關于辛李群若干性質(zhì)的討論

曾 輝，王 娜

辛幾何作為廣義Hamilton系統(tǒng)的理論基礎，對研究Hamilton系統(tǒng)中的動力學性質(zhì)起到了十分重要的作用，所以引起數(shù)學家、物理學家們的高度重視，并在八九十年代得到了快速發(fā)展，形成較為完整的理論體系.同時，辛幾何與李群李代數(shù)、同調(diào)論、復變函數(shù)、微分方程等數(shù)學分支有著密切的聯(lián)系.這也使得辛幾何在數(shù)學領域具有廣泛的發(fā)展前景.

近年來，國內(nèi)外學者對辛幾何問題展開了研究，并取得了大量的研究成果.2001年，在辛幾何與泊松幾何引論中，賀龍光［1］研究了辛流形上的向量場及其性質(zhì).Weinstein A［2］在辛流形上探討了拉格朗日子流形問題.梅向明、賀龍光［3］在一般的實微分流形上引入一個正定、對稱的二階協(xié)變張量場，得到了黎曼流形.王寶勤等人［4］在辛流形理論基礎上，進一步討論了辛超流形上辛向量場的相關問題.2005年，趙麗［5］給出了辛李群的概念，并討論了辛李群上的辛向量場的相關性質(zhì).2006年，胡月宏［6］進一步討論了乘積辛李群及復辛李群的相關性質(zhì).辛李群作為李群和辛流形概念的一個自然推廣，具有很多特殊性質(zhì).本文主要通過流形間的映射來討論辛李群的相關性質(zhì)，以期進一步豐富辛幾何理論.

1 預備知識

定義1［6］設G是C∞-李群，ω∈Λ2(G)是G上閉的非退化的2-形式，則ω為G上的辛形式或辛結(jié)構(gòu)，帶有一個辛結(jié)構(gòu)的李群稱為辛李群，記為(G,ω).

定義2［6］設 (M,ωM)，(N,ωN)是辛李群，辛映射?:(M,ωM)→(N,ωN)是李群同態(tài)，則稱?為從(M,ωM)到(N,ωN)的辛李群同態(tài)，如果?還是李群同構(gòu)，則稱?是辛李群同構(gòu).

定義3［6］辛李群(M,ωM)的左不變向量場X，若滿足LXωM=0,則稱X是(M,ωM)的辛左不變向量場.

引理1［6］設(M,ω)是辛流形，N是光滑流形，?:M→N是微分同胚，則(N,(?*)-1ω)也是辛流形.

引理2［6］設 (M,ω)是辛流形，N,H均為光滑流形，?:M→N，ψ:N→H均為微分同胚，則為辛流形.

引理3［2］若給定一李群M，則

（1）存在唯一的單連通李群M~（它局部同構(gòu)于M）；

（2）覆蓋映射?:M~→M，同時是一個李群同態(tài)和局部李群同構(gòu).

2 主要結(jié)論

定理1 設(M,ω)是辛李群，N是光滑流形，?:M→N是微分同胚，則從M到N誘導出一個群結(jié)構(gòu) {N,°}，使得 (N,(?*)-1ω)是一辛李群，并且M與N在?下是辛李群同構(gòu).

證明 由引理1知(N,(?*)-1ω)是辛流形，又知?是辛映射.下面只需證明從M到N可誘導出一個群結(jié)構(gòu){N,°}，使{N,°}成為一李群，并且M與N在?下李群同構(gòu)即可.

規(guī)定e′=?(e)為N中單位元，?aˉ∈N,定義ˉ的逆元為 (，定義N中乘法 °為：

封閉性：由M中 乘 法 的 封 閉 性 知于 是 ，

結(jié)合性：由?是微分同胚知，?a,b,c∈M，使得于是，從而由M中乘法結(jié)合性知?((a·b)·c)=?(a·(b·c)),從而有， 又 ?aˉ∈N，aˉ°(aˉ)-1=從而上述取逆運算的定義是合理的.因此，N在乘法下°構(gòu)成一個群.

下證取逆運算，乘法運算均光滑.

（1）取逆光滑.記k:M→M為M中取逆映射，即k(a)=a-1,則k光滑，設為N中取 逆 映 射 ，則又，由?,k,?-1均光滑，知kˉ光滑.

（2）乘法光滑.記h:M×M→M為M上乘法運算，?a,b∈M,h(a,b)=a·b,則h是光滑的，hˉ:N×N→N為N上乘法運算，即hˉ(aˉ,bˉ)=aˉ°bˉ,由?,h,?-1的光滑性知是光滑的，從而 (N,°)為一李群，(N,(?*)-1ω)為辛李群.

（3）由N中乘法的定義，易見?是李群同構(gòu)，從而?：(M,ω)→(N,(?*)-1ω)是辛李群同構(gòu).

定理2 設(M,ω)是辛李群，N,H均為光滑流形，?:M→N，ψ:N→H均為微分同胚，則為辛李群.

