“圓錐曲線中一類定值、定點問題”的教學設(shè)計與思考

江蘇省張家港市崇真中學 (215600) 童先峰

探究教學是學生思維能力、學科素養(yǎng)增長的一種重要教學形式，本著由易到難、層次分明、循序漸進的原則，筆者以《圓錐曲線中一類定值、定點問題》為例，就如何進行教學設(shè)計實現(xiàn)學生自主探究的能力提升與同行交流，敬請指正.

一、備課思考

課前定教學目標：即讓學生學什么？定教學形式：即讓學生怎么樣學？定教學效果：即學生學會了什么？在準備教學的每一個環(huán)節(jié)時，都要思考上述問題，只有這樣做，才能在教學中“潤物細無聲”的讓學生感知“教學目標”，從而實現(xiàn)教學目標.

二、教學設(shè)計

引例1 將圓x2+y2=1上的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變，則所得曲線的方程是________.

引例2 已知AB是圓O的直徑，點P是圓O上異于A,B的點，k1,k2是直線PA,PB的斜率，則k1·k2=________.

設(shè)計意圖：通過對上述問題的探求，讓學生自覺的把圓中的結(jié)論進行合理猜想，使學生進入一個探究問題的環(huán)節(jié)，幫助學生打開思維.

圖1

設(shè)計意圖：分析如何進行有效的簡化運算，即如何合理設(shè)變量，構(gòu)建整個求解過程，使得求解過程多方法、少計算，降低了題目的難度.

變式2 直線l改為x=m，定點的坐標是什么？

設(shè)計意圖：通過幾何畫板的演示，對變式問題進行檢驗，進一步體現(xiàn)數(shù)學實驗的重要性.同時，在數(shù)學品質(zhì)層面上培養(yǎng)學生大膽質(zhì)疑和舉一反三的學習作風.

圖2

(1)當直線AP斜率為1時，求點P的坐標；

(2)當直線AP斜率為k時，直線PQ是否過x軸上的一定點，若過定點，請給出證明，并求出該定點？若不過定點，請說明理由．

設(shè)計意圖：通過本題，讓學生進一步感受圓與橢圓之間的邏輯關(guān)系，體會兩者之間的聯(lián)系.并讓學生體會求解定點問題的基本方法.

思路一：先進行一般計算推理求出其結(jié)果，選定一個適合該題設(shè)的參變量，用題中已知量和參變量表示題中所涉及的定義，方程，幾何性質(zhì)，得到所求定(點)值關(guān)系所需要的表達式，化簡整理求出結(jié)果.

思路二：通過特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊圖形等)先確定出定值，揭開神秘的面紗，這樣可將盲目的探索問題轉(zhuǎn)化為有方向有目標的一般性證明題.

變式1 (2)改為“直線PQ是否過一定點，若過定點，請給出證明，并求出該定點？若不過定點，請說明理由．”

變式2 若kAP·kAQ=1，直線PQ是否過一定點？

設(shè)計意圖：通過這一定點問題與圓錐曲線離心率之間的關(guān)系，進一步讓學生感受離心率e是聯(lián)系橢圓、雙曲線、拋物線的紐帶，為學生課下自主探究橢圓、雙曲線、拋物線三者之間常見結(jié)論規(guī)律指明了方向.

三、課后反思

1.基于認知水平，尋找探究教學合適起點

圓錐曲線是高中數(shù)學中學生較難掌握的章節(jié)，其中有些模塊化的過程性結(jié)論可以讓解題變的十分輕松.但這些結(jié)論是怎樣來的，如何才會想到這樣的結(jié)論，是教師在課上需要下功夫解決的問題，教師如果直接告知結(jié)論，學生新的認知很難在具體的、已有的認知水平上建立起來.這就需要教師在進行教學設(shè)計時，本著充分尊重學生的主體地位和符合學生的認知水平這兩個原則，通過引導學生主動參與、獨立探索，使得學生自己能夠推導出可能的結(jié)論.本節(jié)課從書本上學生容易解決的兩個問題出發(fā)，引發(fā)聯(lián)想，提出“你能根據(jù)上述兩個問題，在橢圓中類比出一個新的問題嗎？”讓學生自己猜想出一個可能的結(jié)論，從這一角度切入對問題的研究，學生就會感覺到有事可做，而不會陷入茫然無措.再從已經(jīng)得到的小結(jié)論出發(fā)，進行一般化研究，利用一個典型問題，深化過程性小結(jié)論的重要性，得到了本節(jié)課的核心內(nèi)容，展現(xiàn)了知識探究的真正的發(fā)展過程，實現(xiàn)了學生思維的“自然流淌”.

2.基于合情推理，發(fā)揮學生思維聯(lián)想能力

“推理與證明”是普通高中《數(shù)學課程標準》(實驗)新增加的內(nèi)容.在教學過程中，有些教師可能只是在教材中遇到該內(nèi)容時才意識到用合情推理去探究一些問題，而在其它時候往往忽視合情推理的作用.換句話說不少教師仍將合情推理作為教材中的一個知識點在教，在其它更多的教學時間中并沒有將歸納、類比、一般化、特殊化等合情推理的思維方式自覺應(yīng)用到教學中去，這也在一定程度上造成學生缺乏通過合情推理去提出問題，解決問題的能力.本節(jié)課在將圓中的結(jié)論及圓到橢圓的變化過程展現(xiàn)給學生后，讓學生提出一個新的問題，而在解決以后，又讓學生對典型例題中的題干提出質(zhì)疑，題干中的直線為什么是這樣一條直線，能不能是其它直線，從而讓學生感受問題是怎么出來的，解題后的反思使問題達到了一個新的高度，這也正是因為充分利用了合情推理才讓學生的思維在探究課堂上達到了一個小高潮.隨后，讓學生大膽猜想圓中的其它結(jié)論，這些結(jié)論是否可以類比遷移到橢圓中，類比到橢圓中的結(jié)論又是什么？怎么樣才能得到證明，從而實現(xiàn)探究課堂中的真正探究.

3.基于學習興趣，實現(xiàn)課上課下能力延伸

知識是載體，能力是立意.課堂上的時間是有限的，知識僅僅是探究思想、探究方法的一個載體，如何讓學生在認識本節(jié)內(nèi)容的同時，有更多的思考，激發(fā)更多的學生課下探究的興趣，實現(xiàn)課下的一種自主延伸探究才是探究教學真正意義上的成功.本節(jié)課通過一個統(tǒng)一結(jié)論“e2-1”，讓學生感受在有心圓錐曲線中兩直線斜率乘積的結(jié)果可以利用離心率得到形式上的統(tǒng)一，學生在感受圓中結(jié)論遷移到有心圓錐曲線的同時，也讓學生對圓錐曲線的離心率有了更深的理解.同時通過課后相關(guān)閱讀材料的閱讀，讓學生進一步充分體會到圓錐曲線中許多結(jié)論都是可以通過離心率來進行統(tǒng)一.這樣一來，學生在課下學習圓中相關(guān)結(jié)論時，不僅會很自然的想到有心圓錐曲線中有類似這樣的結(jié)論嗎？如果有，這個結(jié)論是什么呢？而且也會聯(lián)想到結(jié)果用什么樣的形式出現(xiàn).從而真正打通學生探究思維上的“任督二脈”.