強(qiáng)化概念教學(xué) 注重概念剖析 發(fā)展學(xué)生學(xué)力

☉江蘇張家港市港區(qū)初級(jí)中學(xué) 黃 亞

概念是反映客觀事物本質(zhì)屬性的思維形式.數(shù)學(xué)概念，就是事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性，是人們通過(guò)實(shí)踐，從數(shù)學(xué)所研究的對(duì)象的許多屬性中，抽出其本質(zhì)屬性概括而形成的，是建立數(shù)學(xué)法則、公式、定理的基礎(chǔ)，也是運(yùn)算、推理、判斷和證明的依據(jù)，更是人們進(jìn)行數(shù)學(xué)思維、交流的工具.由于數(shù)學(xué)概念具有高度的概括性、抽象性、發(fā)展性和生成性，初中學(xué)生認(rèn)知的思維水平有限，他們?cè)趯W(xué)習(xí)的過(guò)程中，對(duì)一些抽象的、不常接觸的概念會(huì)不容易理解，因此，在概念形成過(guò)程中，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)具體事物的感知，自主觀察分析、抽象概括，自覺(jué)獲取事物的本質(zhì)屬性和規(guī)律，從而形成新的概念.然而，在平時(shí)的教學(xué)中，許多教師依然是“一個(gè)定義，幾項(xiàng)注意”或“機(jī)械性的記憶加大題量的鞏固練習(xí)”來(lái)應(yīng)付概念教學(xué)，忽略了概念的導(dǎo)入、生成、理解、剖析，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念理解膚淺，對(duì)建立在概念基礎(chǔ)上的知識(shí)、方法、思想沒(méi)有深刻感悟，制約了學(xué)生思維的發(fā)展.這種“概念教學(xué)輕描淡寫(xiě)，題海戰(zhàn)術(shù)轟轟烈烈”的教學(xué)方式，值得我們?nèi)シ此?許多事實(shí)例證：只有讓學(xué)生真正掌握了數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，才能正確、合理、迅速地進(jìn)行運(yùn)算、論證和空間想象，高效的概念教學(xué)應(yīng)該讓學(xué)生參與概念產(chǎn)生、發(fā)展、形成和應(yīng)用的全過(guò)程，變成學(xué)生樂(lè)于探究的數(shù)學(xué)思維活動(dòng).

一、注重教學(xué)起點(diǎn)的設(shè)計(jì)，讓概念的形成過(guò)程直觀、自然，水到渠成

布魯納認(rèn)為：“學(xué)習(xí)者在一定的問(wèn)題情境中，經(jīng)歷對(duì)學(xué)習(xí)材料的親身體驗(yàn)和發(fā)展過(guò)程，才是學(xué)習(xí)者最有價(jià)值的東西.”數(shù)學(xué)概念是實(shí)際問(wèn)題的抽象和概括，在教學(xué)時(shí)，教師要選取一些與概念密切相關(guān)的、豐富的、學(xué)生熟悉的素材，設(shè)計(jì)好教學(xué)的起點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念及其思想方法產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程的學(xué)習(xí)情境，從而讓學(xué)生在情境中抽象、歸納、概括出概念，并能清晰、準(zhǔn)確地表達(dá)概念.

教學(xué)案例1：“2.3確定圓的條件”（蘇科版九年級(jí)上冊(cè)）教學(xué)片段.

……

師：前面我們學(xué)習(xí)了圓的一些基本概念，如果給定了圓的圓心和半徑，能畫(huà)多少個(gè)圓？

生1：1個(gè)，利用圓規(guī)就可以把它作出來(lái).

師：很好，請(qǐng)大家思考下面幾個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題1：怎樣作一個(gè)圓，使它經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A？這樣的圓可以作多少個(gè)？

生2：在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，以這個(gè)點(diǎn)為圓心，AO的長(zhǎng)為半徑作圓，這樣的圓一定是經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A的.

師：這樣的圓可以作多少個(gè)呢？

生2：因?yàn)辄c(diǎn)O可以是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，所以這樣的圓可以作無(wú)數(shù)個(gè).

師：回答非常完整.（PPT出示圖1）

問(wèn)題2：怎樣作一個(gè)圓，使它經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A、B？

這樣的圓可以作多少個(gè)？

生3：先作出AB的垂直平分線l，再在直線l任意上取一點(diǎn)O，此時(shí)，OA=OB，以點(diǎn)O為圓心、OA長(zhǎng)為半徑作圓，這樣的圓一定是經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的.這樣的圓有無(wú)數(shù)個(gè).

