尋找球心
——四面體外接球問(wèn)題的關(guān)鍵

☉河南省許昌高中教研處 趙小強(qiáng)

縱觀高考題中空間幾何體外接球問(wèn)題，出現(xiàn)最多的就是四面體的外接球問(wèn)題了.各類問(wèn)題最終聚焦在球的半徑的計(jì)算上，但計(jì)算半徑的前提卻都要回答一個(gè)問(wèn)題——球心在哪兒？不同的問(wèn)題尋找球心的方法也不盡相同，下面我們就一起去看看四面體外接球球心的尋找攻略吧.

一、四面體是正三棱錐

例1 已知正三棱錐P-ABC，PA=a，AB=b，求正三棱錐的外接球的半徑R.

解：過(guò)P作PH⊥平面ABC，垂足為H，則H是△ABC的重心（中心），則P-ABC的外接球球心O一定在直線PH上.

（1）如圖1，當(dāng)O在線段PH上，連接HC，OC，則OP=OC=R.

圖1

（3）如圖2，當(dāng)O在PH延長(zhǎng)線上時(shí)，

綜上，正三棱錐的外接球半徑為

圖2

特別地，當(dāng)a=b時(shí)，即四面體PABC為正四面體時(shí)，

二、四面體是三組對(duì)棱分別相等的四面體

例2 已知四面體ABCD中，AB=CD=a，AD=BC=b，AC=BD=c，求四面體ABCD的外接球的半徑R.

解：由于三組對(duì)棱分別相等，可以考慮把此四面體置入一個(gè)長(zhǎng)方體中，如圖3所示.

則長(zhǎng)方體的外接球與四面體的外接球是同一個(gè)球（球可以由不共面的四點(diǎn)確定）.

設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為m，n，p.

圖3

三、四面體含有兩個(gè)共斜邊的直角三角形

例3 已知四面體ABCD，∠BAD=∠BCD=90°，求四面體ABCD的外接球半徑R.

解 ：在Rt△BAD中，因?yàn)椤螧AD=90°，Rt△BCD中，∠BCD=90°，所以BD為公共斜邊，由直角三角形的性質(zhì)，BD中點(diǎn)O到A，B，C，D四點(diǎn)距離相等，即O為四面體ABCD的外接球球心，所以

四、四面體存在兩個(gè)面相互垂直

這種問(wèn)題又可細(xì)分為兩種情況，第一種情況為有一條棱垂直于四面體的一個(gè)面.第二種情況為僅有兩個(gè)面垂直，而不存在棱與面垂直.

例4 四面體ABCD，AD⊥平面BCD，AD=a，BC=b，CD=c，BD=d，求其外接球的半徑R.

解：由于AD⊥平面BCD，所以把四面體ABCD補(bǔ)成直三棱柱AEF-DBC（如圖4），設(shè)M，N分別為△AEF，△BCD的外心，則球心O位于MN連線中點(diǎn)，連接OC，NC，構(gòu)造Rt△ONC，則R=OC，NC為△BCD外接圓半徑r.

ON=，在△BCD中運(yùn)用余弦定理及正弦定理可求出r.

圖4

特別地，①當(dāng)△BCD滿足∠BDC=90°時(shí)，可得AD，BD，CD兩兩垂直，于是可把四面體ABCD視為長(zhǎng)方體一部分，從而轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)寬高分別為d，c，a的長(zhǎng)方體的外接球問(wèn)題可得

②當(dāng)△BCD滿足∠BCD=90°或∠DBC=90°時(shí)，轉(zhuǎn)化為第三類問(wèn)題，從而可得

例5 四面體ABCD，平面ABD⊥平面BCD.AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，BD=e，求此四面體的外接球半徑R.

解：設(shè)△BCD的外心為M，△ABD的外心為N，BD的中點(diǎn)為P，根據(jù)球的幾何性質(zhì)，球心O必然在過(guò)M且垂直于平面BCD的直線與過(guò)N且垂直于面ABD的直線交點(diǎn)處.

設(shè)△ABD外接圓半徑為r1，△BCD半徑為r2.

以上，我們列舉了幾種特殊情形的四面體尋找外接球球心的方法.事實(shí)上，任何一個(gè)四面體均有外接球，而外接球球心都是在過(guò)相鄰兩面的外心且垂直于相應(yīng)面的垂線的交點(diǎn)，也都是可以求出的，但由于運(yùn)算量太大，在命題時(shí)缺乏實(shí)際價(jià)值，我們一般不去考慮.H