關(guān)聯(lián)前后：中考一輪復(fù)習(xí)的用力點(diǎn)
——由“一次函數(shù)的再認(rèn)識”說起

☉江蘇靖江外國語學(xué)校 丁曉艷

最近，我們在某微信公眾號看到一份“一次函數(shù)的再認(rèn)識”的復(fù)習(xí)資料，作者指出：對一種事物從不同角度認(rèn)識它，用不同的方法分析它，我們對它的理解就越來越深刻，就更容易領(lǐng)悟它的本質(zhì)，并能感受事物之間的聯(lián)系與統(tǒng)一.并且把一次函數(shù)與諸多數(shù)學(xué)知識進(jìn)行了聯(lián)系，大開眼界，筆者以為，值得我們在中考一輪復(fù)習(xí)時(shí)適當(dāng)引用.下面就先摘引相關(guān)觀點(diǎn)，并跟進(jìn)教學(xué)思考，供研討.

一、一次函數(shù)的再認(rèn)識

再認(rèn)識之一：一次函數(shù)與三角函數(shù).

1.如圖1，斜坡AB的坡度i為1：2.坡度是指傾斜程度，它還與傾斜角∠B的大小有關(guān)，等于∠B的正切值，或斜邊所在的垂直高度與水平長度的比.

圖2

圖1

2.如圖2，直線y＝kx＋b中k的幾何意義：k代表直線的傾斜程度.

可見，既然都是傾斜程度，圖2中的k與∠ABO的正切（AO∶BO）恰等于坡度i.它們是一回事！k為正時(shí)是上坡，k為負(fù)時(shí)是下坡.

再認(rèn)識之二：一次函數(shù)與等差數(shù)列.

我們知道，數(shù)列3，7，11，15，19，…，第n項(xiàng)表達(dá)式是a＝3＋4（n－1）.

顯然，數(shù)列的項(xiàng)a與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系式為a＝3＋4（n－1），整理為a＝4n－1，可見a與n的關(guān)系是一次函數(shù)關(guān)系（可用圖3來表示數(shù)列），其k值就是公差.當(dāng)k為正時(shí)遞增，當(dāng)k為負(fù)時(shí)遞減.

圖3

再認(rèn)識之三：k與速度（單價(jià)、工作效率等）的關(guān)系.

如圖4，表示行駛路程y（km）與行駛時(shí)間t（h）的關(guān)系，AB段的速度是60km/h，AB段對應(yīng)的一次函數(shù)關(guān)系式中的k恰為60.

可以發(fā)現(xiàn)：k值即是速度.同理，在金額與數(shù)量的函數(shù)關(guān)系中，單價(jià)就是k值，在工程問題中，工作效率就是k值.

認(rèn)識到這一點(diǎn)之后，我們可以直接寫出AB段的函數(shù)關(guān)系式，比如，y＝80＋60（x－1），y＝80－60（1－x），y＝260－60（4－x），y＝260＋60（x－4），整理之后都是y＝60x＋20（1≤x≤4）.

再認(rèn)識之四：一次函數(shù)、等差數(shù)列、坡度、正切、速度（單價(jià)、工作效率等）的聯(lián)系.

現(xiàn)在我們把以上圖形中的兩個量的比值在圖5～圖8中標(biāo)注出來，對比觀察一次函數(shù)的k值、等差數(shù)列的公差、坡度、正切、速度、單價(jià)的共同點(diǎn).

圖4

圖5

圖6

圖8

可見，它們的共同點(diǎn)：都是兩個量的比值.這種比值還有另一種意義：單位增量.具體來說，速度為k千米/小時(shí)的意義是：時(shí)間每增加1小時(shí)，所行的路程就增加k千米.

單價(jià)為k元/千克的意義是：數(shù)量每增加1千克，商品的金額就增加k元.

坡度為k的意義是：斜坡的水平距離每增加1千米，對應(yīng)的垂直高度就增加k千米.

公差為k的意義是：數(shù)列的項(xiàng)數(shù)每增加1，項(xiàng)的值就增加k.

一次函數(shù)k的意義是：x值每增加1個單位，對應(yīng)的y值就增加k個單位.

可見，一次函數(shù)是對上述實(shí)際問題的抽象和概括.它的本質(zhì)特征是定比，即每一段函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值y的變化量與自變量x的變化量的比值一定.

再認(rèn)識之五：一次函數(shù)表達(dá)式的多樣解法.

例1如圖9，求直線AB的函數(shù)關(guān)系式.

分析：初中教材介紹的多是待定系數(shù)法，略去不說，這里再介紹一種算術(shù)方法列式計(jì)算.

圖9

例2某公司以30元/千克的價(jià)格收購一批農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)行銷售，為了得到日銷售量p（千克）與銷售價(jià)格x（元/千克）之間的關(guān)系，經(jīng)過市場調(diào)查獲得部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：

售價(jià)x/（元/千克） 30 35 40 45 50日銷量p/千克 600 450 300 150 0

請根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用所學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識確定p與x之間的函數(shù)表達(dá)式.

