探究信息技術(shù)輔助函數(shù)思想解決問題的影響

嵇海燕　劉詠梅

[摘 要] 信息技術(shù)以勢不可擋的步伐影響著數(shù)學(xué)教學(xué)，函數(shù)是高中的核心概念，函數(shù)思想是高中數(shù)學(xué)的重要思想方法，掌握函數(shù)思想對于學(xué)生解決問題具有重要的意義，充分發(fā)揮信息技術(shù)的優(yōu)勢輔助函數(shù)思想解決問題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 信息技術(shù)；函數(shù)思想；解決問題

《國家中長期教育改革與發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020年）》提出：“信息技術(shù)對教育發(fā)展具有革命性的影響，必須予以高度重視.”[1]隨著信息技術(shù)的發(fā)展和數(shù)學(xué)教育本身的改革和發(fā)展，信息技術(shù)融入數(shù)學(xué)教育，發(fā)揮在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的作用是必然的發(fā)展趨勢.函數(shù)一直是高中教學(xué)的一個難點，也成為各類檢測和考試的重點內(nèi)容，函數(shù)思想是高中數(shù)學(xué)重要的思想方法. 大量教學(xué)實踐表明，函數(shù)思想有利于問題的解決，教師引導(dǎo)學(xué)生通過做大量的題型，學(xué)生可以運用函數(shù)思想解決一些問題，然而，多數(shù)學(xué)生對函數(shù)思想掌握得不夠好，對函數(shù)思想在解決問題的核心地位意識不足. 函數(shù)是對變量之間的依賴關(guān)系進行分析，分析的重要途徑是函數(shù)圖形，信息技術(shù)在繪制函數(shù)圖像、揭示運動變化方面具有重要的優(yōu)勢. 因此，本文希望利用信息技術(shù)在促進函數(shù)思想解決問題方面做出一些探索.

運用函數(shù)思想解決問題過程中信息技術(shù)融入的途徑

信息技術(shù)的融入可以使數(shù)學(xué)教育突顯數(shù)學(xué)的發(fā)生、發(fā)展過程，展現(xiàn)量的直覺解釋，加深理解，提升抽象思維教育的層次，[2]教師應(yīng)掌握適合數(shù)學(xué)教學(xué)的信息技術(shù)，著重引導(dǎo)學(xué)生把注意力集中在自身的探索過程和應(yīng)予以突出的教學(xué)重點上，才會最終實現(xiàn)優(yōu)化教育效果的目標(biāo).[3] 函數(shù)思想是運動變化思想，是辯證思想，是學(xué)生問題解決的基本思想.筆者認(rèn)為，函數(shù)思想的運用可以體現(xiàn)在對數(shù)學(xué)問題的建模，在知識的應(yīng)用過程中信息技術(shù)的融入可以促進學(xué)生對函數(shù)思想的本質(zhì)理解和領(lǐng)悟. 因此，建立以下信息技術(shù)輔助函數(shù)思想解決問題的RMI原則.

運用函數(shù)思想解決問題過程中發(fā)揮信息技術(shù)的價值所在

隨著教育改革的進行，注重考查學(xué)生理性思維、應(yīng)用能力、數(shù)學(xué)思想方法等多方面的能力，除此之外，對學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也提出了要求，這都對教學(xué)具有很大的指導(dǎo)意義和實踐價值. 信息技術(shù)輔助函數(shù)思想解決問題，在問題解決過程中強化對函數(shù)思想的理解，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會用發(fā)展、運動的眼光看待與處理周圍的事物，并體會到世界萬物之間都是普遍聯(lián)系的，把握函數(shù)思想中的辯證統(tǒng)一，作為日后解決問題的儲備能力.

1. 借助直觀理解解決問題

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，學(xué)生已學(xué)過的函數(shù)有一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等，對于高中階段的學(xué)生要求掌握這些函數(shù)的圖像與性質(zhì)，從而學(xué)會應(yīng)用函數(shù)的知識解決問題. 信息技術(shù)運用于函數(shù)教學(xué)的一個突出優(yōu)勢就是形象直觀，因此，對于一些在函數(shù)教學(xué)上用傳統(tǒng)教學(xué)手段達不到的效果可以運用信息技術(shù)輔助解決數(shù)學(xué)問題.

