一道中考模擬試題的命制與思考

☉浙江省嘉善縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 陳世文

2018年4月，筆者參加了本縣九年級(jí)中考模擬試卷的命制工作，其中第16題選自學(xué)生熟悉的模型，但又賦予新的變化，學(xué)生似曾相識(shí)，又感覺(jué)新鮮，富有挑戰(zhàn)，既考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，又考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和核心素養(yǎng).現(xiàn)將本題的命制過(guò)程呈現(xiàn)如下，與同行交流分享！

一、原題呈現(xiàn)

如圖1，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=45°，

圖1

圖2

圖3

圖4

二、解法展示

解法1：（1）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥CD，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

由AB∥CD，得∠DCF=∠ABC=45°.

由AB∥CD，∠AED=45°，得∠BAC=45°.

又∠ABC=45°，則∠ACB=90°，

解法2：（1）如圖4，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G.

由∠ABC=∠AED=45°，易證∠BAE=∠DEF.

又∠AGE=∠EFD=90°，AE=DE，則△AGE≌△EFD，則EG=DF=1.

三、命制過(guò)程

圖5

1.命題立意

本題為填空題的最后一道試題，根據(jù)雙向細(xì)目表和試卷整體布局，要編制一道幾何壓軸題，既注重基礎(chǔ)和通性通法的考查，又注重能力和核心素養(yǎng)的考查，要有一定的難度與區(qū)分度.縱觀近幾年各地的中考試卷，筆者發(fā)現(xiàn)“一線三等角”模型非常熱門，在中考復(fù)習(xí)階段教師講得也比較多，于是想以此模型為素材命制一道試題，檢驗(yàn)一下復(fù)習(xí)效果，同時(shí)融入一些變化，考查學(xué)生的能力與素養(yǎng)！

2.嘗試編題

一稿：如圖5，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=45°，AB=3，

（1）BE=______ ；

（2）BC=______ .

分析：一稿基本能體現(xiàn)最初規(guī)劃的命題意圖，主要考查“一線三等角”模型，同時(shí)為了增加難度與變化，將第三個(gè)角隱去了，需要學(xué)生自己去構(gòu)造.但在研磨時(shí)，有老師感覺(jué)此題的（1）（2）兩問(wèn)是平行設(shè)問(wèn)，沒(méi)有梯度，只要構(gòu)造出了“一線三等角”模型，解決了第（1）問(wèn)，第（2）問(wèn)自然就出來(lái)了，整個(gè)試題顯得有些單一，缺少層次.

二稿：如圖6，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=

（1）BE=____ ；

（2）S△AED=____ .

分析：二稿第（1）問(wèn)求線段的長(zhǎng)，第（2）問(wèn)改為求△AED的面積，這樣整個(gè)試題考查的內(nèi)容更加豐富，也更有層次感！應(yīng)該是一道不錯(cuò)的試題了.但在研磨時(shí)有老師感覺(jué)第（2）問(wèn)計(jì)算量比較大，而思維含量不大，主要考查解直角三角形求線段長(zhǎng)度，而且數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)不是很好.期望試題有些靈動(dòng)感，思維含量大點(diǎn)，而計(jì)算量小點(diǎn)，怎么辦呢？化靜為動(dòng)——讓點(diǎn)E動(dòng)起來(lái)試試，但要考查“一線三等角”模型，“∠ABC=45°，AE=DE且∠AED=45°”這些條件又不能改變，那么只能讓CD也動(dòng)起來(lái)，于是將題干中“”這個(gè)條件移到第（1）問(wèn)，第（2）問(wèn)如何設(shè)問(wèn)呢？筆者在用幾何畫板探索過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，由于AB∥CD，此時(shí)易證AE⊥BC，由已知AB=3易求AE的長(zhǎng)，而當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，AE=DE=CD，于是就設(shè)問(wèn)求CD的長(zhǎng)，而且這樣和第（1）問(wèn)也正好一正一反，形成呼應(yīng).另外為了計(jì)算更加簡(jiǎn)便，將“AB=3”改為了“AB=”，從而形成終稿.

圖6

四、命題反思

1.對(duì)試題的思考

試題源于學(xué)生平時(shí)熟悉的模型，同時(shí)又賦予新的變化（如隱去第三個(gè)角、引入動(dòng)點(diǎn)等），學(xué)生似曾相識(shí)，又感覺(jué)新鮮，富有挑戰(zhàn)，第（1）問(wèn)既可以構(gòu)造一線三等角模型（見解法1），也可以過(guò)點(diǎn)D、E分別作AB、BC的垂線（見解法2），入口較寬，解法多元，考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，第（2）問(wèn)讓點(diǎn)E動(dòng)起來(lái)，并探求在特殊位置下線段的長(zhǎng)度，需要學(xué)生抓住“變”與“不變”的關(guān)系，準(zhǔn)確地畫出圖形然后推理求解，考查學(xué)生的空間觀念、幾何推理等核心素養(yǎng).

圖7

另外，筆者在用幾何畫板探究的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)E在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑是一條直線（如圖7），因此，本題第（2）問(wèn)還可以這樣設(shè)問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)E從（1）的位置開始運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)=_____ .

2.對(duì)教學(xué)的啟示

本題雖為學(xué)生熟悉的幾何模型，但從閱卷情況來(lái)看，得分并不理想，筆者訪談了部分同學(xué)，很多學(xué)生反映，感覺(jué)是“一線三等角”模型，但他們是直接延長(zhǎng)AD與BC相交，此時(shí)又沒(méi)有“三等角”，從而思路受阻，解不出來(lái).究其原因，還是在平時(shí)的學(xué)習(xí)中對(duì)題目的本質(zhì)和解題方法認(rèn)識(shí)不到位，只是浮于表面，機(jī)械模仿，于是題目稍微變化一下便不知所措.因此我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中要注意：一要落實(shí)“學(xué)為中心”的理念，要多關(guān)注學(xué)生“學(xué)”的行為與結(jié)果，多留給學(xué)生探究的空間和時(shí)間，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的探索、發(fā)現(xiàn)和形成過(guò)程，讓學(xué)生參與解題的思維過(guò)程，多動(dòng)手畫圖、推理、計(jì)算（如本題第（2）問(wèn)只要根據(jù)題意畫出圖形問(wèn)題就迎刃而解），從而發(fā)展學(xué)生的思維，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升解題能力；二是教師在解題教學(xué)時(shí)要注重通性通法的教學(xué)與解題本質(zhì)的揭示，如本題不論解法1還是解法2，其本質(zhì)都是“補(bǔ)全”圖形，構(gòu)造全等.唯有如此才能全面提高學(xué)生能力，才能以不變應(yīng)萬(wàn)變！