分析：當(dāng)x成等差數(shù)列時(shí)，y值也是等差數(shù)列，符合一次函數(shù)特征.可以設(shè)y＝kx＋b，用待定系數(shù)法列二元一次方程組確定k、b的值.

例3一輛慢車從甲地勻速行駛至乙地，一輛快車同時(shí)從乙地出發(fā)勻速行駛至甲地，兩車之間的距離y（千米）與行駛時(shí)間x（小時(shí)）的對應(yīng)關(guān)系如圖10所示：

圖11

圖10

分析：解答這道經(jīng)典考題的關(guān)鍵是各個折線段的函數(shù)關(guān)系式，簡示如圖11.

二、關(guān)于中考一輪知識點(diǎn)復(fù)習(xí)的教學(xué)思考

1.一輪復(fù)習(xí)時(shí)知識點(diǎn)的梳理要注意跨年級關(guān)聯(lián)整合.

當(dāng)前很多中考一輪復(fù)習(xí)的學(xué)案或教輔資料中，總是限于某一個單元的知識點(diǎn)進(jìn)行知識梳理或性質(zhì)回顧，比如，對于一次函數(shù)，在中考一輪復(fù)習(xí)時(shí)，常常與八年級單元復(fù)習(xí)無甚區(qū)別，這種“無差別”的復(fù)習(xí)課備課思路，屬于辨識年級復(fù)習(xí)重點(diǎn)不清的表現(xiàn).從上文中梳理的一次函數(shù)的再認(rèn)識來看，就不僅僅滿足于八年級學(xué)習(xí)一次函數(shù)的一些知識點(diǎn)與性質(zhì)，而是打破年級的界限，關(guān)聯(lián)、溝通了一次函數(shù)、正切函數(shù)、等差數(shù)列（初中沒有系統(tǒng)學(xué)習(xí)，但是在很多規(guī)律問題中非常多見）、行程與工程等應(yīng)用問題，值得借鑒.

2.一輪復(fù)習(xí)時(shí)例、習(xí)題的講評要選用不同算法或證法.

一輪復(fù)習(xí)側(cè)重基礎(chǔ)知識的梳理、基本方法的回顧，還有經(jīng)典問題的快速與精準(zhǔn)解答，所以一輪復(fù)習(xí)往往會精選一些此前學(xué)生在新授課階段已反復(fù)練習(xí)過的一些典型問題（往往也是必考題型），這時(shí)就不能只是滿足于一種解法或核對答案，怎樣做到“老歌新唱”？筆者以為，像上文例題部分從不同角度來求解一次函數(shù)的解析式就是一種值得學(xué)習(xí)的方式，因?yàn)榈搅酥锌紡?fù)習(xí)階段，絕大多數(shù)學(xué)生對待定系數(shù)法已經(jīng)非常熟練，如果再練一次待定系數(shù)法，只是增加熟練程度，而能夠引入另外的方法（有時(shí)讓學(xué)生來展示他們獨(dú)特的解法也是值得注意的），可以開拓學(xué)生的解法視角，讓他們知道“殊途同歸”，掌握不同方法解決經(jīng)典問題可以進(jìn)行解法之間的“校正”，以免一種方法求解時(shí)出現(xiàn)筆誤等低級失誤.

3.一輪復(fù)習(xí)時(shí)要注意引導(dǎo)學(xué)生用“高觀點(diǎn)”回看舊知.

一輪復(fù)習(xí)側(cè)重基礎(chǔ)知識，怎樣把這些基礎(chǔ)知識納入到高觀點(diǎn)來加以理解，讓零散的知識點(diǎn)“串珠成線”是中考復(fù)習(xí)的追求.像上文這樣，把一次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)k從更廣泛的背景下進(jìn)行關(guān)聯(lián)理解，深刻理解一次函數(shù)作為一種數(shù)學(xué)模型的重要性.這樣的案例還有很多，如七、八級很多分析代數(shù)式的最值問題，可以從二次函數(shù)最值的“高觀點(diǎn)”來思考，一元二次方程根的判別式問題，可以結(jié)合二次函數(shù)的圖像與直線交點(diǎn)問題“高觀點(diǎn)”來思考，直線型幾何很多邊、角的關(guān)系，包括一些輔助線的添加等，都可以從圓的“高觀點(diǎn)”來思考.

三、寫在后面

中考一輪、二輪復(fù)習(xí)側(cè)重于知識點(diǎn)和題型復(fù)習(xí)是很多地方形成的“教學(xué)慣習(xí)”，然而怎樣基于考情、學(xué)情，進(jìn)一步重組復(fù)習(xí)內(nèi)容，聚焦考查重點(diǎn)、熱點(diǎn)與難點(diǎn)，仍然值得我們深入思考.本文由一篇網(wǎng)絡(luò)傳播的公眾號文章說起，分享其對我們的一些啟示，特別是基于高觀點(diǎn)的理解與認(rèn)識，值得大家傾聽和研習(xí).當(dāng)然，我們的解讀、賞析還是很初步的，期待更多的批評與指正.

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