不同版本教科書中例習題難度比較研究
——以人教A版和北師大版中“平面向量”為例

☉西北師范大學教育學院 白若雪

一、引言

在高中數(shù)學課程中，幾何是變化較大的內(nèi)容之一，也是貫穿高中數(shù)學課程中的一條主線.幾何課程的設計分為兩部分，一部分是將“把握圖形”的能力作為指導思想，貫穿在整個數(shù)學課程的始終.另一部分是設計了應用的幾何內(nèi)容.

向量是幾何的一個基本內(nèi)容，它既可以看成是代數(shù)的內(nèi)容，也可以看成是幾何的內(nèi)容.向量可以用來表示空間中的點、線、面.如果以坐標系的原點為起點，向量就與空間中的點建立了一一對應關(guān)系.通過向量的運算來度量幾何體現(xiàn)了向量是連接幾何和代數(shù)的一座天然“橋梁”，它進一步體現(xiàn)了解析幾何的思想，是體會數(shù)形結(jié)合思想的重要載體.

本文重點是兩本數(shù)學教材對于平面向量例習題的難度比較，指出各教材的共性和差異，優(yōu)點和不足，為中學選擇教材提供幫助.

二、研究方法

（一）研究對象

人教A版教材中平面向量的知識安排在必修4第二章，分為5小節(jié)，北師大版教材平面向量知識也安排在必修4第二章，分為7小節(jié).探究兩版本教材中平面向量內(nèi)容中的例習題的編排特點.

（二）研究方法

選擇了鮑建生教授的“數(shù)學課程的綜合難度模型”，該模型是由5個因素構(gòu)成的五邊形，這5個因素分別是認知、背景、運算、推理、知識含量，其中每個因素又都細化為不同的層次水平.

（三）研究內(nèi)容

例習題既是向?qū)W生傳授知識的紐帶，又是鞏固“雙基”、培養(yǎng)能力的橋梁.研究主要針對例習題的呈現(xiàn)形式、題量、難易程度等方面進行相互比較.

三、研究結(jié)果分析

（一）例習題的形式與數(shù)量比較

表1 人教A版教材向量例習題數(shù)量統(tǒng)計表［1］

表2 北師大版教材向量例習題數(shù)量統(tǒng)計表［2］

由表1和表2可知北師大版的例習題總數(shù)要少于人教A版，其中人教A版涉及的探究與思考類型較多，數(shù)量也遠多于北師大版，似乎更注重“探究式教學”.

從整體觀察兩個版本的例習題編寫形式，還是有很多相似之處的，比如，都是先安排例子作為引入，然后分析，中間穿插探究或思考，這些都符合教師的教和學生的學的規(guī)律，只是人教A版的內(nèi)容豐富些.

（二）綜合難度比較

例習題的綜合難度可衡量出教科書編寫者對學習者所要達到的要求，本文采用經(jīng)李淑文博士改進后的鮑建生數(shù)學題綜合難度多因素模型，如表3.

表3 維度分析表

人教A版與北師大版向量例題各難度因素的難度值統(tǒng)計如表4所示.

表4 兩套教材例習題難度因素對照

說明：加權(quán)平均d的計算公式為i=1，2，3，4，5；j=1，2，…）.［3］

其中，di依次表示“認知”“背景”“運算”“推理”“知識含量”五個難度因素的加權(quán)平均值，dij為第i個難度因素的第j個水平的權(quán)重（依水平分別取1，2，3，4，5），nij則表示這組題目中屬于i第個難度因素的第j個水平的題目的個數(shù)，其總和等于該組題目的總數(shù)n.

根據(jù)兩套教材各難度因素的加權(quán)平均值畫出兩套教材向量例習題綜合難度五邊形如圖1所示：

圖1 兩套教材例題綜合難度五邊形

這個五邊形很直觀地顯示出：在背景、知識含量2個因素上，人教A版教材數(shù)學例習題難度要低于北師大版，而在運算、推理、認知3個因素上，人教A版教材數(shù)學例習題難度要高于北師大版，而在這5個因素中，背景的難度值相比其他因素要小很多，兩個版本都沒有保持5個因素的平衡性.

（1）認知因素的水平比較.

從表4中可以看出人教A版教材的201個例習題在認知的4個水平上的表現(xiàn)是：識記水平的占28.9%，理解水平的占53.2%，應用水平的占10.9%，探究水平的占7.0%.而北師大版教材195個例習題在認知的4個水平上的表現(xiàn)是：識記水平的占24.6%，理解水平的占52.3%，應用水平的占15.4%，探究水平的占7.7%.如圖2所示.

