巧裂項，妙放縮

趙玉輝

摘要：解決一些涉及函數(shù)類型的數(shù)列遞推關系式的求和問題，關鍵是抓住數(shù)列遞推關系式的實質，進行合理變形與轉化，巧妙結合不等式的性質加以放縮處理，綜合數(shù)列求和的裂項相消法來解決，結合模擬題實例，從不同視角加以裂項處理，總結裂項放縮變形的基本策略與方法，引領并指導數(shù)學教學與解題研究.

關鍵詞：數(shù)列；遞推；求和；裂項；放縮

涉及數(shù)列遞推關系式an+1=f（an）背景的數(shù)列求和的取值范圍問題，一直是高考數(shù)學試卷中的一類比較熟悉的題型.此類問題合理綜合數(shù)列的求和以及通項的放縮，將數(shù)列中的兩個重點與難點加以合理交匯與整合，難度較大，具有較高的選拔性與區(qū)分度，倍受命題者青睞.

1問題呈現(xiàn)

問題：（2021—2022學年浙江省寧波市慈溪市高三（上）期末數(shù)學試卷·10）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，且an+1=?an?6an+5?an?+1?（n∈WTHZN*），則（）.

A.1

B.?7?5?

C.?12?5?

D.?17?5?

此題是具有浙江省高考數(shù)學特色的數(shù)列選擇壓軸題，從an和an+1的遞推關系不好直接放縮為等比數(shù)列，所以可以考慮裂項處理，而要自然地想到如何使用裂項破解此題，必須讓學生掌握常見的裂項類型，這樣才能在考場上快速想到解決本題的策略，比如?1??n??如何放縮裂項等.另外，也有其他背景，比如蛛網(wǎng)圖法、數(shù)列與函數(shù)的綜合考慮等，也能很好得以解決問題.

2問題破解

方法1：（裂項放縮——分式裂項法）

解析：由a1=1，且an+1=?an?6an+5?an?+1?>0，

兩邊取倒數(shù)有?1?an+1?=?6an+5?an?+1?an?=6+?5??an??+?1?an?=（ 1??an??+?5?2?）2－?1?4?<（ 1??an??+?5?2?）KG-*32，

可得?1??an+1??

所以?1??an??

可得an≥（ 2?5n-3?）KG-*32，當且僅當n=1時等號成立，

又由于an+1=?an?6an+5?an?+1?

所以an=?an?an-1?·?an-1?an-2?·?an-2?an-3?·…·?a3?a2?·?a2?a1?·a1

則有an≤?14?（5n+2）（5n-3）?=?14?5?（ 1?5n-3?－?1?5n+2?），當且僅當n=1時等號成立，

所以Sn≤?14?5?JB<2［（ 1?2?－?1?7?）+（ 1?7?－?1?12?）+…+（ 1?5n-3?－?1?5n+2?）JB>2］=?14?5?（ 1?2?－?1?5n+2?）

又a1=1，故Sn≥1，當且僅當n=1時等號成立；

綜上分析，可得1≤Sn

所以1

解后反思：根據(jù)數(shù)列的遞推關系式對數(shù)列通項an的取值范圍進行估計，綜合一些相關的方法（如累加法、累乘法等，這里利用的是累乘法）得以確定數(shù)列通項an的上界或下界的估計，利用數(shù)列求和的裂項相消法（這里是通過分式裂項）加以合理放縮與處理，是解決此類問題最為常見的思維方式之一.

方法2：（裂項放縮——根式裂項法）

解析：由a1=1，且an+1=?an?6an+5?an?+1?>0，

可得an+1=?an?6an+5?an?+1?

由an+1=?an?6an+5?an?+1?去分母，可得an+1（6an+5?an?+1）=an，

移項并整理可得an+1=?an-an+1?6an+5?an??

所以Sn=an+an－1+…+a2+a1

又a1=1，故Sn≥1，當且僅當n=1時等號成立；

綜上分析，可得1≤Sn

所以1

解后反思：根據(jù)數(shù)列的遞推關系式特征確定數(shù)列前后項的大小關系以及取值范圍的估計，并會巧妙進行恒等變形處理，轉化為根式關系，進而利用根式裂項變形，通過數(shù)列求和的裂項相消法（這里是通過根式裂項）加以合理放縮與處理，對數(shù)學運算能力與關系式的變形能力要求更高，具備較好的函數(shù)化思維以及放縮嗅覺.

方法3：（裂項放縮——待定系數(shù)法）

解析：以上部分中方法1，可得?1??an+1??

而an+1=?an?6an+5?an?+1?

由an+1=?an?6an+5?an?+1?，兩邊取倒數(shù)有?1?an+1?=?6an+5?an?+1?an?=6+?5??an??+?1?an?≥（ 1??an??+kJB））2，其中k>0，而上式6+?5??an??+?1?an?≥（ 1??an??+kJB））2展開，整理可得?5-2k??an??+6－k2≥0對任意的0

由?1??an+1??≥-?1??an??+k，可得?1??an??≥?1??an-1??+k≥?1??an-2??+2k≥?1??an-3??+3k≥…≥?1??a1??+（n－1）k=k（n－1）+1，

則有?an?≤?1?kn+1-k?，即an≤?1?（kn+1-k）2?=?1?［（2?3?-1）n+2-2?3?］2?

