課堂意外是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的絕佳時機
——以一堂函數(shù)圖像的探究課為例

☉浙江省寧波市北侖中學 毛浙東

自從高中課標修訂組提煉出六個數(shù)學學科核心素養(yǎng)“數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析”以來，我們廣大的一線教師積極響應，在課堂教學設計中，融入了很多核心素養(yǎng)的元素，這是令人欣喜的.

記得章建躍先生曾說：“數(shù)學課改的核心任務是提升學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，要把數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培育落實在數(shù)學教育的各個環(huán)節(jié).”王尚志教授也指出：“培養(yǎng)并提升核心素養(yǎng)，需要理解、感悟，需要主動、自覺地將‘學生為本’的理念與教學實際有機結(jié)合.”

既然要將核心素養(yǎng)的培育落實到教育的各個環(huán)節(jié)，那我們不能只把目光集中在課堂預設中；既然我們要主動、自覺，將“學生為本”的理念與教學實際有機結(jié)合，我們就應該更多地關(guān)注課堂中的意外生成.

其實，課堂意外正是培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的絕佳時機.下面，筆者就以自己執(zhí)教的一堂函數(shù)圖像的探究課為例，來與各位同行一起探討一下，如何在課堂意外中捕捉培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的機會，希望能拋磚引玉.

一、課堂實錄

（一）踏破鐵鞋無覓處——課堂意外，喜得方法

師：我們今天來探究形如的函數(shù)的圖像和性質(zhì).下面我們先來研究特殊情形：即研究函數(shù)的圖像與性質(zhì).

當筆者利用描點法畫出了圖1，并想繼續(xù)往下講解時，忽然聽到學生1的笑聲.

圖1

圖2

筆者估計生1可能發(fā)現(xiàn)了什么，便示意他起身回答.

生1：這不是被擠扁了的反比例函

師：你挺有想象力嘛，不過今天我們研究的這個函數(shù)叫做“對勾函數(shù)”，和反比例函數(shù)還是有所區(qū)別的.

生1：沒什么區(qū)別啊，就是被擠壓后的反比例函數(shù)嘛.

筆者一聽來了興致，便繼續(xù)追問.

師：那你說說看，它是怎樣被擠壓的呢？

生1：函數(shù)在平面直角坐標系xOy中的圖像如圖2所示.如果將x軸逆時針旋轉(zhuǎn)45°，即將平面直角坐標系xOy擠壓變形得到新的坐標系x′Oy.那么在新坐標系中，函數(shù)的圖像其實就是原坐標系xOy中的函數(shù)y=.也就是說，要得到函數(shù)的圖像，只需先畫出函數(shù)y的圖像，然后把x軸逆時針旋轉(zhuǎn)45°，跟著被擠壓變形的函數(shù)的圖像就是的圖像.

（二）莫畏浮云遮望眼——適時引導，摸索規(guī)律

師：這位同學旋轉(zhuǎn)坐標軸的方法倒是蠻有創(chuàng)意，剛剛他將x軸逆時針旋轉(zhuǎn)了45°，那如果我們將x軸順時針旋轉(zhuǎn)45°，又會得到什么結(jié)論呢？

在教師的啟發(fā)下，學生展開了探究，不一會就有學生舉手.

生2：我按照生1的方法，先作出函數(shù)的圖像，將x軸按順時針旋轉(zhuǎn)45°，得到新坐標系x′Oy，則在新坐標系中原函數(shù)的圖像被拉伸成了新函數(shù)，其圖像如圖3所示，它恰好就是函數(shù)的圖像.

圖3

師：很好，對于原函數(shù)，若將x軸按照逆時針旋轉(zhuǎn)45°，就能得到的圖像，將x軸按照順時針旋轉(zhuǎn)45°，就能得到的圖像.那我們?nèi)绻麑⒃瘮?shù)改變一下，比如改成，那剛才的旋轉(zhuǎn)作圖是否還有效呢？

生3：如果將x軸逆時針旋轉(zhuǎn)45°，被拉伸后的函數(shù)y=的圖像就是原坐標系xOy中的函數(shù)的圖像，如圖4所示；如果將x軸順時針旋轉(zhuǎn)45°，跟著被擠壓后的函數(shù)的圖像就是原坐標系xOy中的函數(shù)的圖像，如圖5所示.

圖4

圖5

師：很好，看來改變原函數(shù)的解析式，這種旋轉(zhuǎn)的規(guī)律依然適用，現(xiàn)在不妨換一個角度，我們每次是否只能旋轉(zhuǎn)45°，比如旋轉(zhuǎn)30°行不行呢？大家不妨探究一下.

生4：對原函數(shù)將x軸逆時針旋轉(zhuǎn)30°，被擠壓后的函數(shù)的圖像就是在原坐標系xOy中的函數(shù)y=的圖像，如圖6所示.同理，將x軸順時針旋轉(zhuǎn)30°，被拉伸后的函數(shù)圖像就是在原坐標系xOy中的的圖像，如圖7所示.

