學(xué)材設(shè)計(jì)：相異構(gòu)想調(diào)正的重要策略

劉善娜

【摘 要】?jī)和瘜W(xué)習(xí)某個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)前的原初認(rèn)知，可能是偏離了科學(xué)概念的相異構(gòu)想。如“三角形的面積”一課，學(xué)生基于原有的經(jīng)驗(yàn)去推導(dǎo)面積的計(jì)算公式，絕大部分學(xué)生都想不到用倍拼法，但倍拼法又是他們最終需要吸收內(nèi)化的方法。對(duì)此，教師在教學(xué)中可以從學(xué)情檢測(cè)、教材分析、學(xué)材對(duì)比教學(xué)等角度入手，分析學(xué)生原初認(rèn)知與最終認(rèn)知之間的差異，并尋求最利于學(xué)生認(rèn)知建構(gòu)的學(xué)習(xí)素材來達(dá)成相異構(gòu)想的調(diào)正。

【關(guān)鍵詞】相異構(gòu)想；學(xué)材設(shè)計(jì)；三角形面積

兒童總是基于前期積累的經(jīng)驗(yàn)去解決新遇到的問題，但方法、路徑可能是片面的、淺層次的，可能是偏離了科學(xué)概念的相異構(gòu)想。如“三角形的面積”一課，學(xué)生會(huì)基于原有的經(jīng)驗(yàn)去推導(dǎo)面積的計(jì)算公式，這些經(jīng)驗(yàn)都與最終的認(rèn)知形成息息相關(guān)。

問題的經(jīng)驗(yàn)][多個(gè)三角形的拼組經(jīng)驗(yàn)][提前學(xué)（見）過三角形面積計(jì)算公式推導(dǎo)過程][三角形面積計(jì)算公式推導(dǎo)的

原初經(jīng)驗(yàn)][平行四邊形

分割成兩個(gè)三角形

的經(jīng)驗(yàn)][（平行四邊形面積）割補(bǔ)轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)][數(shù)格子求圖形面積的經(jīng)驗(yàn)]

三角形面積計(jì)算公式推導(dǎo)的原初經(jīng)驗(yàn)

平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形時(shí)進(jìn)行的是等積轉(zhuǎn)化，而三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形則需要加倍，學(xué)生需要面對(duì)一個(gè)三角形想到去虛構(gòu)另一個(gè)與之全等的三角形，使之拼成學(xué)過的規(guī)則圖形。根據(jù)克萊門茲等人對(duì)圖形構(gòu)造能力層次的劃分，可以發(fā)現(xiàn)前者屬于層次一“前構(gòu)造者”（只能操作單一的圖形，而不能把它們組合成更大的圖形）與層次二“堆砌者”（能夠按照要求或根據(jù)模型把一些簡(jiǎn)單的圖形組合在一起，看到的只是整體的形狀，而不是圖形之間或圖形的部分元素之間的幾何關(guān)系）；而后者則需要達(dá)到層次五“合同構(gòu)圖者”（學(xué)生能夠有意識(shí)地合成圖形，能夠充分認(rèn)識(shí)和運(yùn)用圖形的合同或全等關(guān)系，如知道兩個(gè)全等的梯形可以構(gòu)成一個(gè)六邊形）。這其中的差異，導(dǎo)致學(xué)生的原初構(gòu)想與最終構(gòu)想之間存在難以想到“從加倍（×2，倍拼法推導(dǎo)）到消去一半（÷2，運(yùn)用公式準(zhǔn)確計(jì)算）”的相異構(gòu)想。本文從學(xué)習(xí)材料的合理選擇與設(shè)計(jì)入手進(jìn)行闡述。

一、典型學(xué)材設(shè)計(jì)與相應(yīng)調(diào)正流程

教材選用不同的素材，激活的就是不同的原初經(jīng)驗(yàn)。從不同的原初經(jīng)驗(yàn)出發(fā)的相異構(gòu)想，經(jīng)由不同的學(xué)習(xí)材料的運(yùn)用，就會(huì)形成不同的調(diào)正教學(xué)流程。利用不同的學(xué)習(xí)材料進(jìn)行的調(diào)正教學(xué)主要有以下三種典型設(shè)計(jì)。