圖2 兩版本在認知水平上的比較

從圖2可以看出，在認知的4個水平上人教A版在識記和理解兩個因素的難度值都要高于北師大版，但總體都呈現(xiàn)的是一個變化趨勢.兩套教材的探究水平體現(xiàn)的都比較低，而重點強調(diào)學生的理解水平和應用意識，這也體現(xiàn)了《普通高中數(shù)學課程標準》（實驗稿）對于數(shù)學課程的要求：“高中數(shù)學課程有助于學生認識數(shù)學的應用價值，增強應用意識，形成解決簡單實際問題的能力.”

（2）背景因素的水平比較.

統(tǒng)計表明人教A版在平面向量這一章中的例習題有85.5%的無實際背景，4.5%的是個人生活背景，9.0%的是公共常識背景，3.0%的是有科學背景.在北師大版的例習題中有66.7%的無實際背景，12.3%的有個人生活背景，16.4%的有公共常識背景，而有科學背景的占4.6%.如圖3所示.

圖3 兩版本在背景水平上的比較

從圖3可以看出兩套教材都以無實際背景例題為主，這可能是由于學生的發(fā)展過程決定的，在高中階段學生的學習方式已經(jīng)由初中階段的半抽象、半具體轉(zhuǎn)變?yōu)榭梢砸揽客耆橄笏季S來解決數(shù)學問題，所以不用通過很多的背景材料來激發(fā)學生的興趣.而北師大版注重公共常識背景題和科學背景題，讀過兩本教材的讀者不難發(fā)現(xiàn)北師大版中的數(shù)學例題包含實例分析和例子里面很多都會涉及物理方面的知識，我們知道向量最初被應用于物理學，很多物理量如力、速度、位移，以及電場強向量度、磁感應強度等都是向量.體現(xiàn)了向量在解決問題時的有效性，學生所學到的向量知識不是簡單的計算及證明，而是能夠應用于生活及科學的一個工具.

（3）運算因素的水平比較.

人教A版教材的201個例習題有15.9%的是沒有運算的，19.9%是數(shù)值運算，55.2%的是簡單符號運算，9.0%的是復雜符號運算.北師大版教材的195個例習題有15.9%的是無運算的，28.2%是屬于數(shù)值運算，52.3%的是簡單符號運算，3.6%的是復雜符號運算.如圖4所示.

圖4 運算因素的水平比較

在運算因素的水平比較圖中不難看出人教A版只有在數(shù)值運算的例習題中略低于北師大版，而在其他的3個水平無運算、簡單符號運算、復雜符號運算中都高于北師大版，兩個版本都以簡單符號運算的例習題為主，其次為數(shù)值運算，這是由向量本身的性質(zhì)決定的，向量本身既有大小又有方向，所以掌握向量的線性運算是很必要的，在向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積、坐標變換中雖然有時候沒有涉及字母，但是它仍然屬于符號運算.

（4）推理因素的水平比較.

人教A版教材的201個例習題中無推理的占51.8%，簡單推理的占37.8%，復雜推理的占10.4%.而在北師大版中無推理的占49.7%，簡單推理的占32.8%，復雜推理的占17.4%.如圖5所示.

圖5 推理因素的水平比較

在圖5中可以明顯地看出人教A版重點在無推理和簡單推理的例習題上面，而北師大版重點在復雜推理上面，并且要高出人教版很多，推理能力作為智力活動的核心因素，是學生學習能力的構(gòu)成基礎(chǔ)，因此兩套教材都關(guān)注到了學生推理能力的發(fā)展.

（5）知識含量因素的水平比較.

在知識含量方面，人教A版教材的201個例習題中1個知識點的占58.7%，2個知識點的占30.8%，而包含3個及3個以上知識點的占10.5%.在北師大版的195個例習題中含1個知識點的占55.4%，2個知識點的占29.2%，3個及3個以上知識點的占15.4%.如圖6所示.

圖6 知識含量因素的水平比較

從圖6中可以發(fā)現(xiàn)兩版本包含1個知識點的例習題較多，而在北師大版中3個及3個以上的知識點含量要高于人教A版，由于人教A版教材要適用于好多地區(qū)，所以考慮到學生的知識背景，涉及多個知識點的例習題較少.

四、結(jié)論與啟示

（一）結(jié)論

從整體來觀察兩個版本的例習題編寫形式，都是以例子作為引入，然后進行分析，在中間穿插了探究題、思考題，再在每個知識點后安排了相應的習題，這些都符合教師教和學生學的規(guī)律.其次每個水平難度因素相當，兩版本都注重學生運算能力的培養(yǎng)，有助于提高他們的運算技能.

北師大版教材與向量相關(guān)的實例較多，在例習題的情境設計方面更注重向量與其他學科，向量與實際生活的聯(lián)系，例習題的配圖豐富，類型設置較開放自由.注重培養(yǎng)學生的問題意識，將向量知識的學習融入實際活動及問題解決的過程之中，教材通過對問題情境的思考、討論和理解，引導學生在解決問題的同時掌握相應的向量知識.