圖6

圖7

師：你能夠驗證剛才的猜想嗎？

生4：利用計算機畫出函數(shù)與函數(shù)y=的圖像，我們發(fā)現(xiàn)恰好是函的圖像的漸近線，這可以說明將x軸逆時針旋轉(zhuǎn)30°，函數(shù)就被擠壓成

師：不錯，那大家是否能據(jù)此歸納出更一般性的結(jié)論呢？

經(jīng)過交流討論，學生得出了如下的定理.

定理：在平面直角坐標系xOy中，保持y軸不動，將x軸按逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），則跟著被擠壓（或拉伸）后的函數(shù)k≠0）的圖像就是原坐標系xOy中的函+tanα·x（k≠0，0°＜α＜90°）的圖像；將x軸順時針旋轉(zhuǎn)α，則擠壓（或拉伸）后的函數(shù)的圖像就是原坐標系xOy中的函數(shù)-tanα·x（k≠0，0°＜α＜90°）的圖像.

（三）宜將剩勇追窮寇——繼續(xù)探究，擴大戰(zhàn)果

經(jīng)過進一步探究，學生發(fā)現(xiàn)，這不僅只是對反比例函數(shù)擠壓（或拉伸）才有效，對任意的冪函數(shù)y=xn，如果將x軸進行旋轉(zhuǎn)，都有類似的結(jié)論成立.

推論1：在平面直角坐標系xOy中，保持y軸不動，將x軸逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），則跟著被擠壓（或拉伸）后的函數(shù)y=kxn（k∈R，n∈R）的圖像就是原坐標系xOy中的函數(shù)y=kxn+tanα·x（k∈R，n∈R，0°＜α＜90°）的圖像；將x軸順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），則擠壓（或拉伸）后的函數(shù)y=kxn（k∈R，n∈R）的圖像就是原坐標系xOy中的函數(shù)y=kxn-tanα·x（k∈R，n∈R，0°＜α＜90°）的圖像.

比如，在平面直角坐標系xOy中，將x軸逆時針旋轉(zhuǎn)45°，則函數(shù)y=x2的圖像也跟著變形，得到了函數(shù)y=x2+x的圖像，如圖8所示.

其實，對任意的函數(shù)f（x），也有這樣的結(jié)論，見推論2.

圖8

圖9

推論2：在平面直角坐標系xOy中，保持y軸不動，將x軸逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），則跟著被擠壓（或拉伸）后的函數(shù)y=f（x）的圖像就是原坐標系xOy中的函數(shù)y=f（x）+tanα·x（0°＜α＜90°）的圖像；將x軸順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），則擠壓（或拉伸）后的函數(shù)y=f（x）的圖像就是原坐標系xOy中的函數(shù)y=f（x）-tanα·x（0°＜α＜90°）的圖像.

比如，在平面直角坐標系xOy中，畫出函數(shù)y=sin x的圖像，現(xiàn)將x軸逆時針旋轉(zhuǎn)45°，則原函數(shù)y=sin x的圖像也跟著變形，得到了函數(shù)y=sin x+x的圖像，如圖9所示.

（四）吹盡狂沙始到金——深入思考，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)

師：保持y軸不動，對x軸旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜90°），其實質(zhì)是將原坐標平面內(nèi)的每一個點（x，y）進行了怎樣的變換呢？

生：其實就是把點（x，y）變成了點（x，y+tanα·x）.

師：同學們，那我們能否據(jù)此給坐標軸的旋轉(zhuǎn)下一個定義呢？

經(jīng)過提煉與修正，學生最終得出了如下的定義.

坐標軸旋轉(zhuǎn)：在平面直角坐標系中，保持y軸不動，對x軸旋轉(zhuǎn)角度α（-90°＜α＜90°），等價于將坐標平面內(nèi)的任意一個點P（x，y）對應成新的點P′（x，y+tanα·x）.

根據(jù)此定義，我們就不難理解剛才得到的定理與推論了.

此時課堂已近尾聲，但學生的探究熱情未減，于是筆者干脆讓同學們在課后繼續(xù)分組研究，下面是其中一個小組極具創(chuàng)意的成果.

（五）喜看稻菽千重浪——課后研究，再結(jié)碩果

A小組的研究成果：

我們把情況從二維跨越到三維，想象現(xiàn)在眼前有一個空間直角坐標系，其中O為原點，x軸，y軸，z軸兩兩垂直，那么空間中的每一個點都能被準確定位.在日常生活中，這已滿足我們的需要.但在不同的環(huán)境下，一些超強的引力興許會扭曲這個時空，地球也不例外.

比如，在地球中，物體都會受到地球的萬有引力的影響.

如圖10，這是一座鐘塔，一開始，兩個鐘被調(diào)到相同的時間.但過了幾十年、幾百年，會發(fā)現(xiàn)上面的時間與下面所顯示的相差了幾秒.鐘當然沒有問題，問題出在兩個鐘所在的時空受地球引力的影響而發(fā)生了扭曲，從而導致經(jīng)過的時間存在了差異.