典型學(xué)材設(shè)計(jì)1：提供3個(gè)三角形

教學(xué)流程：利用原有經(jīng)驗(yàn)操作 → 能轉(zhuǎn)化成功， 不能轉(zhuǎn)化成功，為什么？→發(fā)現(xiàn) 能分成2個(gè)完全一樣的三角形，認(rèn)識(shí)到2個(gè)完全一樣的三角形才能拼成平行四邊形→信封里還有1個(gè) ，成功操作→找聯(lián)系，推導(dǎo)公式→引申介紹《九章算術(shù)》“中位線割補(bǔ)”，溝通其中的聯(lián)系。

調(diào)正了什么？

學(xué)材設(shè)計(jì)靈感來自于人教版教材的“操作”倍拼轉(zhuǎn)化。教材是直接給予兩個(gè)完全一樣的三角形，暗示過于明顯，如果放手讓學(xué)生操作，學(xué)生又找不到探究的切入口。這一學(xué)材的使用，把學(xué)生的思維從“1個(gè)三角形沿高剪開來拼”引導(dǎo)到用“2個(gè)完全相同的三角形來拼”，學(xué)生從“只會(huì)轉(zhuǎn)化等腰三角形→能轉(zhuǎn)化任意三角形”。

欠缺了什么？

學(xué)生面對(duì) 無法轉(zhuǎn)化成功，教師予以層層的“巧妙”引導(dǎo)，將“分成2個(gè)完全一樣的三角形”與“2個(gè)完全一樣的三角形才能拼成平行四邊形”對(duì)接，才完成了調(diào)正教學(xué)，說明這一學(xué)材無法調(diào)動(dòng)學(xué)生的原有拼組經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生無法獨(dú)立找尋到“倍拼法”，且探究方式比較單一，不利于學(xué)生主動(dòng)探究。

典型學(xué)材設(shè)計(jì)2：提供以方格為背景的直角、銳角、鈍角三角形各1個(gè)。

調(diào)正了什么？

學(xué)材設(shè)計(jì)靈感來自浙教版和日本啟林版。借助直角三角形這個(gè)特殊圖形，引導(dǎo)學(xué)生完成“倍拼”構(gòu)想，將研究直角三角形面積的活動(dòng)作為突破“倍拼法”的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。這一學(xué)材的使用，使得學(xué)生能在以方格為背景的情況下，用“中位線割補(bǔ)法”“倍拼法”將三角形轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形，算出面積。

欠缺了什么？

這一學(xué)材激活了較多的原初經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生能順利轉(zhuǎn)化，但由于從直角三角形出發(fā)到銳角三角形、鈍角三角形的嘗試、探究、反饋、提煉過程較長(zhǎng)，以及學(xué)生始終在方格背景下探索公式，導(dǎo)致學(xué)生在面對(duì)無數(shù)據(jù)的任意三角形需要自己測(cè)量關(guān)鍵數(shù)據(jù)時(shí)，就出現(xiàn)了很多的錯(cuò)誤。

典型學(xué)材設(shè)計(jì)3：提供以平行四邊形為背景的直角三角形1個(gè)。

教學(xué)流程：求出三角形面積[A][B][C][D][4厘米][7厘米]→三角形面積=平行四邊形面積÷2→給一個(gè)任意三角形，面積怎么求？寫出思考過程→學(xué)生自構(gòu)平行四邊形的想法反饋、展示→發(fā)現(xiàn)共同點(diǎn)、找到轉(zhuǎn)化前后圖形聯(lián)系→得出面積計(jì)算公式→引申介紹《九章算術(shù)》“中位線割補(bǔ)”，溝通其中的聯(lián)系。

調(diào)正了什么？

學(xué)材設(shè)計(jì)靈感來自蘇教版。借助平行四邊形與三角形之間的特殊關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生完成“加倍”構(gòu)想，讓學(xué)生能從計(jì)算平行四邊形中的三角形的面積出發(fā)去推導(dǎo)公式，逐步達(dá)成任意三角形面積的計(jì)算，且對(duì)公式中的“÷2”印象特別深刻。