圖2

圖1

師：生3利用線段垂直平分線的性質(zhì)作了一個(gè)非常清晰的解釋?zhuān)@樣的圓確實(shí)有無(wú)數(shù)個(gè).（PPT出示圖2）

問(wèn)題3：能否作一個(gè)圓，使它經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)？如果能，這樣的圓可以作多少個(gè)？

生4：假如這樣的圓存在的話，設(shè)它的圓心是點(diǎn)O，那么，OA=OB=OC.由OA=OB，知點(diǎn)O在AB的垂直平分線上；由OB=OC，知點(diǎn)O在BC的垂直平分線上.我們可以這樣作圖，分別作出線段AB、BC的垂直平分線，設(shè)它們的交點(diǎn)為O，以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓，這樣的圓一定是經(jīng)過(guò)已知A、B、C三點(diǎn)的.

師：這樣的圓可以作多少個(gè)？

生4：因?yàn)閮蓷l垂直平分線只有一個(gè)交點(diǎn)，所以這樣的圓只有一個(gè).

師：這樣的圓一定存在嗎？

生5：那得看兩條垂直平分線有沒(méi)有交點(diǎn)了，如果它們平行就不存在交點(diǎn)，這樣的圓不存在.

師：能否作一個(gè)圓，使它經(jīng)過(guò)已知A、B、C三點(diǎn)，關(guān)鍵是要看線段AB、BC的垂直平分線是否有交點(diǎn).那么，什么條件下這樣的圓存在，什么條件下這樣的圓不存在呢？

生6：如果A、B、C三點(diǎn)不在一條直線上，這樣的圓存在，并且只有一個(gè)；如果A、B、C三點(diǎn)在一條直線上，這樣的圓不存在.

師：經(jīng)過(guò)細(xì)致研究，我們發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)的圓有且只有一個(gè).今后這個(gè)結(jié)論表述為：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓.（PPT出示圖3）

……

教學(xué)思考：上述教學(xué)片段中，“問(wèn)題串”的設(shè)計(jì)讓學(xué)生經(jīng)歷了三種不同難度的探究活動(dòng)，從猜想結(jié)論到畫(huà)圖驗(yàn)證，實(shí)現(xiàn)了定理的“發(fā)現(xiàn)”“推理”都由“畫(huà)圖”演變而來(lái).這樣的設(shè)計(jì)契合學(xué)生的認(rèn)知水平，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，概念的形成過(guò)程直觀、自然，水到渠成.同時(shí)，在不同難度的探究活動(dòng)中，也能充分體現(xiàn)學(xué)生探究能力的差異，實(shí)現(xiàn)“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的課程理念.

圖3

二、注重教學(xué)內(nèi)容的剖析，讓概念的思辯過(guò)程清晰、明了、更有價(jià)值

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)的知識(shí)，概念教學(xué)每章都有，其重要性不言而喻.只有讓學(xué)生真正熟悉并掌握了概念的本質(zhì)，才能正確、合理、迅速地應(yīng)用概念去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.因此，在平時(shí)教學(xué)中，首先，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)好問(wèn)題情境，設(shè)計(jì)好教學(xué)的起點(diǎn)，不斷引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念的內(nèi)涵進(jìn)行分析、比較、歸納，對(duì)概念的特點(diǎn)有一個(gè)初步的理解.其次，教師要精心準(zhǔn)備好與概念相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，從不同的角度輔助學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行剖析，精準(zhǔn)地掌握概念的本質(zhì)屬性，

弄清概念的內(nèi)涵與外延，理清概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，并能熟練使用概念解決問(wèn)題.

教學(xué)案例2：“3.4合并同類(lèi)項(xiàng)”（蘇科版七年級(jí)上冊(cè)）教學(xué)片段.

……

師：通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道，同類(lèi)項(xiàng)必須具備兩個(gè)“相同”：一是所含字母相同；二是相同字母的指數(shù)也相同.下面請(qǐng)大家思考以下幾個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題1：ab與－2ab是同類(lèi)項(xiàng)嗎？如果是，你能不能再寫(xiě)一個(gè)式子與這兩個(gè)式子是同類(lèi)項(xiàng)呢？生1：ab與－2ab是同類(lèi)項(xiàng)，與ab、－2ab都是同類(lèi)項(xiàng).

師：還有嗎？

師：還有嗎？有多少個(gè)？

眾生：還有無(wú)數(shù)個(gè)！

師：很好，實(shí)際上同類(lèi)項(xiàng)是兩個(gè)或多個(gè)單項(xiàng)式之間的一種關(guān)系，并且同類(lèi)項(xiàng)與它們的系數(shù)無(wú)關(guān).

問(wèn)題2：2xy與－2yx是同類(lèi)項(xiàng)嗎？

生2：2xy與－2yx所含字母相同，相同字母的指數(shù)也相同，2xy與－2yx是同類(lèi)項(xiàng).

師：生2告訴我們一個(gè)結(jié)論：同類(lèi)項(xiàng)與字母的順序無(wú)關(guān).那么，2πr2與4r2是不是同類(lèi)項(xiàng)呢？

生3：不是的，它們所含字母不相同.