若在某三維空間附近存在一強引力（比如，較大的恒星或黑洞），那么此三維空間便不再正常，即時空會出現(xiàn)扭曲.現(xiàn)以O為原點建立空間直角坐標系，則空間的扭曲可看作是將某個（或某幾個）坐標軸進行了旋轉(zhuǎn)，于是我們可以用到之前得出的結(jié)論，即變化量分別為tanα·x或tanα·y或tanα·z.此時，若要求在強引力附近某物體的運動軌跡，我們就可以用坐標軸旋轉(zhuǎn)的定義來解決.

圖10

舉個例子，假設某物體初始時是呈直線運動的，為了簡單起見，我們假設其運動軌跡為直線y=x，在經(jīng)過強引力附近時，若x軸發(fā)生了扭曲，設扭曲角為α（-90°＜α＜90°），則我們就可以計算出物體的實際運動軌跡為y=x+tanα·x.

二、教學感悟

本堂課筆者本希望能與學生共同研究函數(shù)y=（ab≠0）的圖像與性質(zhì)，卻止步于畫圖環(huán)節(jié)，真可謂是意外.但失之東隅卻收之桑榆，本課雖然沒有完成預設的教學任務，卻更好地培養(yǎng)了學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，而且站在整個高中教學的視野下看，這樣的課堂意外，少了刻意的雕琢，多了靈氣的原生態(tài)，反而對學生的學習品質(zhì)的養(yǎng)成更為有利.

（一）順水推舟，培育學生的直觀想象能力

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學問題的過程.它主要包括：借助空間認識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系等.

在本課中，教師原本預設了用描點作圖的方法來得到函的圖像，但學生卻意外地提出了旋轉(zhuǎn)法，此處的課堂生成是非常有價值的.我們知道，描點法雖然可以做到精細化作圖，但缺少了圖像動態(tài)變化的過程，失去了培育學生直觀想象力的大好機會.空間想象可分為靜態(tài)圖形的想象和動態(tài)圖形的想象，其中動態(tài)圖形的想象更為復雜，對思維要求更高，學生舍棄了相對“靜態(tài)”的描點法，采用了更為“動態(tài)”的旋轉(zhuǎn)法，不失為一種上乘的選擇.同時，教師在課堂中順水推舟，營造民主的學習氛圍，讓學生放開手腳大膽探索，讓學生的想象力得以自由釋放，從而探究出林林總總旋轉(zhuǎn)后的圖形，極大地培育了學生的直觀想象能力.

（二）適時引導，提升學生的數(shù)學抽象能力

數(shù)學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學研究對象的思維過程.它主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學符號或者數(shù)學術(shù)語予以表征.

在本課中，教師不斷改變函數(shù)的解析式，并適時引導學生從一個個具體的函數(shù)中抽象出最本質(zhì)的屬性，最終發(fā)現(xiàn)了圖形的旋轉(zhuǎn)與函數(shù)解析式之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，從而得到了一般性的結(jié)論.這個過程就是數(shù)學抽象的過程，在這個抽象過程中，既有對圖形的抽象提煉，也有對代數(shù)解析式的抽象提煉，更有圖形和代數(shù)解析式之間關(guān)聯(lián)性的抽象提煉，可謂是把抽象思維的培育做到了淋漓盡致.

比如，從旋轉(zhuǎn)45°，到旋轉(zhuǎn)30°，再到旋轉(zhuǎn)α，這些是對圖形特征進行抽象提煉；而從具體的反比例函數(shù)到一般的反比例函數(shù)再到函數(shù)y=kxn，最后推廣到函數(shù)y=（f x），則是對代數(shù)解析式的抽象提煉；至于將x軸逆時針旋轉(zhuǎn)45°，對應著函數(shù)解析式值增加了x，從而抽象出將x軸逆時針旋轉(zhuǎn)α，對應著函數(shù)解析式增加了tanα·x，則是對圖形和代數(shù)解析式之間關(guān)聯(lián)性的抽象提煉，而坐標軸旋轉(zhuǎn)定義的形成更是將這種形與數(shù)之間關(guān)聯(lián)性的提煉推向了高潮.

（三）搭建平臺，發(fā)展學生的數(shù)學建模能力

數(shù)學建模是指對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程.它主要包括：在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、構(gòu)建模型、求解結(jié)論、驗證結(jié)果并改進模型，最終解決實際問題.

由于課堂時間有限，教師鼓勵學生在課后繼續(xù)進行分組探究，教師搭建了平臺，學生則登臺唱戲.每個研究小組都獲得了各自的研究成果，以A小組的研究成果為例，學生從實際問題出發(fā)，將課堂中二維坐標系的旋轉(zhuǎn)升級為了三維空間坐標系的旋轉(zhuǎn)，并給出了扭曲的時空中運動物體的定位方法，雖然觀點略顯稚嫩和粗糙，但難能可貴的是，學生已經(jīng)學會了運用數(shù)學的眼光來看待實際問題，用數(shù)學的方法來分析實際問題，用數(shù)學的模型來刻畫實際問題.學生的數(shù)學建模能力在合作研究中得以發(fā)展，學生的數(shù)學視野也在交流碰撞中得以開闊.

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