深刻理解教學(xué)內(nèi)容：值得修煉的專業(yè)基本功
——基于“多元表征”理論

☉山東萊蕪市雪野旅游區(qū)雪野中心中學(xué) 錢加坤

我們知道，南京大學(xué)哲學(xué)系鄭毓信教授對數(shù)學(xué)教育，特別是中小學(xué)數(shù)學(xué)教育用力很深，推介了很多國外最新的教育理論，并進(jìn)行比對、思辨，告誡我們廣大中小學(xué)數(shù)學(xué)教師在研習(xí)這些國外理論或觀點時，要深入思考.這些理論究竟有什么值得學(xué)習(xí)的地方，怎樣運用到自己的教育教學(xué)研究中，讓這些理論能更加接地氣，使我們的數(shù)學(xué)教學(xué)能走向“教活，教深”的境界？受鄭教授的影響，我們認(rèn)真研習(xí)了“多元表征理論”，簡要來說，該理論是指人們關(guān)于數(shù)學(xué)概念（或數(shù)學(xué)問題）的心理表征往往包含多個不同的方面或成分，而且這些成分對于概念的正確理解都具有重要的作用，我們應(yīng)高度重視這些成分之間的聯(lián)系.本文將結(jié)合新近教學(xué)過程中對一些數(shù)學(xué)問題（數(shù)學(xué)概念或經(jīng)典習(xí)題）的教學(xué)，從“多元表征”的角度進(jìn)行解讀，并給出一些教學(xué)建議，供研討.

一、從“多元表征”的角度看數(shù)學(xué)問題

話題1：相反數(shù)的深刻理解.

學(xué)生進(jìn)入初中后，數(shù)系擴充為有理數(shù)，一個新的數(shù)系出來之后，通常需要研究這種數(shù)系的運算，而為了研究運算，需要定義一些相關(guān)的概念（比如相反數(shù)、倒數(shù)、數(shù)軸、絕對值等），其中相反數(shù)就是一類十分重要的數(shù)學(xué)概念.新授課教學(xué)時，教材上的描述性定義是“像2與-2，a與-a這樣只有符號不同的兩個數(shù)稱為相反數(shù)”.接下來就安排求一個數(shù)的相反數(shù)，訓(xùn)練的目的是鞏固相反數(shù)的概念，然后是化簡符號的一些練習(xí)：

題組1：化簡下列各數(shù)：

應(yīng)該說，新授課時這樣教學(xué)也是可行的，對于鞏固相反數(shù)概念，初步理解相反數(shù)是有好處的.然而，從深刻理解相反數(shù)的高要求出發(fā)，我們在有理數(shù)單元復(fù)習(xí)或期末復(fù)習(xí)時，應(yīng)該以相反數(shù)為專題，開發(fā)一節(jié)與相反數(shù)相關(guān)的習(xí)題課進(jìn)行主題復(fù)習(xí).這里略提及一些相反數(shù)復(fù)習(xí)的要點：

（1）相反數(shù)的概念，a與-a.

（2）會化簡符號（如上“題組1”）.

（3）理解在數(shù)軸上，一對相反數(shù)所對應(yīng)的點到原點距離相等.

（4）若數(shù)a、b互為相反數(shù)，則a+b＝0；反之，若a+b＝0，則a、b互為相反數(shù).

（5）若a+b＝0，則對應(yīng)到數(shù)軸上，數(shù)a、b所對應(yīng)的點到原點的距離相等.

（6）將原點作為“基準(zhǔn)”進(jìn)行拓展，比如，數(shù)軸上從左往右依次有A、M、B三點，它們所對應(yīng)的數(shù)分別為a、m、b.當(dāng)M恰為AB的中點時，有b-m＝m-a，整理為a+b＝2m.

解讀：第（5）點引導(dǎo)學(xué)生重視數(shù)形結(jié)合理解相反數(shù)，事實上，“相反數(shù)和為0”的性質(zhì)，也是有理數(shù)加法的基礎(chǔ)；第（6）點，則是將“基準(zhǔn)為原點”拓展為任意一點作為基準(zhǔn)，利用兩點間距離公式，分析出一個重要的關(guān)系式“a+b＝2m”，在以后學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系時，縱軸上三個點如果具備中點性質(zhì)，也有類似的性質(zhì)；而在二次函數(shù)的圖像（拋物線）的研究中，從拋物線的對稱性質(zhì)出發(fā)，也容易發(fā)現(xiàn)類似的性質(zhì)，所以在初一對學(xué)生進(jìn)行適度的拓展和小結(jié)a+b＝2m，對于后續(xù)學(xué)習(xí)十分有益，值得重視.順便提及，當(dāng)前初一教學(xué)過程中，對數(shù)軸的考查與訓(xùn)練，偏重以數(shù)軸為背景，引入多動點的運動背景，反復(fù)在相遇問題、追及問題上增加解題層次，用來實現(xiàn)所謂的區(qū)分功能，筆者認(rèn)為，這種命題導(dǎo)向是值得商榷的.

話題2：經(jīng)典幾何問題在不同章節(jié)中的關(guān)聯(lián)與互動.

在初一、初二學(xué)習(xí)幾何時，學(xué)生練習(xí)了大量的幾何題，但往往碰到稍加變式的幾何題仍然不適應(yīng)，究其原因，與較難幾何題中往往需要添加輔助線，或者是繁雜線條中分離出基本圖形、凸顯圖形的能力不強有關(guān).另外，當(dāng)前幾何教學(xué)分成的各章之間缺少必要的聯(lián)系（或關(guān)聯(lián)）也是值得我們注意的.比如，三角形、全等三角形、平行四邊形、圓這些幾何的章節(jié)內(nèi)部，還能基本保持一種研究的路徑（如從一般到特殊，按不同圖形的一些元素有序展開探究和歸納），但各章之間缺少更為廣泛或密切的關(guān)聯(lián)和呼應(yīng).以下列舉幾例：

經(jīng)典問題1：如圖1，在△ABC中，CD為中線.當(dāng)AB＝2CD時，求證：△ABC是直角三角形.