欠缺了什么？

學(xué)生面對(duì)這份學(xué)材，推導(dǎo)的方法比較單一，緊扣平行四邊形÷2得到三角形。

對(duì)比三份典型學(xué)材與相應(yīng)的教學(xué)流程，可以得到兩點(diǎn)啟示：

1.格子圖的優(yōu)勢(shì)。格子圖為不同層次的學(xué)生提供不同的表達(dá)素材，人人都可以動(dòng)手去探究。且格子圖本身就與面積的本質(zhì)有關(guān)聯(lián)，比其他的學(xué)習(xí)素材都要直觀形象。

2.“切”“合”動(dòng)態(tài)感知的優(yōu)勢(shì)。學(xué)生在利用學(xué)材1和學(xué)材3時(shí)，都用較長(zhǎng)時(shí)間感受了兩個(gè)完全一樣的三角形拼成平行四邊形、一個(gè)平行四邊形均分成兩個(gè)完全一樣的三角形的過程，這一過程對(duì)接了面積計(jì)算公式中的“÷2”，有助于相異構(gòu)想的轉(zhuǎn)化，降低學(xué)生在后續(xù)計(jì)算過程中“÷2”的遺忘率。

利用這兩個(gè)學(xué)材的優(yōu)勢(shì)，就能助推學(xué)生對(duì)“從加倍（×2，倍拼法推導(dǎo)）到消去一半（÷2，運(yùn)用公式準(zhǔn)確計(jì)算）”的相異構(gòu)想進(jìn)行調(diào)正。

二、調(diào)正相異構(gòu)想的學(xué)材設(shè)計(jì)與調(diào)正教學(xué)片段

顯然，要引導(dǎo)學(xué)生掌握倍拼法，掌握計(jì)算公式，需要利用學(xué)生“最近”的經(jīng)驗(yàn)，使其相異構(gòu)想的“異”度在一定程度上降低，就可以讓學(xué)生在方格圖背景下研究三角形面積計(jì)算公式。在得出多樣化的轉(zhuǎn)化方法之后，通過溝通、對(duì)比，提煉出面積計(jì)算公式，并在公式習(xí)得后，設(shè)計(jì)“三角形從平行四邊形中‘單飛求面積”“‘單身三角形求雙的想象畫圖”“沒有方格圖自測(cè)數(shù)據(jù)求三角形面積”等即時(shí)跟進(jìn)練習(xí)，以助推方格圖背景學(xué)材在公式運(yùn)用時(shí)達(dá)到“平行四邊形一分為二”的動(dòng)態(tài)過程與公式中“÷2”的過程性對(duì)接的同等效果，從而順利將相異構(gòu)想調(diào)正為相同構(gòu)想。

學(xué)材設(shè)計(jì)與調(diào)正教學(xué)1：直角三角形“打頭陣”，方格背景從無到有。

師：有誰(shuí)知道三角形的面積怎么算？

生：三角形的面積=底×高÷2。

師：你說的三角形，是指所有三角形嗎？

生：是的。

師：三角形比較復(fù)雜，可以按邊分，可以按角分，咱們是按邊研究還是按角研究？

生：按角研究，因?yàn)槿切慰梢苑殖射J角、鈍角、直角三角形，不重復(fù)不遺漏。

生：按邊分，我們只認(rèn)識(shí)特殊的等腰三角形和等邊三角形，每條邊都不一樣長(zhǎng)的三角形沒有研究。

師：那就按角的分類來研究。要計(jì)算這三類三角形的面積（出示三角形：

【設(shè)計(jì)意圖】（1）遵循著學(xué)生的起點(diǎn)，提出研究的內(nèi)容。教師直接問“三角形面積怎么算→你要什么數(shù)據(jù)→算出結(jié)果”，能充分暴露學(xué)情，了解學(xué)生“公式”與“計(jì)算應(yīng)用”的掌握程度。剛學(xué)了平行四邊形面積，大部分學(xué)生在看教材、做作業(yè)的過程中自然地發(fā)現(xiàn)了公式并能進(jìn)行操練性“應(yīng)用”。那就讓學(xué)生敞開了說公式，大大方方進(jìn)行面積計(jì)算，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這節(jié)課并不只是研究“怎么算”，研究的重點(diǎn)是“為什么”，這就明晰了新的挑戰(zhàn)。（2）給予數(shù)據(jù)并凸顯方格圖的背景作用。在沒有方格圖的時(shí)候，學(xué)生根據(jù)公式和需要的數(shù)據(jù)已經(jīng)求出了三角形面積。在求出具體面積的基礎(chǔ)上，給三角形配上方格背景，有利于學(xué)生對(duì)照具體數(shù)據(jù)研究其中的道理。學(xué)生面對(duì)具體數(shù)據(jù)比面對(duì)“底”“高”這些抽象名稱更容易說理、分析。而教師直接說“從直角三角形”開始研究，是因?yàn)閷W(xué)生在三角形內(nèi)角和等課上，感受過以直角三角形為推進(jìn)素材的學(xué)習(xí)，此時(shí)直接切入，簡(jiǎn)化過程。