生4：π不是字母，是一個(gè)數(shù)，所以，πr2與4r2是同類(lèi)項(xiàng).

師：很好，π與4是不是同類(lèi)項(xiàng)呢？（小組討論）

生5：我們小組討論的結(jié)果是同類(lèi)項(xiàng)，因?yàn)?，它們都不含字?

師：我們規(guī)定：所有的常數(shù)都是同類(lèi)項(xiàng).例如：0、－1.5、10、2π等都是同類(lèi)項(xiàng).

……

教學(xué)思考：《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“教學(xué)中注重結(jié)合具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，這是學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要途徑.”上述教學(xué)片段中，通過(guò)兩個(gè)看似簡(jiǎn)單問(wèn)題的探討，加上教師的不斷追問(wèn)，學(xué)生對(duì)同類(lèi)項(xiàng)的概念有了非常深刻的理解，既突破了重點(diǎn)，又解決了難點(diǎn)，在參與舉例、觀察、類(lèi)比、概括、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生從不同的角度深刻理解了概念，整體掌握了同類(lèi)項(xiàng)的相關(guān)知識(shí)，積累了探究活動(dòng)的基本經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

三、注重教學(xué)例題的安排，讓概念的應(yīng)用過(guò)程順暢、有效、富有內(nèi)涵

數(shù)學(xué)概念往往是判斷問(wèn)題的基礎(chǔ)或解決問(wèn)題的依據(jù)，所以，概念的應(yīng)用是概念鞏固的重要環(huán)節(jié)，也是數(shù)學(xué)知識(shí)的外化過(guò)程.通過(guò)應(yīng)用概念，學(xué)生可建立知識(shí)與應(yīng)用之間的橋梁，提高知識(shí)的應(yīng)用能力；反過(guò)來(lái)，對(duì)概念的應(yīng)用又促進(jìn)了學(xué)生對(duì)概念的內(nèi)涵與外延的進(jìn)一步理解.在概念的應(yīng)用過(guò)程中，教師還要引導(dǎo)學(xué)生探索并總結(jié)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的規(guī)律，歸納數(shù)學(xué)概念應(yīng)用的方法，體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想，形成合理的解題技巧，積累解題經(jīng)驗(yàn)，生成學(xué)習(xí)智慧.

教學(xué)案例3：“10.5分式方程（2）”（蘇科版八年級(jí)下冊(cè)）教學(xué)設(shè)計(jì)之典型例題.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)簡(jiǎn)單的解分式方程，讓學(xué)生進(jìn)一步明確“增根”不是原分式方程的根，但它是去分母后的整式方程的解.

設(shè)計(jì)意圖：利用“增根”的概念解題是較為常見(jiàn)的題型，其方法是：（1）先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；（2）明確原方程的增根；（3）將“增根”代入轉(zhuǎn)化后的整式方程，解之就可以得到所求字母的值.

設(shè)計(jì)意圖：本題條件中雖然未涉及方程的“增根”問(wèn)題，但是，題設(shè)條件“方程的根大于0”的等價(jià)條件是：“原方程轉(zhuǎn)化后的一元一次方程有大于0的解且這個(gè)解不能是增根.”解答此類(lèi)問(wèn)題的基本思路是：（1）求出已知方程的根；（2）根據(jù)題設(shè)條件建立關(guān)于字母的不等關(guān)系，求出字母系數(shù)的取值范圍，同時(shí)注意剔除使得分式方程有“增根”的字母系數(shù)的值.

這是學(xué)生容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方，教學(xué)時(shí)要注意強(qiáng)化.

教學(xué)思考：分式方程的“增根”問(wèn)題，對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)確實(shí)是一個(gè)不太容易理解的概念，在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)對(duì)教材中將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，進(jìn)行創(chuàng)造性的加工處理，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平、思維能力及學(xué)習(xí)實(shí)際，設(shè)計(jì)好體現(xiàn)基礎(chǔ)性、層次性、示范性的例題，幫助學(xué)生理解、掌握這一概念，并能應(yīng)用這一概念解決相關(guān)的問(wèn)題.

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是一切數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)、能力培養(yǎng)的基礎(chǔ)，教師一定要站在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的高度重視概念的教學(xué)，優(yōu)化概念教學(xué)設(shè)計(jì)，確保概念教學(xué)的有效性，讓學(xué)生在經(jīng)歷概念產(chǎn)生的過(guò)程中，通過(guò)獨(dú)立思考、主動(dòng)探索、合作交流，理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).完善學(xué)生的思維品質(zhì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和關(guān)鍵能力，發(fā)展學(xué)生的學(xué)力.

參考文獻(xiàn)：

1.中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.王飛兵.例談初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的基本步驟［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2014（3）.