運用轉(zhuǎn)化思想巧解一元二次方程的教學研究

夷國良

摘 要：從數(shù)圖交融、靈活解題，開方熟記、類比解題，因式降次、快速解題三方面研究運用轉(zhuǎn)化思想巧解一元二次方程的教學，使學生在一元二次方程的解題中學會轉(zhuǎn)化的思維。

關(guān)鍵詞：數(shù)學；一元二次方程；轉(zhuǎn)化思想；解題

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1008-3561（2016）33-0089-01

轉(zhuǎn)化是數(shù)學教學中的一種重要的思維，運用這種思維可將未知的變?yōu)橐阎模瑥碗s的變?yōu)楹唵蔚?，或者?gòu)建數(shù)學模型來解題。一元二次方程是學生們比較棘手的模塊，將這種思想遷移到這里會很有必要。傳統(tǒng)的求根通式雖然是萬能的，但是往往會增加非常大的計算量，因此教師給學生講授轉(zhuǎn)化思想尤為重要。

一、數(shù)圖交融，靈活解題

一元二次方程都對應(yīng)著相應(yīng)的拋物線圖像。方程的根下既定的區(qū)間內(nèi)，借圖來研究端點的正負、頂點的位置和判別式，可將根的條件轉(zhuǎn)化成方程系數(shù)的問題，用多個條件來限制，進而準確得到答案。以基本方程ax2+bx+c=0為例，a的正負號代表著圖像的開口情況，a大于0即開口向上，反之向下。圖像的對稱軸為-b/2a，往往題目中會限定x的區(qū)間，簡單畫出圖像將會大大減少思考的難度。以上圖為例（圖略）α、β為區(qū)間的兩個端點，由于α、β的不同，根的包含情況也不同。下面看一道題目，如果方程（1-m2）x2+2mx-1=0的兩個根一個小于0，另一個大于1，試確定m的范圍。這是一道求范圍的題目，首先聯(lián)想一元二次方程，公式里面出現(xiàn)了大于號和小于號。有兩個解，說明△>0，但是如果用公式就出現(xiàn)m4，這是答題者不愿意看到的。再看題目中的條件，（1-m2）的正負不知道，當它大于0時，開口向上，此時x=1時，（1-m2）f（1）<0，即可得（m2-1）（m2-2m）<0，解不等式組得：-1

二、開方熟記，類比解題

學生在平時的學習中也可以用類比的思想來找出新舊知識的聯(lián)系，從而在新舊知識的比較中更好更快地掌握新知識。配方法的理論依據(jù)是完全平方公式a+b±2ab=（a±b），配方法需要五個步驟。第一，將原方程化為一般形式。第二，式子的兩邊除二次項的系數(shù)，使其變?yōu)?，再將常數(shù)項傳到方程的右邊。第三，方程的兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方。第四，開始配方，式子的右邊為常數(shù)，左邊是完全平方式。第五，開方求解，注意常數(shù)項的正負。如果可以將式子的左邊通過變形成平方的形式，右邊是一個大于0的常數(shù)，那么就可以用這種方面來解題。這種類型基本有三種形式：1）x2=a（a≥0）、2）（x+m）2=n（n≥0）、3）（mx+n）2=c（m≠0且c≥0）。這些都是開方法來解題的通式，如果能將式子變成這樣，那么就能剩下很多時間。比如（x-5）2-36=0，這是變形后的，將它復原成一般式x2-10x-11=0，就可以清楚地看到二次項和一次項的系數(shù)可以變成平方的形式，基本上二次項系數(shù)為1的情況都可以用開方的方法來求解。同樣，如果二次項的系數(shù)不為1，如2x2-10+25=0，可以進行變形（x-5）2=x2，這樣就要求一次項和常數(shù)項的系數(shù)了。這種方法要求學生能準確觀察出配方的形式，教師可以通過將二次方程轉(zhuǎn)化為一次方程，將這種用有未知向已知轉(zhuǎn)化的思想滲透給他們，從而培養(yǎng)他們的計算能力和抽象概括能力。

三、因式降次，快速解題

因式分解要求的層面更加高，這些題可以考查學生的觀察能力和技巧。因式分解同樣用到了降次的思想，以整化歸，只要掌握技巧，那么這類題就會變得很簡單。一般的因式分解需要四個步驟，首先將等式的右邊所有項移到左邊，接著將方程的左邊化成式子想乘的形式，然后讓每個分解出來的因式都為0，最后去解兩個式子中的x。因式分解中的提公因式相對簡單，如2x2+3x=0，x（2x+3）=0，即x=0或2x+3=0，即得方程的解為0和-2/3。在因式分解中，比較難的是十字相乘法，它也是運用了轉(zhuǎn)化思想，以下圖為例。

十字相乘法是借助了十字交叉線來分解，首先是將二次項系數(shù)和常數(shù)項系數(shù)都分解為兩個數(shù)的乘積，然后將四個數(shù)并排排列，使其交叉相乘，再將相乘的數(shù)加在一起，看是否得出來的數(shù)是一次項的系數(shù)。若不是，將排列方法變換或?qū)⑾禂?shù)換成另外兩個數(shù)的乘積，再算；若是，就將分解的式子按橫的方式書寫，進而求解。比如6x2+16x+15=0，首先將6分解為2和3，將15分解為3和5，2×5+3×3=19，即這種方法的分解是可行的。在書寫因式的時候，要將2和3結(jié)合，3和5結(jié)合，即（2x+3）（3x+5）=0，解得x=-2/3或-5/3。其實，因式分解可以解決所有的式子，一般情況下出題人會優(yōu)先考查因式分解中的十字相乘法，因此學生要多做題才能生巧。

四、結(jié)束語

總之，一元二次方程對于初中生來說是很難攻克的難題，如果學生慢慢研習這三種方法，一定可以在數(shù)學上有所提高。這種轉(zhuǎn)化的思想影響著學習的方方面面，因此教師要培養(yǎng)學生的這種思想，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，從而為他們以后的學習打下堅實的基礎(chǔ)。

參考文獻：

[1]李雷.構(gòu)造一元二次方程巧解定值定點問題[J].中學數(shù)學研究，2016（08）.

[2]陳雪良.構(gòu)造一元二次方程解題的常用方法[J].初中數(shù)學教與學，2015（05）.