所以S2021=a1+a2+a3+a4+a5+…+a2021<1+?1?12?+?1?18+10?3??+?1?4?（ 1?42?+?1?52?+…+?1?20212?）<1+?1?12?+?1?35?+?1?4?JB（［（ 1?3?－?1?4?）+（ 1?4?－?1?5?）+…+（ 1?2020?－?1?2021?）JB）］=1+?1?12?+?1?35?+?1?4?（ 1?3?－?1?2021?）<1+?1?12?+?1?35?+?1?12?=?251?210?

又0

所以1

解后反思：根據(jù)數(shù)列的遞推關系式的變形，合理引入?yún)?shù)進行待定系數(shù)法處理，進而結合不等式的性質加以放縮變形，再通過數(shù)列求和的裂項相消法（這里是通過平方分式裂項）加以合理放縮與處理.這里主要是通過猜想上界的形式，結合待定系數(shù)法作為中介來過渡與轉化，對數(shù)學思維能力要求非常高.

方法4：（裂項放縮——數(shù)學歸納法）

解析：由a1=1，且an+1=?an?6an+5?an?+1?>0，

可得an+1=?an?6an+5?an?+1?

構建函數(shù)f（x）=?x?6x+5?x?+1?，易知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞增，

下面利用數(shù)學歸納法來證明：an≤?1?（2n-1）2?，

（1）當n=1時，可得a1≤?1?（2-1）2?=1，而a1=1，不等式成立；

（2）假設當n=k（k∈WTHZN*）時不等式成立，即ak≤?1?（2k-1）2?，

那么ak+1=?ak?6ak+5?ak?+1?≤??1?（2k-1）2???6?（2k-1）2?+?5?2k-1?+1?=?1?（2k-1）2+5（2k-1）+6?=?1?4k2+6k+2?

根據(jù)（1）和（2）可知不等式an≤?1?（2n-1）2?對于任何n∈WTHZN*都成立，

所以an≤?1?（2n-1）2?

所以S2021=a1+a2+a3+a4+…+a2021<1+?1?12?+?1?4?JB<2［（ 1?2?－?1?3?）+（ 1?3?－?1?4?）+（ 1?4?－?1?5?）+…+JB<2（?1?2020?－?1?2021?JB>2）JB>2］=1+?1?12?+?1?4?（ 1?2?－?1?2021?）<1+?1?12?+?1?8?=?29?24?

又0

所以1

解后反思：根據(jù)數(shù)列的遞推關系式特征確定數(shù)列前后項的大小關系以及取值范圍的估計，通過先猜后證，對數(shù)列通項an的變化速度有一個初步的判斷，結合猜想并利用數(shù)學歸納法加以證明，得以確定數(shù)列通項an的上界估計，最后通過數(shù)列求和的裂項相消法（這里是通過分式裂項）加以合理放縮與處理.其實，該方法中的不等式也可以是an≤?1?n2?，結合該方法也可以得以解決.

3鏈接高考

以上模擬題類似于2021年高考數(shù)學浙江卷第10題，而且數(shù)列的遞推關系式更加復雜，難度也比高考真題有所提升與深入，解決問題的技巧與方法基本相當.

高考真題：（2021年高考數(shù)學浙江卷第10題）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=?an?1+?an??（n∈WTHZN*）.記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則（）.

A.?1?2?

B.3

C.4

D.?9?2?

答案：A.

該高考真題的解決方式也是多樣，可參照以上模擬題的裂項放縮技巧與方法加以分析與解決，這里不多加以敘述與展開.

4教學啟示

4.1掌握裂項的基本類型，熟知裂項模式

裂項相消法是數(shù)列求和常用的解題方法，常見的數(shù)列通項的裂項類型有：①利用分式的基本性質進行裂項；②利用根式的分母有理化進行裂項；③利用其他相關等式的運算進行裂項等.

4.2善于裂項的基本步驟，把握裂項“三關”

裂項相消法進行數(shù)列求和需過的“三關”：第一關是定通項關，即會利用求通項的常用方法，求出數(shù)列的通項公式；第二關是巧裂項關，即能將數(shù)列的通項公式準確裂項；第三關是消項求和關，即把握消項的規(guī)律，求和時正負項相消，準確判斷剩余的項是哪幾項，從而準確求和.

參考文獻：

［1］俞文銳.基于數(shù)學抽象的“裂項法”教學設計探析［J］.中學數(shù)學月刊，2022（7）：37-39+61.

［2］王翠娜.基于建構主義的數(shù)列裂項求和探析［J］.教學考試，2022（2）：55-59.