一道散文式試題的命制過程與感悟

☉江蘇揚州市江都區(qū)實驗初級中學 肖世兵

散文是一種抒發(fā)作者真情實感、寫作方式靈活的記敘類文學體裁，以其形散神聚、意境深邃、語言優(yōu)美的特點受到讀者的喜愛.筆者嘗試將散文的寫作風格融入到數(shù)學試題的編制中去，并將這一命題方式自稱為散文式命題.本文結(jié)合2017—2018年江都區(qū)九年級上學期期末試卷的一道網(wǎng)格作圖題的命制過程，談談對散文式命題的感悟.

圖1

圖2

圖4

圖3

一、試題呈現(xiàn)

試題：由邊長相等的小正方形組成的網(wǎng)格，以下各圖中的A、B、C、D都在格點上.

（1）在圖1中，PC∶PB=_____.

（2）利用網(wǎng)格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法.

①如圖2，在AB上找點P，使得AP∶PB=1∶3；

②如圖3，在BC上找點P，使得△APB∽△DPC；

③如圖4，在△ABC中內(nèi)找一點P，連接PA、PB、PC，將△ABC分成面積相等的三部分.

二、命制過程

1.命制意圖.

尺規(guī)作圖是數(shù)學文化長廊中一顆耀眼的明珠，它以直觀呈現(xiàn)的方式展示圖形的視角美和內(nèi)涵美，尺規(guī)作圖能反映學生數(shù)學思維的靈動性和創(chuàng)造性，能夠反映學生的數(shù)學基本活動經(jīng)驗、實踐能力和創(chuàng)新意識等核心素養(yǎng).在《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中，對尺規(guī)作圖又提出了更高的要求，指出：“在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法.”

在過去很長一段時間內(nèi)，因為平時作業(yè)中根本不用畫幾何圖，考試中幾乎不考作圖，所以許多一線教師忽略尺規(guī)作圖的教學，忽視尺規(guī)作圖的重要性，學生作圖能力普遍偏低.因此，筆者想借此次全區(qū)的統(tǒng)測機會，發(fā)揮試題對教學的導向功能，引導教師關注課標，關注尺規(guī)作圖，關注對學生作圖能力的培養(yǎng).

2.遴選素材.

查閱全國各地近幾年的中考卷后，筆者發(fā)現(xiàn)天津卷最大的特色之一就是每年都考一道作圖題，以網(wǎng)格為背景，突出對學生幾何推理能力的考查.

素材：（2017年天津卷18）如圖5，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A、B、C均在格點上.

（1）AB的長等于______；

（2）在△ABC的內(nèi)部有一點P，滿足S△PAB∶S△PBC∶S△PCA＝1∶2∶3，請在如圖5所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出點P，并簡要說明點P的位置是如何找到的______.（不要求證明）

素材說明：一算一作，少算多思，是天津卷第18題的亮點.但兩問缺乏聯(lián)系，且第（2）問解決難度大，直接用于我區(qū)測試卷中肯定不合適.本題解題關鍵在于，先利用“同高圖，面積比等于底之比”或“同底圖，面積比等于高之比”轉(zhuǎn)化為線段比，再借助網(wǎng)格，構造相似，分線段比.難點在于學生對共邊三角形的面積比的有關知識知之甚少.其實，早在多年前，張景中院士曾提出利用面積法開辟幾何新天地的觀點，但一線教師關注很少，學生接觸就更少了.

3.搭臺建橋.

從我區(qū)學生的已有數(shù)學活動經(jīng)驗出發(fā)，遵循在學生的最近發(fā)展區(qū)設置問題的命題理念，筆者嘗試對天津題進行降低難度處理.

降低難度處理方式1：塔臺建橋作引渡.

筆者先通過試題的第（1）問，給出相似圖，求線段比的問題，達到牽引作用；再通過（2）①的作圖，感受兩問之間的聯(lián)系，加深認識，引導學生構造相似，求作線段比.

降低難度處理方式2：化一般為特殊.

將原題中的一般格點三角形ABC變?yōu)榈妊切危瑢ⅰ癝△PAB∶S△PBC∶S△PCA＝1∶2∶3”變?yōu)椤皩ⅰ鰽BC分成面積相等的三部分”，兩次特殊處理，難度大大降低，且解法多樣，達到了預期的命題效果.

4.第（2）問的第②③小題的解答分析.

（2）②解法1：由△APB∽△DPC，可知BP∶PC＝1∶2，以下作法同前.

解法2：利用“將軍飲馬”模型作法，可知△APB∽△DPC.

③解：用等腰三角形的對稱性，先作底邊上的中線

圖5

從解答分析來看，（2）中3個不同問題指向的核心都是線段比，但轉(zhuǎn)化難度逐漸增大.

三、命題感悟

用文學的眼光，看數(shù)學試題，別有一番風味，原來數(shù)學試題中也透著別樣的美.

1.形散神聚.

如果把數(shù)學中的每一個具體問題看做一個形的話，那么數(shù)學的每一種思想、每一種方法、每一個知識就是數(shù)學的魂.本題第（2）問中的三個問題問法形式多樣，有求作分線段比的問題、有求作相似圖的問題、有平分面積的問題，看似毫無聯(lián)系，很“散”，但所有問題都運用了相似的知識，解法思路指向一致，都需巧借網(wǎng)格，構造相似，分線段比的解題思路，即解題的魂是一致的.這一特點酷似散文的寫作風格.

2.意境深邃.

明理才能得法，善思方可縱深.4個問題設計精巧，第（1）問是第（2）問解題的基礎，第（2）問是第（1）問的靈活應用，兩問之間環(huán)環(huán)相扣，緊密聯(lián)系.第（2）問中的三個問題由淺入深，層層遞進，問題引領學生思維走向深處，特別是第（2）問的第③小問的問法轉(zhuǎn)向面積，意境深邃.問題③的解決關鍵是將面積比轉(zhuǎn)化為線段比，再利用（1）的方法分線段比即可，很好地考查了學生的數(shù)學能力.

3.語言優(yōu)美.

數(shù)學語言作為一種表達科學思想的通用語言和數(shù)學思維的最佳載體，其特點是準確、嚴密、簡明，數(shù)學語言包括敘述語言、符號語言及圖形語言.作圖題以其符號語言和圖形語言展示著數(shù)學的簡潔美.第（1）問一圖一算，蘊含奧秘.第（2）問的第①小問不用過多的語言，作一作，兩問一算一作，前后呼應，知識運用可謂心有靈犀一點通.問題①的作法又是問題②③解決的基本作法，領會其中奧秘，自然得其解法要領.少算多思的解題風格，更彰顯了數(shù)學獨特的思維魅力.

散文式命題方式，就是圍繞某一中心，將不同角度的問題整合在一起，外在表現(xiàn)的形式是多樣的，但知識內(nèi)部核心是相同的，是一致的.這個中心可以是一種數(shù)學思想、一種解題方法，也可以是一個數(shù)學模塊、一個知識要點.一道散文式試題，就是一個微型專題，著重解決一個核心問題.

以上是個人對命題的一點淺見，不足之處，希望斧正.