 高清av免费在线| 国产毛片在线视频| av电影中文网址| 2022亚洲国产成人精品| 精品亚洲乱码少妇综合久久| 激情五月婷婷亚洲| 九草在线视频观看| 男人爽女人下面视频在线观看| 国产一区二区三区av在线| 精品亚洲成国产av| 丰满迷人的少妇在线观看| 国产在线免费精品| 国内精品宾馆在线| 亚洲av中文av极速乱| 亚洲美女搞黄在线观看| 多毛熟女@视频| 大香蕉久久网| 国产精品久久久久久精品电影小说| 欧美日韩视频精品一区| 天天影视国产精品| 视频中文字幕在线观看| 永久网站在线| 蜜桃国产av成人99| 黑人高潮一二区| 欧美人与善性xxx| 又黄又粗又硬又大视频| 国产精品偷伦视频观看了| 涩涩av久久男人的天堂| 亚洲国产精品一区三区| 中文字幕另类日韩欧美亚洲嫩草| 国产亚洲一区二区精品| 国产精品国产三级国产av玫瑰| 国产伦理片在线播放av一区| 美国免费a级毛片| 只有这里有精品99| 乱码一卡2卡4卡精品| 色哟哟·www| 成人免费观看视频高清| 久久精品夜色国产| 菩萨蛮人人尽说江南好唐韦庄| 另类亚洲欧美激情| av国产久精品久网站免费入址| 亚洲av国产av综合av卡| 精品亚洲成a人片在线观看| 亚洲国产精品一区三区| 免费女性裸体啪啪无遮挡网站| 欧美丝袜亚洲另类| xxx大片免费视频| 日本黄色日本黄色录像| 国产精品久久久久成人av| 久久99蜜桃精品久久| 少妇精品久久久久久久| 国产综合精华液| 亚洲av日韩在线播放| 久久久久久久大尺度免费视频| 啦啦啦在线观看免费高清www| 欧美日本中文国产一区发布| 下体分泌物呈黄色| 精品国产一区二区久久| 亚洲精华国产精华液的使用体验| 美国免费a级毛片| av播播在线观看一区| 一级爰片在线观看| 亚洲,一卡二卡三卡| 国产永久视频网站| 国产乱人偷精品视频| 久久午夜综合久久蜜桃| 免费观看av网站的网址| 晚上一个人看的免费电影| 国产激情久久老熟女| 亚洲经典国产精华液单| 99热全是精品| 中国三级夫妇交换| 国产在线视频一区二区| a 毛片基地| 国产一区二区在线观看av| 欧美老熟妇乱子伦牲交| 亚洲四区av| 精品国产乱码久久久久久小说| 午夜视频国产福利| 一区二区三区乱码不卡18| 午夜av观看不卡| 免费人成在线观看视频色| 国产成人a∨麻豆精品| 蜜臀久久99精品久久宅男| 久久久久久久亚洲中文字幕| 中文字幕av电影在线播放| 日韩av在线免费看完整版不卡| 国产亚洲精品第一综合不卡 | 日本免费在线观看一区| 如何舔出高潮| 欧美少妇被猛烈插入视频| 九九在线视频观看精品| 久热久热在线精品观看| 亚洲欧洲日产国产| 大陆偷拍与自拍| 欧美亚洲日本最大视频资源| 久久人人爽人人爽人人片va| 国产成人精品在线电影| 欧美丝袜亚洲另类| 亚洲内射少妇av| 亚洲av电影在线进入| 久久精品久久久久久久性| 少妇的逼好多水| 黑丝袜美女国产一区| 蜜桃国产av成人99| 国国产精品蜜臀av免费| 一级毛片黄色毛片免费观看视频| 国产一级毛片在线| 欧美少妇被猛烈插入视频| 中文字幕人妻丝袜制服| 18禁动态无遮挡网站| 成人影院久久| 国产免费福利视频在线观看| 黑人巨大精品欧美一区二区蜜桃 | 香蕉丝袜av| 久久久久久久国产电影|