例1：函數(shù)y=sinπx與函數(shù)y=x-（-2≤x≤3）所有交點的橫坐標(biāo)之和等于__________.

思路分析：通常學(xué)生會產(chǎn)生直接求解方程sinπx=x-的想法，但是因無法求解而導(dǎo)致思維受阻.因此，在這里，為了更加直觀地探索兩個函數(shù)交點的個數(shù)，借助信息技術(shù)畫出三角函數(shù)y=sinπx的圖像，則函數(shù)的圖像關(guān)于x=對稱，同時作出指數(shù)類函數(shù)y=x-（-2≤x≤3）的圖像也關(guān)于x=對稱. 根據(jù)圖像直觀可知，兩個函數(shù)在區(qū)間[-2，3]共有5個交點，其中一個交點在對稱軸上，其余兩兩對稱. 設(shè)對稱的兩個點的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，則有x1+x2=1，因此，解得在區(qū)間[-2，3]所有交點的橫坐標(biāo)之和為.

2. 靈活運用關(guān)系

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的一個核心概念，與許多數(shù)學(xué)知識都有著密切的聯(lián)系. 函數(shù)與方程、不等式以及數(shù)列之間的關(guān)系是要求高中學(xué)生掌握的知識，也是考試考查的題型所在. 比如，數(shù)列是特殊的函數(shù)，在教學(xué)過程中必須讓學(xué)生清楚“特殊”是指什么，對于我們解決問題有什么影響. 我們知道，等差數(shù)列的通項公式可以看成是一次函數(shù)an=dn+a1-d，對應(yīng)的前n項和可以看成沒有常數(shù)項的二次函數(shù)Sn=n2+a1-n；等比數(shù)列的通項公式可以看成是指數(shù)類函數(shù)an=·qn，前n項和也可以看成是指數(shù)類函數(shù)Sn=-qn+，并且對應(yīng)函數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項互為相反數(shù)，這都為學(xué)生探索問題和解決問題提供了思維方式方法. 同樣，函數(shù)與方程、不等式也有著密切的聯(lián)系. 為了更加深入地探究函數(shù)與它們之間的關(guān)系，借助信息技術(shù)，在數(shù)與形方面靈活運用.

例2：已知方程x=ax+1有一個負(fù)根且沒有正根，則a的取值范圍為______.

思路分析：此問題的解決方法有多種，比如兩邊平方或者直接對x分情況去絕對值法，但是如果能夠進一步挖掘函數(shù)與方程的關(guān)系，研究方程根的情況，把方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，即把方程中的兩個變量化簡成等式的兩邊，即轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，有助于學(xué)生理解方程與函數(shù)思想.借助信息技術(shù)準(zhǔn)確地畫出圖像，根據(jù)圖像特征得到問題的解答.因此，可將已知方程看成是x與a的函數(shù)關(guān)系式，則a=，即求常量函數(shù)y=a與f（x）=的交點，從而借助信息技術(shù)畫出函數(shù)f（x）=的圖像（如圖3）得以解決，從相互聯(lián)系中得出a的取值范圍為（-1，+∞）.

例3：當(dāng)x∈（1，2）時，不等式（x-1）2

思路分析：此問題若采取“參數(shù)分離法”或通過構(gòu)造一個函數(shù)f（x）=（x-1）2-logax轉(zhuǎn)化得到f（x）<0恒成立的問題，容易導(dǎo)致學(xué)生思維障礙. 若能借助數(shù)形結(jié)合，通過構(gòu)造函數(shù)f（x）=logax和g（x）=（x-1）2，利用信息技術(shù)的繪圖與動畫功能，可以快速得到問題的解答. 根據(jù)題意，原不等式（x-1）21. 由g（2）=1，知點A（2，1），當(dāng)f（x）=logax的圖像經(jīng)過點A時，1=loga2，解得a=2. 因?qū)?shù)函數(shù)圖像隨著參數(shù)a（當(dāng)a>1時）的增大，圖像越來越趨于平緩，即有1

3. 建立“形”與“數(shù)”的橋梁

函數(shù)思想對于解決不是很明顯的函數(shù)問題時常?？梢云鸬绞掳牍Ρ兜男Ч?，比如在解決解析幾何問題的過程中，多數(shù)是把幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，通過引進變量，構(gòu)造函數(shù)模型，借助信息技術(shù)的直觀形象，讓函數(shù)思想的滲透水到渠成，從而提高學(xué)生的解題思維能力.

