借助有效點撥引導(dǎo)數(shù)學(xué)思維

楊會志

[摘 要] 數(shù)學(xué)思維是高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容. 而對于學(xué)生來說，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中必定會遇到困難，因而就需要教師的有效點撥，在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中觀察“憤悱”的出現(xiàn)，是教師進行點撥的良機，此過程中要強調(diào)思維引導(dǎo)的有序性. 對學(xué)生思維能力是否形成，可從知識的應(yīng)用與思維的遷移兩個角度來判斷. 在核心素養(yǎng)視角下研究教師的有效點撥，是一個新的研究方向.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；有效點撥；引導(dǎo)思維；核心素養(yǎng)

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生的思維越來越受到重視，如果說傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)對學(xué)生思維的重視還體現(xiàn)在解題過程中的話，那么今天對數(shù)學(xué)思維的重視應(yīng)該在數(shù)學(xué)知識構(gòu)建的過程上，也體現(xiàn)在學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題上. 應(yīng)當說，在不同的過程中學(xué)生的思維還是有所不同的，這種不同不是思維形式的不同，而是思維在不同的情境作用之下發(fā)揮的機制不同. 這給數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了新的挑戰(zhàn)，思維能力的培養(yǎng)是不可以一勞永逸的，可循的固定規(guī)律是少有的. 因此，試圖借助于某幾個場合或某幾次思維的訓(xùn)練，來讓學(xué)生在整個高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程變得順利是不大可能實現(xiàn)的. 也因此，數(shù)學(xué)教師更應(yīng)當建立“現(xiàn)象學(xué)”的認識，在不同的情境中通過切切實實的努力，為學(xué)生的思維奠基. 考慮到“教”之于學(xué)生“學(xué)”的作用，考慮到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)思維點撥主導(dǎo)地位，本文試從“有效點撥”的角度談?wù)勅绾斡行б龑?dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

憤悱處啟發(fā)，體現(xiàn)點撥的有效性

點撥是啟發(fā)的代名詞，點撥學(xué)生實際上就是在學(xué)生的思維遇到困難的時候給學(xué)生以啟發(fā). 即使課程改革推進至今，在高中數(shù)學(xué)課堂上也常?？吹揭环N情況，那就是教師往往有一種“迫不及待”的點撥學(xué)生的心理，這里固然有所謂的課堂容量的問題，其實也有教師內(nèi)心一種忽視學(xué)生學(xué)習(xí)心理的可能. 古人云“不憤不啟，不悱不發(fā)”，強調(diào)的恰恰是點撥時機的把握，數(shù)學(xué)教師不可忽視這一基本技能. 例如2013高考江蘇卷第18題，如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線l：y=2x-4. 設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上.若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍.

此題是一道綜合性較強的試題，考查了點到直線的距離公式以及圓與圓的位置關(guān)系的判定. 試題解析如下：第一步，設(shè)M（x，y），由MA=2MO，利用兩點間的距離公式列出關(guān)系式，整理后得到方程為x2+（y+1）2=4. 即得點M的軌跡為以（0，-1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D.第二步，由M在圓C上，得到圓C與圓D相交或相切. 第三步，根據(jù)兩圓的半徑長，得出兩圓心間距離的范圍，利用兩點間的距離公式列出不等式. 第四步，求出不等式的解集，即可得到a的范圍.