師：誰(shuí)上來匯報(bào)一下自己的研究結(jié)果，為什么6×4以后還要“÷2”？

方法：中位線割補(bǔ)——割補(bǔ)轉(zhuǎn)化

生1（出示）：我是這樣想的。從這里割開，旋轉(zhuǎn)到這邊，就拼成了一個(gè)長(zhǎng)方形。這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是6厘米，高是2厘米，與原來的三角形一比，三角形的高÷2了，原來是4厘米，現(xiàn)在只有2厘米了，是原來的一半，根據(jù)長(zhǎng)方形面積公式長(zhǎng)乘寬，所以就是6×4÷2。

師：6是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，4÷2是——[長(zhǎng)方形的寬，板書：6×（4÷2）]。

師：好，他解釋了之所以÷2，是因?yàn)楦摺?了（動(dòng)態(tài)配合，圖1）。你們倆呢？

生2：我和他的方法差不多

生：都要沿著中間的地方分割才行。（上來指著說）生1、生2是從高的中點(diǎn)到斜邊的中點(diǎn)，生3是底的中點(diǎn)到斜邊的中點(diǎn)。

生：我覺得他們就是用“一半”法來解釋“÷2”的。高割掉一半，或者底割掉一半，拼成學(xué)過的平行四邊形或者長(zhǎng)方形。

【設(shè)計(jì)意圖】根據(jù)經(jīng)驗(yàn)分析，以方格圖為背景，部分學(xué)生能利用平行四邊形割補(bǔ)轉(zhuǎn)化的方法，將單個(gè)直角三角形直接分割轉(zhuǎn)化。又根據(jù)前面所做的后測(cè)分析，這種方法一旦離開格子圖，學(xué)生“留痕”過淺，因此不作放大研究，而是讓學(xué)生用自己樸素的話加以表達(dá)，并用預(yù)設(shè)好的課件配合學(xué)生的方法，幫助每個(gè)學(xué)生能理解單個(gè)圖形的轉(zhuǎn)化。

師：說得真好。那么大家看這兩種方法，和剛才的方法一樣嗎？他們又是怎么想的？和原來的三角形又有怎樣的聯(lián)系？

生：我覺得這兩個(gè)作品特別好理解。6×4，算出來的是長(zhǎng)方形和平行四邊形的面積。但這個(gè)長(zhǎng)方形和平行四邊形都是由2個(gè)一樣的直角三角形拼成的，所以6×4后要再÷2。

生：我也覺得。6×4就是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)×寬，是24平方厘米，三角形的底×高就是24平方厘米，但這是2個(gè)三角形的面積，所以6×4后要再÷2。

