構(gòu)造“一線三直角”，巧解幾何綜合題

黎品秋

[摘要]一條直線上有一個(gè)直角三角形，再構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，整體看起來像是一個(gè)梯形，然后利用相似或是全等三角形的特征就可以輕松解題，我們把這種模型叫作“一線三直角”模型.研究此模型能開闊學(xué)生視野，提高學(xué)生解題能力.

[關(guān)鍵詞]初中數(shù)學(xué)；一線三直角；全等三角形；相似三角形

[中圖分類號(hào)]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]16746058（2018）08002702

對(duì)于初中生來說，面對(duì)條件和圖形都看起來相當(dāng)復(fù)雜的幾何綜合題，他們往往無從下手.因此我們需要針對(duì)復(fù)雜的幾何綜合題總結(jié)出一套模型，為學(xué)生提供解題思路，增強(qiáng)學(xué)生的自信心.而構(gòu)造“一線三直角”就是解決幾何綜合題的一種常見而又非常好用的解題方法.

一、真題重現(xiàn)

初中幾何問題中有一類幾何題是和解析函數(shù)相關(guān)聯(lián)的，相對(duì)于單純的幾何問題其難度更大，題目更復(fù)雜.下面就以一道與拋物線有關(guān)的幾何中考真題來解析“一線三直角”解題方法.

【例1】（2016年玉林中考題）如圖1，拋物線l：y=ax2+bx+c與x軸交于A、B（3，0）兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），已知對(duì)稱軸為x=1.

（1）求拋物線l的解析式.

（2）將拋物線l向下平移h個(gè)

單位長度，使平移后所得拋物線的頂

點(diǎn)落在△OBC內(nèi)（包括△OBC的邊界），求h的取值范圍.

（3）如圖2，設(shè)點(diǎn)是P拋物線l上的任一點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線l：x=-3上，△PBQ能否成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若能，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.

析與解：

（1）y=-x2+2x+3.

（2）2≤h≤4.

（3）設(shè)P（m，-m2+2m+3），Q（-3，n）.

①當(dāng)點(diǎn)P在x軸的上方時(shí)，如圖3，過點(diǎn)P作PM⊥y軸交直線l于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥

MP交MP的延長線于N點(diǎn).因?yàn)锽（3，0），△PBQ是等腰直角三角形，所以∠BPQ=90°，BP=PQ.因?yàn)椤螾MQ=∠BNP=90°，所以∠PQM+∠MPQ=90°，∠BPN+∠MPQ=90°，則∠PQM=∠BPN，所以△PQM≌△BPN（AAS），則PM=BN，因?yàn)锽N=-m2+2m+3，PN=3-m，且有MP+PN=MN=6，所以-m2+2m+3-m=6，解得m1=1，m2=0.所以P1（1，4），P2（0，3）.

在上述真題的解題過程中，我們可以從題目中清晰地看到一個(gè)直角三角形，進(jìn)而想到利用“一線三直角”的方法.但并不是所有的題目都是這樣的“友好”，有時(shí)，我們要想用自己的某些方法解題就必須想方設(shè)法構(gòu)造條件.比如說，作輔助線、連結(jié)一些已知線段等.筆者以下面這道模擬題為例，解析如何構(gòu)造“一線三直角”.

二、舉一反三

【例2】（2016年潮州中考模擬題）如圖5，直線AB與反比例函數(shù)y=6x的圖像交于A（2，3）、B（-1，-6），點(diǎn)P在第三象限的反比例函數(shù)圖像上，若tan∠PAB=47，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解析：如圖5，過點(diǎn)B作AB的垂線交AP的延長線于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作x軸的平行線MN，分別過點(diǎn)C、A作直線的垂線段CM、AN.此時(shí)，在直線MN上構(gòu)造了“一線三直角”.則△ANB～△BMC，所以BMAN

=CMBN

=BCAB

=tan∠PAB=47

.由A（3，2），B（-1，-6），可知AN=8，BN=4，則

BM8=CM4=47

，所以BM=

327，CM=167

.又因?yàn)锽（-1，-6），故C-397，-267.利用待定系數(shù)法，求得直線AC

的解析式為y=23x，其圖像經(jīng)過原點(diǎn).根據(jù)對(duì)稱性可知，點(diǎn)A、P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，-2）.

解決本題的難點(diǎn)在于如何利用tan∠PAB=47，也就是說構(gòu)造了直角三角形后如何繼續(xù)求解答案.很多學(xué)生最先會(huì)想到過點(diǎn)P作AB的垂線段，但由于垂足位置不確定，三角函數(shù)值無法使用.而過定點(diǎn)B作AB的垂線與x軸的平行線再構(gòu)造“一線三直角”，卻很好地解決了這個(gè)問題.

三、總結(jié)提高

上述真題是幾何題與拋物線二次函數(shù)解析題的綜合應(yīng)用題，考查用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識(shí).我們在解答上述（3）小題時(shí)使用了“一線三直角”的幾何模型，由此我們也可以得到啟發(fā)：有的時(shí)候順著題意利用勾股定理建立方程求解，計(jì)算過程往往繁雜，而使用“一線三直角”模型解題會(huì)使運(yùn)算變得簡潔明了.需要注意的一點(diǎn)就是思考問題時(shí)一定要全面，避免丟解.事實(shí)上，“一線三直角”是一種幾何模型，更是一種思想方法，是一個(gè)數(shù)學(xué)問題在剔除無關(guān)信息后的本質(zhì)結(jié)構(gòu).在教學(xué)中，我們要時(shí)刻注意積累這樣的數(shù)學(xué)模型或是方法，總結(jié)歸納，并培養(yǎng)學(xué)生們利用模型解題的能力，簡化解題過程.

通過上述兩道題的解析可以看出，“一線三直角”模型的運(yùn)用范圍很廣，學(xué)生不僅要學(xué)會(huì)利用該模型進(jìn)行解題，同時(shí)還要學(xué)會(huì)根據(jù)題目條件構(gòu)造模型.構(gòu)造模型中直角三角形時(shí)主要有以下幾種方法：作輔助線、連結(jié)已知點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)特殊位置.另外需要注意的是，在動(dòng)點(diǎn)問題中利用“一線三直角”模型，一定要思慮周全，對(duì)可能出現(xiàn)的情況逐個(gè)分析.雖然“一線三直角”模型很好理解，但如何根據(jù)具體題意選擇合適的三角形構(gòu)造正確的模型對(duì)于學(xué)生來說是難點(diǎn)，這需要進(jìn)行相關(guān)的針對(duì)性練習(xí).因此在教學(xué)中，我們要鼓勵(lì)學(xué)生敢于利用模型解題，并且養(yǎng)成良好的歸納總結(jié)的習(xí)慣，這對(duì)提高他們的解題能力和思維的敏捷性大有益處.

[參考文獻(xiàn)]

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[2]張建權(quán).再談“一線三直角”幾何模型的運(yùn)用[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2017（1）.

[3]徐長存.溯源提煉模型解題彰顯能力[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2017（9）.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）