貴在比較，勝在遷移
——以數(shù)量積為例談解題教學(xué)

浙江省寧波市鄞州區(qū)姜山中學(xué) (315191) 李 烽

波利亞曾說(shuō)過(guò)：……教師能拿出一個(gè)有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題，就好像通過(guò)一道門(mén)戶(hù)，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域.在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，我們?cè)谡n前致力于優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)方案，課中努力提高課堂的學(xué)習(xí)效率，課后反思提升對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)知水平.其中一題多解、一題多變是一線(xiàn)教師常用的課堂組織形式.

1.問(wèn)題的提出

在平面向量的復(fù)習(xí)中，一道數(shù)量積的練習(xí)解答不甚滿(mǎn)意，通過(guò)面批，老師鼓勵(lì)學(xué)生從多角度展開(kāi)思考得到不同的解題體驗(yàn)，進(jìn)而開(kāi)設(shè)了一堂名為“三生三世，十里桃花”為主題的復(fù)習(xí)課.本文做一整理，以作拋磚引玉.

圖1

2.教學(xué)過(guò)程

2.1 觀(guān)當(dāng)下，一題多解引思考

師：平面向量數(shù)量積集數(shù)形于一體，在解題中常與函數(shù)、不等式內(nèi)容相結(jié)合，是高考和學(xué)考的熱點(diǎn)考查內(nèi)容.今天我們以本題為例，來(lái)談一談你在解題中的心路歷程：即從何入手，遇到了哪些困難，你是怎樣解決這些困難的？

生2：這里還是有猜的成分，不好說(shuō)明兩線(xiàn)段乘積何時(shí)最大.我是從坐標(biāo)入手的，轉(zhuǎn)化后處理不等式問(wèn)題.經(jīng)過(guò)整理我們有以下幾個(gè)方法：

生3：這里的二個(gè)變量處理起來(lái)還是比較麻煩的，我從圓方程想到可設(shè)P(2cosθ,2sinθ)，參變量唯一，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問(wèn)題，同樣可得解.

生4：我一開(kāi)始也是用坐標(biāo)法來(lái)做的，但我發(fā)現(xiàn)在定圓問(wèn)題中，抓住圓心和半徑，利用投影能更快地解決問(wèn)題.

師：以上幾位同學(xué)分別從特值猜想、坐標(biāo)代數(shù)論證、幾何直觀(guān)展示三個(gè)方向加以解決，解得都很好，展示了各位同學(xué)扎實(shí)的基本功.請(qǐng)同學(xué)們?cè)谡硪陨戏椒ǖ耐瑫r(shí)，著眼于策略的比較，議一議三個(gè)方向上的解法體會(huì).

生1：特值猜想是選擇填空中常用的方法，能提高解題的效率，幫我節(jié)省不少的時(shí)間，特別是在一類(lèi)定值問(wèn)題中常能起到秒殺的作用，但在取值范圍問(wèn)題中因停留于直覺(jué)判斷，往往不夠嚴(yán)謹(jǐn)造成失分.

生2：從幾何意義角度解決問(wèn)題清楚直觀(guān)，但是在幾何條件的尋找轉(zhuǎn)化上常覺(jué)困難，特別是條件復(fù)雜的題感覺(jué)經(jīng)常找不到門(mén)路.從數(shù)與形的表示中去尋求統(tǒng)一，坐標(biāo)法給我們明確方向，距離、斜率、截距等幾何屬性是常見(jiàn)形式.

生3：我還是覺(jué)得坐標(biāo)法更靠譜，建立合適坐標(biāo)系，取值范圍轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，關(guān)鍵在于多元多參向一元單參的轉(zhuǎn)變處理.各點(diǎn)坐標(biāo)不明確的可考慮用唯一基底表示，用線(xiàn)性運(yùn)算解決.

師：同學(xué)們都能結(jié)合自己的情況，談了對(duì)這類(lèi)題解法策略的理解，都說(shuō)得很好.在平面向量最值問(wèn)題的解決過(guò)程中我們注重坐標(biāo)化、線(xiàn)性化、圖形化的解題策略，注重方法的比較與歸納，定能有理想的收獲.

2.2 賞過(guò)往，前世今生共比較

回溯過(guò)往，我們可以在高考、學(xué)考甚至于課本中找到本題的題源.