例4：已知定點A（-1，0），B（1，0），P是圓（x-3）2+（y-4）2=4，求PA2+PB2的最值.

思路分析：通過引入變量x0，y0，觀察PA2+PB2=2（x+y+1），問題可以轉(zhuǎn)化為求解動點P到原點距離的最大值和最小值問題，數(shù)形結(jié)合，運用信息技術(shù)動畫呈現(xiàn)動點P的運動情況，從而得到問題的解決.

設(shè)P（x0，y0）為圓上的任意一點，PA2+PB2=2（x+y+1）.

令z=x+y，即求z的值域.

從運動的圖像（圖5）中可以看出，當(dāng)動點P與E點重合時，動點P與原點距離最小，zmin=9，則（PA2+PB2）min=20；

當(dāng)動點P與F點重合時，動點P與原點距離最大，zmax=49，則（PA2+PB2）max=100.

4. 構(gòu)造函數(shù)模型

函數(shù)作為刻畫現(xiàn)實世界運動變化的數(shù)學(xué)模型，一直是高中的教學(xué)重點，也是考查學(xué)生的實踐應(yīng)用能力的基本模型. 函數(shù)模型在數(shù)學(xué)模型中應(yīng)用比較廣泛，很多現(xiàn)實生活中的實際問題可以發(fā)現(xiàn)是函數(shù)關(guān)系. 目前，信息技術(shù)對函數(shù)教學(xué)研究更多的是強調(diào)教師具有的專業(yè)水平和信息素養(yǎng)，而“教師的教更多的是為了不教”，學(xué)生初步掌握簡單的信息技術(shù)自主探究實際問題和建立函數(shù)模型，在解決問題的過程中，體現(xiàn)數(shù)學(xué)在解決實際問題中的巨大作用和應(yīng)用價值，不至于在教學(xué)過程中出現(xiàn)波利亞常說的“從帽子里掏出一個兔子”.

例5：（北師大版必修1-§2實際問題的函數(shù)建模）為了估計山上積雪融化后對下游灌溉的影響，積累了連續(xù)10年的觀測值如下：

試估計一年最大積雪深度4 m時，下游可能灌溉面積是多少？

思路分析：對于實際問題，學(xué)生一直以來都有一種畏懼心理，實際問題本身的復(fù)雜性和學(xué)生主動探索的空間有限可能是主要問題所在. 上述實際問題的數(shù)據(jù)不是很好處理，在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生自己描點畫圖識別出一次函數(shù)可能有些困難，求解函數(shù)表達式可能不夠精準(zhǔn)等. 在條件允許的情況下，教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生借助信息技術(shù)通過描出十個點，繪制圖形，能較簡單、形象直觀地構(gòu)建出一次函數(shù)模型，并求出函數(shù)表達式為y=364.2x+140.4，可以進一步探索實際問題的變化規(guī)律. 將x=4代入y=364.2x+140.4，得到灌溉面積可能為1597.2 hm2.

結(jié)束語

信息技術(shù)只有真正融入具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容才能體現(xiàn)出它的教育價值.函數(shù)思想是數(shù)學(xué)的重要思想，是學(xué)生解決問題經(jīng)常需要用到的思想，也是對學(xué)生以后進一步學(xué)習(xí)甚至工作生活影響較大的思想.函數(shù)思想的重要性體現(xiàn)在它的辯證統(tǒng)一，在運動與變化的過程中揭示變中不變的規(guī)律.因此，在教學(xué)實踐過程中，應(yīng)善于挖掘數(shù)學(xué)問題中的函數(shù)關(guān)系，借助信息技術(shù)的優(yōu)勢，在動態(tài)呈現(xiàn)這種運動與變化過程的同時，把握和深入理解函數(shù)思想的本質(zhì)，能夠明晰函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)中的作用，從而進一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生解決問題的能力.

參考文獻：

[1] 教育部. 國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010-2020年）.

[2] 劉詠梅，吳立寶. 信息技術(shù)對促進數(shù)學(xué)基本思想教育的價值分析[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2017，26（1）：41-46.

[3] 于鴻麗. 數(shù)學(xué)教師信息技術(shù)應(yīng)用存在問題分析[J]. 數(shù)學(xué)通報，2014，53（4）：5-7.