人教A版教材向量知識點密度適中，數(shù)量上也較多，在“探究式教學”、“信息技術(shù)的應用”方面更注重一些，緊跟課標要求，習題的類型比較單一.但是，人教A版較為強調(diào)對學生思維的引導，比如，在學習向量的基本運算時，在例題的下面給出“想”的過程，而在學習使用向量來解決問題的時候，更給出了解決問題的基本思路，這可能是人教A版教材的一個亮點.

在兩版本教材中，對于平面向量和空間向量的運算性質(zhì)幾乎比較統(tǒng)一地采用先嚴密后寬疏的模式.即對平面向量的運算性質(zhì)一般給出較嚴格的證明，而對空間向量的運算性質(zhì)則以“類似地可以得到”等描述一筆帶過.

（二）啟示

（1）例習題各水平難度應盡量平衡.

例習題的設置要確保不同水平的學生在某一學科中共同學習內(nèi)容的基礎(chǔ)性，體現(xiàn)對于不同學生的能力要求，表明練習的內(nèi)容是真實可測的，提升學業(yè)評價.研究表明，兩套教材都沒有保持5個因素的平衡性，背景因素的難度值相比其他4個因素要小很多，兩套教材都特別注重運算，所以例題的選擇和編制應與數(shù)學內(nèi)容相結(jié)合，充分考慮其特殊性，例如，在向量這一節(jié)中要特別注重背景知識，把背景嵌入到例題中，增強學生對向量作用的認識.

（2）適當運用平面向量解決幾何問題.

平面向量在高中數(shù)學教學內(nèi)容中有廣泛的應用，從本書可以看到利用向量可以得到線段的定比分點公式、平移公式，可以證明正弦定理、余弦定理.在后續(xù)的學習中還可看到向量在不等式、函數(shù)、幾何中廣泛應用等.由于應用向量可以將形的推導、證明轉(zhuǎn)化為數(shù)的運算，因而向量是解決數(shù)學問題的有力工具.向量處理一些幾何問題很容易，但由于教材考慮到課時少，控制難度等原因，在編寫平面向量時，只要求學生會用兩個向量表示其他向量，而沒有通過向量運算證明幾何問題，任何一門學科都有其自身的知識結(jié)構(gòu)體系，但是作為學校課程在充分反映知識結(jié)構(gòu)的同時也必須十分重視學生的心理發(fā)展階段，合理建立向量教材的螺旋式體系，并逐步應用它們解決幾何問題和其他數(shù)學問題，將有利于學生對向量概念的正確理解和向量工具的有效掌握.

（3）貼近學生實際，優(yōu)化知識的呈現(xiàn)方式.

數(shù)學應用的廣泛性是數(shù)學學科的一個重要特征，例習題的選擇和編制要注重數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，強調(diào)問題的背景，要讓學生通過數(shù)學問題的解決，感覺到數(shù)學在現(xiàn)實中有原型，能體會到數(shù)學的作用和數(shù)學的意義.教材一般是通過提出問題，讓學生進行自主探究和思考，并在解決問題的過程中學習向量的有關(guān)知識，且基本都是以例題的方式進行講解和歸納，從而呈現(xiàn)相應的向量內(nèi)容，例題的講解很詳細，降低了學生學習的難度，呈現(xiàn)的概念和問題大都比較簡單和直接，缺乏一些貼近實際又能引發(fā)學生進行思考與實踐的內(nèi)容，難以激發(fā)學生的學習興趣.因此，建議改進教材向量知識的呈現(xiàn)形式，創(chuàng)新習題設計.

（4）通過向量的教學，使學生體會到數(shù)學各分支之間的廣泛聯(lián)系，進而加深對數(shù)學本質(zhì)的理解.

向量為數(shù)學聯(lián)系提供了重要橋梁.教學中應該努力使學生理解這種聯(lián)系，并促使他們自覺地利用這種聯(lián)系去構(gòu)建和改善自己的認知結(jié)構(gòu).從數(shù)的運算發(fā)展到向量運算，使學生對數(shù)學的操作對象有了新的認識，而向量運算律與數(shù)的運算律之間的高度相似性又使學生領(lǐng)略到了數(shù)學中不同運算對象之間在結(jié)構(gòu)化觀點下的和諧統(tǒng)一性.將幾何問題、三角問題等轉(zhuǎn)化為向量運算特別是坐標形式的向量運算問題，則充分揭示了數(shù)學中化歸思想的深刻含義，同時也顯示了其巨大的威力.因此，通過向量的教學，應使學生從以上各角度加深對數(shù)學本質(zhì)的理解.

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