結(jié)合本課例題的多種解法，你對(duì)這三題會(huì)采取怎樣的解題步驟？

生8：題1與例題類(lèi)似，但突出了點(diǎn)在半圓上，我會(huì)用參數(shù)法設(shè)點(diǎn)，只要規(guī)定其中θ∈[0，π]即可.

生9：題2考查數(shù)量積的幾何意義，從投影考慮顯然此題只和弦AB的長(zhǎng)度有關(guān).

生10：題3各點(diǎn)坐標(biāo)難以量化，我覺(jué)得用極化恒等式更簡(jiǎn)單，結(jié)合圓上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離的幾何屬性可以迅速得到答案.

2.3 品變式，一題多變求余韻

對(duì)于此類(lèi)三角形背景下的數(shù)量積問(wèn)題，請(qǐng)大家展開(kāi)討論，還可以從哪些方面進(jìn)行怎樣的拓展變形.

比如逆向思維考慮：

又如從動(dòng)點(diǎn)的幾何屬性考慮：

2.4 悟題型，課堂小結(jié)歸于一

請(qǐng)同學(xué)們從知識(shí)、方法、思想三個(gè)維度談?wù)劚竟?jié)課的收獲.

學(xué)生點(diǎn)評(píng)感悟，教師歸納統(tǒng)一.平面向量數(shù)量積的取值范圍隱含函數(shù)的最值問(wèn)題，坐標(biāo)代數(shù)處理使其簡(jiǎn)單化，幾何量圖形轉(zhuǎn)化實(shí)施使其直觀(guān)化.

3.教學(xué)反思

例題教學(xué)要經(jīng)過(guò)方法匯總——內(nèi)化比較——外化遷移的過(guò)程，既要使其現(xiàn)形，更要使其入魂.通過(guò)方法的比較，使學(xué)生的思維得到鍛煉，實(shí)現(xiàn)解題能力的提升.平面向量的數(shù)量積問(wèn)題是高考和學(xué)考的一個(gè)熱點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn).本課從基礎(chǔ)問(wèn)題出發(fā)，以一題多解、多變的教學(xué)方法，從特值猜想、坐標(biāo)論證、數(shù)形結(jié)合三個(gè)視角，歷經(jīng)現(xiàn)在式、過(guò)去式、將來(lái)式三種變化，進(jìn)行知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的整合，融合不等式、函數(shù)、解三角形等知識(shí)要點(diǎn)，有利于學(xué)生從聯(lián)系的觀(guān)點(diǎn)來(lái)理解和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué).

3.1 一題多解，方法的融合貴在比較

忽如一夜春風(fēng)來(lái)，千樹(shù)萬(wàn)樹(shù)梨花開(kāi).教學(xué)的目的是使不同層次的學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)都得到一定的提高.在課堂的討論交流中應(yīng)逐步培養(yǎng)起自主探究的能力，先求百花爭(zhēng)放，落實(shí)相關(guān)方法步驟的整理，再重梳理比較，在思路分析和方法比對(duì)中發(fā)現(xiàn)異同優(yōu)劣，優(yōu)化解題的策略，最后注重方法的總結(jié)與提升，使學(xué)生在解題活動(dòng)中培養(yǎng)起歸納的習(xí)慣.其中方法間的比較是學(xué)習(xí)內(nèi)化的過(guò)程：一要比較命題的背景和意圖，“有什么求什么”；二要比較方法的過(guò)程與步驟，“怎么辦怎樣好”；三要比較效果和效率，“哪些可借鑒”.最終實(shí)現(xiàn)一種個(gè)人的解題習(xí)慣.

3.2 一題多解，方法的落實(shí)勝在遷移

千淘萬(wàn)漉雖辛苦，吹盡黃沙始現(xiàn)金.一題多解、一題多變?cè)诨痉椒鋵?shí)規(guī)范后，勝在及時(shí)準(zhǔn)確地外化遷移.這要求我們對(duì)多解性方法進(jìn)行必要地整理提煉，形成問(wèn)題處理的經(jīng)驗(yàn).在適當(dāng)時(shí)機(jī)能有序提取題設(shè)的條件，選擇合適的方法才能提高解題的效率，煉得數(shù)學(xué)的真金.

好的例題教學(xué)應(yīng)該是照亮學(xué)生解題的燈塔.立足于高觀(guān)點(diǎn)，挖掘知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，挖掘例題、習(xí)題的教學(xué)功能，才能領(lǐng)會(huì)知識(shí)中蘊(yùn)涵的隱性思想，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的滲透.既能玩味經(jīng)久，又要入魂三分.