生：他們都是多畫了1個(gè)一樣的直角三角形，拼成了學(xué)過的圖形，只不過這個(gè)拼在斜邊上，這個(gè)拼在直角邊上。

師：按他的說法，還能把這個(gè)多畫的直角三角形往哪兒拼？

生：還有一條直角邊上也可以拼。

師：你們?cè)诟褡訄D上畫畫看，拼起來是什么樣子的？

生：也是一個(gè)平行四邊形，它的底是三角形的這條直角邊，高是另一條直角邊。

師：咱們以前這樣拼過嗎？

生：拼過。2副三角板，用尖尖的兩個(gè)直角三角板，可以拼組成3個(gè)不同的平行四邊形。

【設(shè)計(jì)意圖】（1）利用最“同”構(gòu)想，推進(jìn)理解。格子圖上的直角三角形，學(xué)生在四年級(jí)時(shí)就能想到加倍成長(zhǎng)方形來數(shù)面積，課堂上自然有很多學(xué)生會(huì)想到這種方法，但很少有學(xué)生會(huì)想到倍拼成平行四邊形。2個(gè)圖放在一起比較，學(xué)生就能關(guān)注到“倍拼”的共同點(diǎn)，借助“長(zhǎng)方形”的“容易理解”來推動(dòng)不同形式但相同本質(zhì)的“倍拼法”。（2）激活拼組法經(jīng)驗(yàn)，讓“倍拼法”有了“來處”。學(xué)生發(fā)現(xiàn)倍拼法原來是“老朋友”，之后的銳角三角形和鈍角三角形就可以放手讓學(xué)生自己研究，學(xué)生會(huì)在“割補(bǔ)法”和“倍拼法”的基礎(chǔ)上，多一種將銳角三角形、鈍角三角形“分割成2個(gè)直角三角形”，然后用直角三角形來解釋說明的方法。

學(xué)材設(shè)計(jì)與推進(jìn)教學(xué)2：強(qiáng)化公式感知，從平行四邊形中來。

師：大家剛才用了很多方法，畫畫、寫寫、說說，也發(fā)現(xiàn)了用倍拼法把三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形（含長(zhǎng)方形），特別好理解。那請(qǐng)大家看看，這個(gè)平行四邊形中，你能看到三角形嗎？

師：是啊，三角形面積總是等底等高的平行四邊形面積的一半，我們可以確認(rèn)三角形面積=底×高÷2。如果我現(xiàn)在給你一個(gè)“單身”的三角形，你能找到它的平行四邊形伙伴嗎？好，想象出來了，比畫一下。我們把這個(gè)過程一起來表演一下。

師生一起比畫：?jiǎn)紊淼娜切吻蟛怀雒娣e，需要依靠它的好朋友平行四邊形，先底×高變成了平行四邊形，再÷2，就得到了三角形的面積。

【設(shè)計(jì)意圖】（1）對(duì)應(yīng)公式，強(qiáng)化直觀感知。先將一個(gè)已知面積是6平方厘米的平行四邊形分割成2個(gè)三角形，求三角形面積；然后從單個(gè)三角形去想象拼成的平行四邊形，再一分為二，這樣由課件配合動(dòng)態(tài)直觀的感知過程，都是在幫助學(xué)生理解公式后進(jìn)一步內(nèi)化概念。（2）故事化語(yǔ)言，讓學(xué)生牢記好朋友平行四邊形。在后續(xù)的練習(xí)中，學(xué)生經(jīng)常要忘記“÷2”，故事一串，手勢(shì)一表演，學(xué)生就加深了印象，感受到了三角形必須依靠好朋友才能算出面積，底×高算的是平行四邊形面積，要÷2才是三角形面積。

從前測(cè)到教材分析，從典型學(xué)材設(shè)計(jì)與經(jīng)典教學(xué)流程到學(xué)生“學(xué)材”的選擇，最終形成了相異構(gòu)想理念下調(diào)正“差異”的學(xué)材設(shè)計(jì)，并在這樣的學(xué)材基礎(chǔ)上推進(jìn)了三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)教學(xué)。關(guān)注相異構(gòu)想，就是關(guān)注學(xué)生的原初經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)有效的學(xué)習(xí)材料，就是基于學(xué)生的原初經(jīng)驗(yàn)去引導(dǎo)、去溝通、去調(diào)正與知識(shí)的最終構(gòu)想之間的差異，讓學(xué)生經(jīng)歷從“不完整”的原初構(gòu)想到“完整”的最終認(rèn)知的調(diào)正過程。

參考資料：

[1]楊富民.“三角形面積”磨課歷程[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，2016（20）：52-53.

[2]陳敏.基于“重點(diǎn)·難點(diǎn)·關(guān)鍵點(diǎn)”的教材比較研究——以“三角形的面積”新授課為例[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2016（06）：7-10.

[3]陳敏.“三角形的面積”教學(xué)再嘗試[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2012（09）：38-40.

[4]鄭維榮.基于思想導(dǎo)引的“殊途同歸”——“三角形的面積計(jì)算”教學(xué)案例（一）[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，2015（32）：16-17.

[注：本文為浙江省教育規(guī)劃課題2018SC086“小學(xué)數(shù)學(xué)相異構(gòu)想調(diào)正策略的研究——以圖形與幾何（測(cè)量）為例”的階段性成果之一。]

（浙江省寧波市奉化區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué) 315500）