圖2

圖1

解讀：這道習(xí)題在三角形內(nèi)角和性質(zhì)及等腰三角形（等邊對等角）之后就可練習(xí).然而從互為逆命題的觀點看，特殊平行四邊形（矩形）學(xué)習(xí)之后，證明了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，這里就可以將上述問題“放到”一起，讓學(xué)生從互逆命題的角度理解，幫助他們想深、想透.更重要的是，到了圓的學(xué)習(xí)，我們還應(yīng)該將上述兩個互逆命題，從“圓”的高觀點來理解（如圖2），就能把不同的習(xí)題在不同的學(xué)段都統(tǒng)一到圓的學(xué)習(xí)，“圓來如此”是不少學(xué)生常常發(fā)出的解題感慨.

經(jīng)典問題2：（初二教材習(xí)題）如圖3，E是正方形ABCD的邊BC上一點，連接AE，作EF⊥AE交正方形外角的平分線CF于F.求證：AE＝EF.

圖3

圖4

解讀：初二階段處理這類問題時可在AB上截取MB＝BE，構(gòu)造出等腰直角三角形BEM，再證△AEM≌△EFC，從而獲得解決.這種方法也具有推廣性，比如等邊三角形、正方形都可提出類似的證明題.更進(jìn)一步，在初三學(xué)過圓之后，如果能從圓的高觀點（如圖4，點A、E、C、F共圓）統(tǒng)領(lǐng)這類問題，就會給學(xué)生提供一種“居高臨下”的視角.

二、進(jìn)一步的思考

1.基于多元表征理論，深刻理解數(shù)學(xué)概念.

結(jié)合鄭毓信教授的相關(guān)文獻(xiàn)，深刻理解數(shù)學(xué)概念至少有如下一些特征，比如,能將此概念放入不同的表征系統(tǒng)之中；在給定的表征系統(tǒng)內(nèi)，必須能有彈性地處理這個概念；必須很精確地將此概念從一個表征轉(zhuǎn)換到另一個表征系統(tǒng).以上文提及的相反數(shù)為例，不但將其放在有理數(shù)的幾個概念中來理解，還要能跳出狹小的范圍，從更廣的知識塊或不同知識塊之間理解思考相反數(shù)在有理數(shù)運算，與數(shù)軸對應(yīng)之后的線段中點關(guān)系，以及與二次函數(shù)圖像對稱性之間的聯(lián)系，等等.可見深刻理解數(shù)學(xué)概念是十分不易的，而且對于教師來說，能否深刻理解，決定了能否為學(xué)生打開深刻理解的一扇窗.我們常常聽到有人說要所求所謂的深度教學(xué)，其中促進(jìn)學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)概念應(yīng)該也算深度教學(xué)的一種追求.

2.基于多元表征理論，跨年級甚至學(xué)段預(yù)設(shè)經(jīng)典問題不同解法.

我們注意到，臺灣地區(qū)自2000年開始推行的“九年一貫課程”，其核心是：“在九年一貫課程數(shù)學(xué)領(lǐng)域中‘聯(lián)系’凸顯.‘聯(lián)系’這一主題包括：內(nèi)部聯(lián)系和外部聯(lián)系……兩者均包含察覺、轉(zhuǎn)化、解題、溝通、評估等能力.”對應(yīng)到我們一線教師的狹義理解，筆者認(rèn)為重視跨年度甚至跨學(xué)段的研究經(jīng)典問題的解法就是值得關(guān)注的一個好課題，比如，上文中我們提到的從圓的視角看一些之前學(xué)生已練習(xí)過的幾何題，就可以讓學(xué)生洞察問題的深層結(jié)構(gòu)，感受到不同解法的和諧之美.事實上，這類問題還可列出很多，比如，在不同年級，方程的一般式與函數(shù)的一般式的對比理解；三角形中位線性質(zhì)與三角形重心定理；特殊直角三角形與平行四邊形的關(guān)系；從數(shù)的乘方到數(shù)的開方；一元二次方程的不同解法之間的關(guān)系；定長線段圍成矩形的面積最大問題；等等，都是跨年級的好問題，值得大家關(guān)注.

三、結(jié)束語

數(shù)學(xué)教師的專業(yè)基本功有很多，不同的學(xué)者有不同的論述（比如鄭毓信教授在《人民教育》上曾連載文章提到三項專業(yè)基本功：善于提問，善于舉例，善于優(yōu)化），本文只是從深刻理解教學(xué)內(nèi)容的角度，基于多元表征理論，結(jié)合平時收集和關(guān)注到的一些案例進(jìn)行了個性化的闡釋，既不一定準(zhǔn)確，更不一定正確，歡迎專家同行批評指正.

參考文獻(xiàn)：

1.鄭毓信.教師專業(yè)成長的主要目標(biāo)與重要內(nèi)容（下）［J］.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2013（12）.

2.劉東升.關(guān)聯(lián)性：一個值得重視的研究領(lǐng)域［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（12）.

3.馬立平，著.李士锜，吳穎康，等，譯.小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握和教學(xué)［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2011.

4.曹一鳴.為改進(jìn)數(shù)學(xué)教育而共同努力——第12屆國際數(shù)學(xué)教育大會綜述［J］.人民教育，2012（17）.