證明ψ°?:M→H為辛李群M到光滑流形H的微分同胚，由定理1知，可在H上引入李群結(jié)構(gòu)，使成為辛李群.

定理3 設?:M→N是流形間的C∞-映射，則 ?X∈χ(M)，?ω∈Λ(N)，有iX°φ*(ω)=φ*°iφ*(X)ω，即有iX°?*=?*°i?*(X).

證明 當ω=f∈Λ0(N)時，iX°φ*ω=iX°φ*f=iX(f°φ)=0 ，φ*°iφ*(X)ω=φ*(iφ*(X)f)=φ*(0)=0 ；當ω∈Λ1(N)時，iX°φ*ω=φ*ω(X)=ω( )φ*(X) °φ=φ*(ω(φ*(X)) )=φ*°iφ*(X)ω；當ω∈ Λk(N)(2≤k≤dimN)時，?Z1,Z2,…,Zk-1∈χ(M)，則iX°φ*ω(Z1,…,Zk-1)=φ*ω(X,Z1,…,Zk-1)=ω(φ*(X),φ*(Z1),…,φ*(Zk-1))=iφ*(X)ω(φ*(Z1) ，… ，φ*(Zk-1))=φ*°iφ*(X)ω(Z1,…,Zk-1).此即iX°?*=?*°i?*(X).

定理4 設?:M→N是流形間的光滑映射，?X∈χ(M)，?ω∈Λ(N)，則LXφ*(ω)=φ*°Lφ*(X)ω，即LX°φ*=φ*°Lφ*(X).

證明 由定理3知，iX°?*=?*°i?*(X)，于是對于?ω∈Λ(N)有

即LX°?*=?*°L?*(X).

推論1 設?:(M,ωM)→(N,ωN)是辛流形間的局部辛微分同胚，則?*把M上的辛向量場映為N上的辛向量場.

證明 由?是局部辛微分同胚知，φ*(ωN)=ωM，且 kerφ*=0 ，于 是 ?X∈S(M,ωM)有LXωM=0,又由定理 4，LX°?*=?*°L?*(X)，故LXωM=LX?*(ωN)=?*°L?*(X)ωN=0,又 kerφ*=0 ，從而L?*(X)ωN=0,即?*(X)∈S(N,ωN).

定義4 設(M,ωM)和(N,ωN)是辛李群，辛映射?:(M,ωM)→(N,ωN)是局部李群同態(tài)，則稱?是從(M,ωM)到(N,ωN)的局部辛李群同態(tài)，如果?還是局部李群同構(gòu)，則稱?是局部辛李群同構(gòu).

推論2 設?:(M,ωM)→(N,ωN)是辛李群同態(tài)，又是局部辛李群同構(gòu)，則?*把辛向量場映為辛向量場，把左不變向量場映為左不變向量場，從而把辛左不變向量場映為辛左不變向量場.

證明 由推論1知，只需證?*把左不變向量場映為左不變向量場.任取M上的左不變向量場X，有 (lσ)*(X)=X,(?σ∈M).則由?是辛李群同態(tài)有φ°lσ=lφ(σ)°φ，從而

即?*(X)是N上左不變向量場.

定理5 設(M,ω)是一辛李群，則必存在單連通的辛李群連通的辛李群（其中，使得覆蓋映射→(M,ω)是辛李群同態(tài)和局部辛李群同構(gòu).

證明 由引理3知，存在唯一的單連通李群，使得覆蓋映射?:→M是李群同態(tài)和局部李群同構(gòu)，又(?-1)*(ω~)=(?*)-1°?*(ω)=ω知?為辛映射，因此只需證明=?*(ω)是上的閉的、非退化的2-形式即可.

由 于即為閉的2-形式.?p∈,下證 ker=0.由于有

由于?是覆蓋映射，從而?是局部微分同胚，從而?*是同構(gòu)，于是由的任意性知，可充滿T?(p)(M)，又由ω的非退化性知而?*是 同 構(gòu) ，于 是 有從而 ker=0 ，即是非退化的.

3 結(jié)語

本文討論了辛映射、微分同胚對辛李群及其辛向量場的作用，得到了一系列較好的結(jié)果，但還有很多問題有待進一步研究，如辛李群子群問題、群胚問題以及其上的Casimir函數(shù)問題等.

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［1］賀龍光.辛幾何與泊松幾何引論［M］.北京：首都師范大學出版社，2001.

［2］Weinstein A.Symplectic manifolds and their La?grange submanifolds［J］.Adv in Math，1971（6）：329-346.

［3］梅向明，賀龍光.微分流形與黎曼幾何［M］.北京：北京師范學院出版社，1987.

［4］王寶勤，曾輝.有關兩類辛超流形上的辛向量場［J］.數(shù)學物理學報，2011，31（3）：845-855.

［5］趙麗，曾輝，王寶勤.有關辛李群［J］.新疆師范大學學報，2005，24（2）：1-3.

［6］胡月宏.有關辛李群和微分動力系統(tǒng)的討論［D］.新疆：新疆師范大學，2006.