在這四個步驟中，學(xué)生理解哪一步是最困難的？根據(jù)一般的經(jīng)驗，應(yīng)當是第一、二兩步. 這兩步難（亦即學(xué)生思維的困難）在哪里呢？在實際教學(xué)中，如果學(xué)生第一次解此類問題，學(xué)生的思維難點在于不知道根據(jù)題目所提供的MA=2MO這一信息來建立方程，從而不知道轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系問題. 這個時候，教師不要急于告訴學(xué)生應(yīng)當怎么做，而是應(yīng)當讓學(xué)生先自主思考，再小組合作討論. 教師在學(xué)生自主思考與討論的過程中，要關(guān)注學(xué)生的思維. 筆者在觀察學(xué)生在草稿紙上涂改的痕跡時，在傾聽學(xué)生在小組中的討論時，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維大體具有這樣的共同點：一是“圓C上存在點M，使MA=2MO”意味著什么？MA=2MO這個條件很多學(xué)生看不懂，不認識這就容易出現(xiàn)“憤悱”的情形；二是理解了MA=2MO建立出等量關(guān)系，而不知與圓C上存在點M有什么聯(lián)系，“存在”是何意？在這也是“憤悱”的情形.

新課改中教師的作用不是淡化了，而是更加重要了. 教師是教學(xué)過程的主導(dǎo)者，必須正視自身的存在，而且必須合理把握自身的角色. 在教學(xué)中抓住這個機會去點撥學(xué)生，如同觸碰到學(xué)生的癢癢處，就會起到激活學(xué)生思維的作用.

實踐中引導(dǎo)，強調(diào)過程的有序性

引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，并不是簡單地告訴學(xué)生怎樣做，因為那樣實際上剝奪了學(xué)生的思維的機會. 思維貴在引導(dǎo)，而引導(dǎo)又貴在過程的有序性！所謂數(shù)學(xué)思維的有序性，是指學(xué)生的思維表現(xiàn)出的邏輯特征. 如果學(xué)生在思維的過程中邏輯不清晰，那就認為邏輯是無序的，也就說明教師的“點撥”需要進一步優(yōu)化.

如在上面學(xué)生的兩處“憤悱”之時，筆者通過蘇教版數(shù)學(xué)必修2第112頁習(xí)題2.2第12題進行引導(dǎo)，第一步，解決如下例題：已知點M（x，y）與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離之比為，那么點M的坐標應(yīng)滿足什么關(guān)系？畫出滿足條件的點M所構(gòu)成的曲線. 解析如下：設(shè)M（x，y）是曲線上的任意點，結(jié)合兩點間距離公式列出距離的比關(guān)系式，整理后得到方程為（x+1）2+y2=4.即得動點軌跡為以（-1，0）為圓心，2為半徑的圓，做出圖形即可.這類關(guān)于某動點到兩個定點的距離之比為定值的問題是課本上的典型習(xí)題，我們常用直接法求出動點的軌跡（阿波羅尼斯圓問題），此題是上述高考題的原型，以此題鋪墊引導(dǎo)，會大大減輕學(xué)生的思維困難. 第二步，基于上述分析構(gòu)建一個“動畫”，幾何畫板演示M的軌跡. 第三步，給學(xué)生進一步點撥——動點分別在兩個圓上運動. 于是，關(guān)于a的不等式就呼之欲出了.

在筆者看來，這樣的三步點撥最大的價值不僅在于給了學(xué)生一個思路，更在于給了學(xué)生一個清晰的思維步驟，讓學(xué)生知道每一步之間是如何銜接的，是如何一步步完成問題的解決的. 這就是思維過程的有序性. 思維引導(dǎo)的有序性在實際教學(xué)中可以根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)感覺來判斷，如果學(xué)生理解問題、解決步驟比較順利，那么學(xué)生聽起來必然不吃力——此時學(xué)生的表情應(yīng)當與點撥之前的“憤悱”有明顯的區(qū)別：憤悱之時如同打仗突圍時左沖右突但卻無法有效突破一般，而在有序的思維引導(dǎo)之下則如同突圍之時撕開了一道口子順利突圍一般.

但是有一點需要注意，那就是數(shù)學(xué)思維引導(dǎo)的有序性，固然要強調(diào)學(xué)生“聽得舒服”，但是要防止只是“聽得舒服”. 因為多年的教學(xué)經(jīng)驗表明，聽得懂未必是真的懂，能夠有效輸出（傳統(tǒng)教學(xué)思路中強調(diào)讓學(xué)生說出來、做出來，課程改革強調(diào)的課堂展示都是這個思想）才是衡量有沒有真的聽懂的關(guān)鍵. 但是有一點可以肯定的是，在此前有了憤悱的心境，再加上隨后的有序引導(dǎo)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維一定是有所發(fā)展的.

能力之形成，注重知識的應(yīng)用性

在數(shù)學(xué)課堂上進行有效的點撥，目的是瞄準數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，這個起點與終點之間的關(guān)系是明確的. 但這個目標的達成或者說終點的達成與否，是需要教師在教學(xué)中認真判斷的. 如何判斷學(xué)生的能力是否達成？應(yīng)用是一個重要思路（這與上面強調(diào)的知識的輸出原理是一樣的）.

應(yīng)用有兩層含義：一是解決數(shù)學(xué)習(xí)題；二是解決數(shù)學(xué)問題. 前者高中數(shù)學(xué)教學(xué)中已經(jīng)有了大量研究，此文不贅述. 談到數(shù)學(xué)問題，其與數(shù)學(xué)習(xí)題的區(qū)別在于其往往具有生活因素，因而在建立數(shù)學(xué)模型以解決這些問題的時候，需要進行有效的數(shù)學(xué)抽象，而數(shù)學(xué)抽象就是一個數(shù)學(xué)思維含量很高的過程，這個過程中學(xué)生也常常會遇到難以解決的問題，需要教師適時進行點撥，因此學(xué)生的思維培養(yǎng)的過程便蘊含其中. 再例如：

1. 已知圓O：x2+y2=9，點B（-5，0），在直線OB上，是否存在定點A（不同于點B），滿足對于圓O上任意一點P，都有，試求所有滿足條件的點A的坐標.

2. 已知圓O：x2+y2=9，點B（-5，0），在直線OB上，是否存在定點A（不同于點B），滿足對于圓O上任意一點P，都有為一常數(shù)？若存在，求所有滿足條件的點A的坐標，并求；若不存在，說明理由.

這兩題實際上是原問題的變式，學(xué)生的解題思路可以由原問題的解決過程得到一種隱性的指導(dǎo)，同時變式的提供本身又是一次新的應(yīng)用機會.

這種應(yīng)用過程的最大價值在于發(fā)揮原有例題的隱性點撥作用（當然對于部分學(xué)生而言，還需要教師再次進行顯性的點撥，這也是教學(xué)中的常規(guī)情形，只是需要教師考慮是不是需要一種新的點撥思路，在此不贅述），在于讓學(xué)生在新的情境中進一步讓思維變得清晰與熟練，這也是衡量能力形成的另一個標志，尤其是面對高考的需要，這種能力形成是必需的.

素養(yǎng)之培育，關(guān)注思維的遷移性

核心素養(yǎng)是當下的一個熱門話題，從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度來看，數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的點撥及其作用之下學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展，筆者以為需要建立一個新的維度來關(guān)注學(xué)生的思維，這個維度就是思維的遷移性.

所謂思維的遷移性，就是數(shù)學(xué)思維在非純粹數(shù)學(xué)情境中的運用. 當前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評價中，這種遷移性的評價是不明顯的，但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要目的，就是讓學(xué)生以數(shù)學(xué)思維去觀察、判斷身邊的事物，這些事物的數(shù)學(xué)特征有時并不那么明顯，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中形成的思維是否能夠有效地幫他們對這些事物形成客觀、有效的判斷，值得數(shù)學(xué)教師去研究. 而數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)所強調(diào)的數(shù)學(xué)在“與現(xiàn)實生活相關(guān)聯(lián)的特定情境中的運用”，就是對思維遷移性最好的引導(dǎo)性思路. 在思維的遷移性研究中，教師的點撥肯定要發(fā)揮一定的作用，這個作用在何時發(fā)揮，應(yīng)當發(fā)揮到什么程度，筆者以為這是一個新的研究方向，需要一線教師做出不懈的努力.